第十三讲循环问题.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：0.08M 资料格式：doc 举报版权申诉

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第十三讲循环小朋友们，你留意过循环问题吗？在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现的现象。如人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪都是按顺序不断重复出现的。在数学中，也常会碰到一些重复出现的问题。在研究这些问题时，我们不仅要判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，而更重要的是看它的余数。如 1999 年元旦是星期五，2000 年元旦是星期几？因为 1999 年是平年，有 365 天，365÷7=52……1，所以 2000 年的元旦是星期六。这就是根据 365 除以 7 所得的余数来判定的。那么，就让我们一起来看看怎么来解决这一类的问题。典型例题例[1] 流水线上给小木球涂色的次序是：先 5 个红，再 4 个黄，再 3 个绿，再 2 个黑，再 1 个白，然后又依次是 5 红，4 黄， 3 绿，2 黑，1 白……像这样继续下去，到第 2003 个小球该涂什么颜色？分析小木球涂色的次序是：“5 红，4 黄，3 绿，2 黑，1 白”，也就是每涂过“5 红，4 黄，3 绿，2 黑，1 白”循环一次，给小木球涂色的周期是 5+4+3+2+1=15。所以只要用 2003 除以 15，根据余数就可以判断球的颜色。

解 2003÷15=133……8 这就是说，第 1999 个小木球出现在上面所列一个周期中的第 8 个，所以第 2003 个小球涂的是黄色。例[2] 有一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3，… （1）第 81 个数是多少？（2）这 81 个数相加的和是多少？分析（1）从排列可以看出这组数是按 7，0，2，5，3 依次重复排列的，那么一个循环周期就有 5 个数。（2）之和是 7+0+2+5+3=17。用每个循环各数之和可以循环次数再加上余下的各数，即可得到答案。解（1）81÷5=16……1 按照循环次序可知：第 81 个数为 7。（2）17×16+7=279 所以这 81 个数相加的和为 279 例[3] 假设所有自然数排列起来如下图所示，55 应排在哪个字母下面？248 应排在哪个字母下面？ A B C D

1 5 9 . . . 2 6 10 . . . 3 7 11 . . . 4 8 12 . . . 分析从排列情况可知，这些自然数按从小到大 4 个数一个循环排列。要求这些数字排在哪个字母的下面，我们可以根据这些数除以 4 的余数来判断。解 55÷4=13……3 所以 55 排在第 3 个字母 C 的下面。 248÷4=62 所以 248 排在第 4 个字母 D 的下面。例[4] 如下图，8 个队员围成一圈做传球游戏，从 1 号开始，按照箭头方向向下一个人传球。在传球的同时按自然数数列报数。当报到 96 时，球在几号队员手上？

分析把 8 个队员看成一组，解法与例[3]相同。解 96÷8=12 所以报 96 时，球应在 8 号队员手上。例[5] 2003 个学生按下列方法编号排成 5 列：一二三四 1 9 17 … 2 8 10 16 … … 3 7 11 15 … … 4 6 12 14 … … 五 5 13 … 问：最后一位学生应站在第几列？分析观察这些学生排列的情况可以看出，除 1~5 外，从第 2 排起都是按 8 个数一个循环依次不断重复出现。因此，除以 8 余数为 1、2、3、4、5、6、7、0 对应的列数应分别为四、三、二、一、二、三、四、五。解（2003－5）÷8=249……6 因此，第 2003 个学生站在第 3 列。

小结解决循环问题时，应把注重点放在以下几个方面：一、数、图形或事物的变化是否重复出现并具有周期性。二、每几个数循环一次，周期长度是多少。三、每个循环节是按什么次序排列的。解答时要考虑把所得的余数同一个循环节内某种状态相对应。比如余数为 3，就找循环节里面的第 3 个状态。

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