第1页 / 共10页
第2页 / 共10页
第3页 / 共10页
第4页 / 共10页
第5页 / 共10页
第6页 / 共10页
第7页 / 共10页
第8页 / 共10页
7-5-2 组合的基本应用（二）.教师版.doc
7-5-2.组合的基本应用（二）
教学目标
1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；
2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；
3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；
4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；
通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合
技巧，如排除法、插板法等．
知识要点
一、组合问题
日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某
项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的
问题．
一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个( m n )元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从 n 个不同元
素中取出 m 个元素的一个组合．
从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完
全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的
组合．
从 n 个不同元素中取出 m 个元素( m n )的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个不同元素的
组合数．记作 m
nC ．
一般地，求从 n 个不同元素中取出的 m 个元素的排列数 n
第一步：从 n 个不同元素中取出 m 个元素组成一组，共有 m
第二步：将每一个组合中的 m 个元素进行全排列，共有 m
根据乘法原理，得到 m
P
n
m
P
n
m
P
m
m
m
C P
．
m
n
1
1
n m
n
n
n
）
（
（ ）（
3 2 1
2
1
m m
（ ）（ ）
因此，组合数
2)
m
．
C
m
n
mP 可分成以下两步：
nC 种方法；
mP 种排法．
这个公式就是组合数公式．
二、组合数的重要性质
一般地，组合数有下面的重要性质： m
C
n
这个公式的直观意义是： m
n m
C
n
( m n )
nC 表示从 n 个
)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从 n 个元素中选出 m 个元素的分组方法恰是从 n 个
nC 表示从 n 个元素中取出 m 个元素组成一组的所有分组方法． n m
元素中取出( n m
元素中选 m 个元素剩下的( n m
)个元素的分组方法．
例如，从 5 人中选 3 人开会的方法和从 5 人中选出 2 人不去开会的方法是一样多的，即 3
C
5
规定
nC ， 0
nC ．
1
1
n
C ．
2
5
7-5-2.组合的基本应用（二）.题库
教师版
page 1 of 10
例题精讲
模块一、组合之几何问题
【例 1】 在一个圆周上有10 个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：
⑴ 直线段；⑵ 三角形；⑶ 四边形．
【难度】3 星
【考点】组合之基本运用
【解析】由于10 个点全在圆周上，所以这10 个点没有三点共线，故只要在10 个点中取 2 个点，就可以画出一
条线段；在10 个点中取 3 个点，就可以画出一个三角形；在10 个点中取 4 个点，就可以画出一个四
边形，三个问题都是组合问题．
由组合数公式：
【题型】解答
⑴ 可画出
2
C
10
⑵ 可画出
3
C
10
⑶ 可画出
4
C
10
2
P
10
2
P
2
3
P
10
3
P
3
4
P
10
4
P
4
【答案】⑴ 2
C
10
45
45
10 9
2 1
10 9 8 120
3 2 1
10 9 8 7
4 3 2 1
⑵ 3
C
10
(条)直线段．
(个)三角形．
210
120
(个)四边形．
⑶ 4
C
10
210
【巩固】 平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条？
【考点】组合之基本运用
【解析】这道题不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题，实际上是求从10 个元素中取出 2 个元素的组合数，
【难度】2 星
【题型】解答
45
，所以以10 个点中每 2 个点为端点的线段共有 45 条．
由组合数公式， 2
C
10
【答案】 45
10 9
2 1
【巩固】 在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？
【考点】组合之基本运用
【解析】三角形的形状与三个顶点选取的先后顺序无关，所以这是一个组合问题，实际上是求从 7 个点中选
【难度】2 星
【题型】解答
出 3 个点的选法，等于 3
C
7
【答案】 3
7
C
35
7 6 5
3 2 1
35
(种)．
【例 2】 平面内有12 个点，其中 6 点共线，此外再无三点共线．
⑴ 可确定多少个三角形？⑵ 可确定多少条射线？
【考点】组合之基本运用
【解析】⑴ 分三类：
【难度】3 星
【题型】解答
①有 2 个顶点在共线的 6 点中，另1个顶点在不共线的 6 点中的三角形有
6
个；
90
6
2
C
6
②有1个顶点在共线的 6 点中，另 2 个顶点在不共线的 6 点中的三角形有
6
(个)；
90
6
2
C
6
6 5
2 1
6 5
2 1
③ 3 个顶点都在不共线的 6 点中的三角形有 3
C
6
20
个．
6 5 4
3 2 1
根据加法原理，可确定 90 90 20
⑵ 两点可以确定两条射线，分三类：
个三角形．
200
①共线的 6 点，确定10 条射线；
②不共线的 6 点，每两点确定两条射线，共有
2
2
C
6
③从共线的 6 点与不共线的 6 点中各取一个点可以确定 6 6 2 72
7-5-2.组合的基本应用（二）.题库
教师版
2
30
(条)射线；
6 5
2 1
(条)射线．
page 2 of 10
【答案】⑴ 200
根据加法原理，可以确定10 30 72 112
(条)射线．
⑵112
【巩固】如图，问：⑴ 图1 中，共有多少条线段？ ⑵ 图 2 中，共有多少个角？
A
C
1
C
2
C
3
图1
C
4
C
5
B
B
O
P
9
...
图 2
P
3
P
2
P
A
1
【考点】组合之基本运用
【解析】⑴ 在线段 AB 上共有 7 个点（包括端点 A 、 B ）．注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有
【题型】解答
【难度】1 星
一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而 2
的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有 2
7C 条线段．
7C 表示从 7 个点中取两个不同点
由组合数公式知，共有
2
C
7
2
P
7
2
P
2
7 6
2 1
21
(条)不同的线段；
⑵ 从 O 点出发的射线一共有11条，它们是 OA ， 1OP ， 2OP ， 3OP ， ， 9OP ， OB ．注意到每两
条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角．显
然，是组合问题，共有 2
11C 种不同的取法，所以，可组成 2
11C 个角．
由组合数公式知，共有
【答案】⑴ 2
7
C
21
模块二、组合之应用题
11 10
2 1
55
(个)不同的角．
2
C
11
2
P
11
2
P
2
⑵ 2
C
11
55
【例 3】 6 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
【考点】组合之基本运用
【解析】这与课前挑战的情景是类似的．因为两个人握手是相互的， 6 个朋友每两人握手一次，握手次数只
【难度】1 星
【题型】解答
与握手的两个人的选取有关而与两个人的顺序无关，所以这是个组合问题．
由组合数公式知， 2
C
6
【答案】15
6 5 15
2 1
(次)．所以一共握手15 次．
【巩固】 某班毕业生中有 20 名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？
【考点】组合之基本运用
【题型】解答
【难度】1 星
【解析】 2
C
20
【答案】 2
20
C
20 19
2 1
190
190
(次)．
【例 4】 学校开设 6 门任意选修课，要求每个学生从中选学 3 门，共有多少种不同的选法？
【考点】组合之基本运用
【解析】被选中的 3 门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题．
【难度】2 星
【题型】解答
由组合数公式知， 3
C
6
6 5 4
3 2 1
所以共有 20 种不同的选法．
C
20
【答案】 3
6
20
(种)．
【例 5】 有 2 克，5 克，20 克的砝码各 1 个，只用砝码和一架已经调节平衡了的天平，能称出
种不
同的质量。
【考点】组合之基本运用 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，一试，第 5 题
7-5-2.组合的基本应用（二）.题库
教师版
page 3 of 10
【解析】第一大类：砝码只放一边。共有 1
C
3
2
C
3
放砝码。再分类：两边各放一个，共有 2
3C 种；一边放两个一边放一个有 1
类共有 1
C
3
（种）。根据加法原理，共能称出 7+6=13（种）不同的质量。
1 7
（种）；第二大类：两边都
3C 种。所以这一大
或者 32
3C 或者 2
3 3 1 7
3 3 6
2
C
3
3
C
3
【答案】13 种
【例 6】 工厂某日生产的 10 件产品中有 2 件次品，从这 10 件产品中任意抽出 3 件进行检查，问：
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的 3 件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有多少种？
【考点】组合之基本运用
【解析】（1）从 10 件产品中抽出 3 件，抽法总数为 3
【难度】3 星
10C =120（种）
2C × 2
8C =56（种）
（2）3 件中恰好一件次品，那么还有两件正常品．
抽法总数为 1
（3）与“至少有一件是次品”互补的事件是“全都不是次品”
全都不是次品的抽法总数为 3
所以至少有一件次品的抽法总数为 120-56=64（种）．
（3）64
8C =56（种）
（2）56
【答案】（1）120
【题型】解答
【例 7】 200 件产品中有 5 件是次品，现从中任意抽取 4 件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求
列式）？⑴都不是次品；⑵至少有 1 件次品；⑶不都是次品．
【难度】3 星
【题型】解答
【考点】组合之基本运用
【解析】第⑴题：与顺序无关；都不是次品，即全部都是正品，正品有 195 件．第⑵题：与顺序无关；至少
有 1 件次品，即有 1 件次品、2 件次品、3 件次品、4 件次品等四类情况，次品共 5 件．可用直接法
解答，也可用间接法解答．第⑶题：与顺序无关；不都是次品，即至少有 1 件是正品．
⑴都不是次品，即全部为正品．
共有抽法 4
⑵至少有 1 件次品，包括 1 件、2 件、3 件、4 件次品的情况．
共有抽法 3
4
2
2
(
)
C
C C C C
种）．
5
195
195
5
⑶不都是次品，即至少有 1 件正品．
4
共有抽法 1
3
3
2
2
1
(
C C
C C C
C C
195
195
5
195
5
195
5
⑵ 4
4
)
(
C
C
200
195
C 种）．
⑶ 4
(
C
200
种（或 4
(
C
200
【答案】⑴ 4
195C
种（或 4
(
C
200
195C 种．
1
3
C C
195
5
4
C
5
C
4
195
1
5
)
4
5
)
)
)
【例 8】 某班要在 42 名同学中选出 3 名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在 42 人中选 3 人站成
一排，有多少种站法？
【考点】组合之基本运用
【解析】要在 42 人中选 3 人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与三名同学被选出的
【题型】解答
【难度】3 星
顺序无关．所以，应用组合数公式，共有 3
要在 42 人中选出 3 人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且与三名同学被选出
的顺序有关．所以，应用排列数公式，共有 3
42C 种不同的选法．
42P 种不同的站法．
由组合数公式，共有
C
3
42
由排列数公式，共有 3
P
42
【答案】 3
P
42
68880
42 41 40
3
P
42
3
P
3
42 41 40 68880
3 2 1
11480
(种)不同的选法；
(种)不同的站法．
【例 9】 将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有__________种不同
的方法．
【考点】组合之基本运用
【关键词】希望杯，1 试
【解析】因为三盘红花不能相邻，所以可以先将四盘黄花摆好，红花只能摆在黄花之间或者黄花的两边．这
样 共 有 5 个 空 ， 每 个 空 最 多 只 能 放 一 盘 红 花 ， 相 当 于 从 5 个 元 素 中 取 出 3 个 ， 所 以 共 有
【题型】解答
【难度】1 星
7-5-2.组合的基本应用（二）.题库
教师版
page 4 of 10
3
C
5
【答案】 3
C
5
5 4 3 10
1 2 3
10
种不同的放法．
【例 10】在一次合唱比赛中，有身高互不相同的 8 个人要站成两排，每排 4 个人，且前后对齐．而且第二
排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法？
【考点】组合之基本运用
【解析】因为所有人的身高两两不同，所以只要确定了位于同一列的两个人是谁，也就确定了他们的前后关
【题型】解答
【难度】2 星
系．所以排队方法总数为：
2
C C C
8
28 15 6 2520
2
6
2
4
【答案】 2520
（种）．
【例 11】 在一次考试的选做题部分，要求在第一题的 4 个小题中选做 3 个小题，在第二题的 3 个小题中选做 2
个小题，在第三题的 2 个小题中选做1 个小题，有多少种不同的选法？
【考点】组合之基本运用
【解析】由于选做的题目只与选取的题目有关，而与题目的顺序无关，所以在三道题中选题都是组合问题．
【题型】解答
【难度】1 星
第一题中， 4 个小题中选做 3 个，有 3
C
4
第二题中， 3 个小题中选做 2 个，有 2
C
3
第三题中， 2 个小题中选做1个，有 1
C
2
4 3 2
3 2 1
3 2
3
2 1
2 1
1
2
4
(种)选法；
(种)选法；
(种)选法．
根据乘法原理，一共有 4 3 2
【答案】 24
24
(种)不同的选法．
【例 12】某年级 6 个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少
种？
【考点】组合之基本运用
【解析】分三步进行：
【难度】3 星
【题型】解答
第一步，取两个班分配给甲，与先后顺序无关，是组合问题，有 2
C
6
(种)选法；
第二步，从余下的 4 个班中选取两个班给乙，有 2
C
4
第三步，剩余的两个班给丙，有1种选法．
根据乘法原理，一共有15 6 1 90
(种)不同的分配方法．
【答案】 90
6 5 15
2 1
(种)选法；
4 3
2 1
6
【例 13】将 19 枚棋子放入 5 5 的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数
个，那么共有________种不同的放法．
【难度】2 星
【题型】解答
【考点】组合之基本运用
【关键词】迎春杯，高年级，初赛
【解析】 5 5 的方格网共有 25 个方格，放入 19 枚棋子，说明还有 6 个空格．由于棋子的数目较多，直接考
【解析】
虑棋子比较困难，可以反过来考虑 6 个空格．由于每行每列的棋子个数均为奇数个，而每行每列都
有 5 个方格，说明每行每列的空格数都是偶数个．那么每行每列的空格数可能为 0，2 或 4．如果有
某一行或某一列的空格数为 4 个，为保证每行每列的空格数都是偶数个，那么这 4 个空格所在的列
或行都至少还有另外 1 枚棋子，这样至少有 8 个空格，与题意不符，所以每行每列的空格数不能为
4 个，只能为 0 个或 2 个．则肯定是某 3 行和某 3 列中每行每列各有 2 个空格，如下：
□□○
□○□
○□□
其中□表示空格，○表示有棋子的方格，其它的方格则全部有棋子．
选择有空格的 3 行 3 列有 3
3
C C
5
5
行每列选择 1 枚棋子)有 3 2 1 6
种选法，所以总共有100 6 600
种选法，在这 3 行 3 列中选择 6 个空格(也相当于每
种不同的放法．
10 10 100
7-5-2.组合的基本应用（二）.题库
教师版
page 5 of 10
【答案】 600
【例 14】甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共 3 串，有一串是红气球 3 个，有一串是黄
气球 2 个，有一串是绿气球 4 个，而且每次射击必须射最下面的气球，问有多少种不同的射法？
红
黄
绿
【考点】组合之基本运用
【解析】根据射击规则，任意一种打法都对应三个红色气球，二个黄色气球，四个绿色气球，即 9 个物体的
【解析】
【题型】解答
【难度】3 星
种排列方法．
排列，当然有 9 8 7 6 5 4 3 2 1
但是，其中三个红色气球是不能随意排列的，应该是固定由下到上的，而上面却包括了它的随意排
列的情况，所以应该除以 3 2 1
所以共有射击方法： (9 8 7 6 5 4 3 2 1)
(2 1)
(9 8 7 6 5 4)
，其他黄色气球、绿色气球依此类推．
(3 2 1)
(4 3 2 1)
(种)．
(2 1)
(4 3 2 1)
1260
本题也可以这样想：任意一种打法都对应 9 个物体的排列，从中先选出 3 个位置给红色气球，有 3
9C
种选法；这 3 个红色气球的顺序是固定的，所以它们之间只有一种排列顺序；再从剩下的 6 个位置
中选出 2 个给黄色气球，有 2
6C 种选法；它们之间也只有一种排列顺序；剩下的 4 个位置给绿色气球，
它们之间也只有一种排列顺序．所以，根据乘法原理，共有 3
2
C C
9
6
种不同的射法．
1260
【答案】1260
【例 15】某池塘中有 A B C、 、 三只游船， A 船可乘坐 3 人， B 船可乘坐 2 人， C 船可乘坐1 人，今有 3 个成
人和 2 个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他
们 5 人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？
【考点】组合之基本运用
【解析】由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，所以儿童不能乘坐 C 船．
【题型】解答
【难度】3 星
3
⑴若这 5 人都不乘坐 C 船，则恰好坐满 A B、 两船，①若两个儿童在同一条船上，只能在 A 船上，此
时 A 船上还必须有1 个成人，有 1
C 种方法；②若两个儿童不在同一条船上，即分别在 A B、 两船
3
上，则 B 船上有1 个儿童和1 个成人，1 个儿童有 1
C 种选择，1 个成人有 1
C 种选择，所以有
3
2
2 3 6
种方法．故 5 人都不乘坐 C 船有 3 6 9
⑵若这 5 人中有1人乘坐 C 船，这个人必定是个成人，有 1
C 种选择．其余的 2 个成人与 2 个儿童，
3
①若两个儿童在同一条船上，只能在 A 船上，此时 A 船上还必须有1个成人，有 1
C 种方法，所以
2
种方法；②若两个儿童不在同一条船上，那么 B 船上有1个儿童和1个成人，此时1 个
此时有 3 2 6
儿童和1个成人均有 1
种方法；故 5 人中有1人乘坐 C 船
C 种选择，所以此种情况下有 3 2 2 12
2
有 6 12 18
所以，共有 9 18 27
种安全方法；
3
2
种安全方法．
种安全乘法．
2
3
2
【答案】 27
【例 16】有蓝色旗 3 面，黄色旗 2 面，红色旗1 面．这些旗的模样、大小都相同．现在把这些旗挂在一个旗
杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示
多少种不同信号?
【考点】组合之基本运用
【解析】按挂旗的面数来分类考虑．
【难度】2 星
【题型】解答
第一类：挂一面旗．从蓝、黄、红中分别取一面，可以表示 3 种不同信号；
P 种）；黄 蓝（ 2
P 种）；红 蓝（ 2
第二类：挂两面旗．按颜色分成：红 黄（ 2
P 种）；
2
2
2
黄 黄（1种）；蓝 蓝（1种）；共 8 种；
第三类：挂三面旗．按颜色分类：红 蓝 蓝（ 1
C 种）；红 黄 黄（ 1
C 种）；红 黄 蓝（ 3
P
3
3
3
2
2
3
3
2
6
7-5-2.组合的基本应用（二）.题库
教师版
page 6 of 10
3
3
2 12
2 12
4
种）；黄 黄 蓝（ 1
C 种）；黄 蓝 蓝（ 1
C 种）；蓝 蓝 蓝（1种）；共19 种；
3
3
第四类：挂四面旗．按颜色分类：红 黄 黄 蓝（ 2
C 或 4
P 种）；红 黄 蓝 蓝
4
4
（ 2
C 或 4
P 种）；红 蓝 蓝 蓝（ 1
C 种）；黄 黄 蓝 蓝（ 2
4
种）；黄
4
4
4
4
蓝 蓝 蓝（ 1
C 种），共 38 种；
4
第五类：挂五面旗．按颜色分类：红 黄 黄 蓝 蓝（ 3
1
30
C C C
5
1
（ 3
C 种）；黄 黄 蓝 蓝 蓝（ 3
2
种），共 60 种；
10
C C
5
5
2
第六类：挂六面旗．红 黄 黄 蓝 蓝 蓝（ 3
2
种）．
6
3
根据加法原理，共可以表示 3 8 19 38 60 60 188
种不同的信号．
种）；红 黄 蓝 蓝 蓝
1
C C C
1
2 1 20
C C
2 12
2 12
60
6
2
3
2
2
【答案】188
【例 17】从10 名男生， 8 名女生中选出 8 人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？
⑴恰有 3 名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；
⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人．
【考点】组合之基本运用
【解析】⑴恰有 3 名女生入选，说明男生有 5 人入选，应为 3
5
C C
8
10
【题型】解答
14112
【难度】3 星
种；
；
1
C
8
8
C
10
7
C
10
4
C
14
43758
43758 1001 42757
⑵要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与
排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：
8
C
18
⑶ 4 人必须入选，则从剩下的14 人中再选出另外 4 人，有 4
C
14
⑷从所有的选法 8
18C 种中减去这 4 个人同时入选的 4
8
C
18
⑸分三类情况： 4 人无人入选； 4 人仅有1人入选； 4 人中有 2 人入选，共：
6
7
2
8
1
C C
C C
C
14
14
4
14
4
【答案】⑴ 3
5
14112
C C
种；
10
8
1
7
8
⑵ 8
C
C
C
C
8
10
18
10
⑶ 4
1001
C
种；
14
4
⑷ 8
43758 1001 42757
C
C
14
18
1
7
⑸ 8
34749
C
C C
4
14
14
14C 种：
6
C C
14
2
4
34749
43758
1001
种；
．
．
；
．
．
【例 18】从 4 名男生， 3 名女生中选出 3 名代表．
⑴ 不同的选法共有多少种？
⑵ “至少有一名女生”的不同选法共有多少种？
⑶ “代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种？
【考点】组合之基本运用
【难度】3 星
【题型】解答
【解析】⑴ 相当于从 7 名学生中任意选 3 名，不同的选法有 3
C
7
⑵ 方法一：可以分成三类：
7 6 5
3 2 1
35
(种)．
①选1名女生，选 2 名男生．由乘法原理，有 1
C C
3
2
4
②选 2 名女生，选1名男生．由乘法原理，有 2
C C
3
1
4
4 3
2 1
3
18
3 2 4 12
2 1
(种)选法；
(种)选法；
③选 3 名女生，男生不选，有1种选法．
根据加法原理，“至少有一名女生”的不同选法有18 12 1 31
方法二：先不考虑对女生的特殊要求，从从 7 名学生中任意选 3 名，有 3
C
7
考虑一个女生都不选的情况，则 3 名代表全产生于男生中，有 3
C
4
所以，至少选一名女生的选法有 35 4 31
种，这种“去杂法”做起来也比较简单．
7-5-2.组合的基本应用（二）.题库
教师版
page 7 of 10
(种)．
7 6 5
3 2 1
4 3 2
3 2 1
35
(种)选法；
4
(种)选法，
⑶ “代表中男、女生都要有”，可以分成两类：
①1名男生， 2 名女生，由乘法原理，有 2
C C
3
1
4
② 2 名男生，1名女生，由乘法原理，有 1
C C
3
2
4
3 2 4 12
2 1
3
18
4 3
2 1
(种)选法；
(种)选法．
根据加法原理，“代表中男、女生都要有”的不同选法共有12 18 30
(种)．
【小结】选择问题是组合问题中的一类常见问题，可根据具体情况从正面考虑或逆向求解，采用“去杂法”．
【答案】⑴ 3
7
⑵ 31
⑶ 30
C
35
【巩固】在 6 名内科医生和 4 名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成 5 人医疗小组送医下乡，
按照下列条件各有多少种选派方法？
⑴ 有 3 名内科医生和 2 名外科医生；
⑵ 既有内科医生，又有外科医生；
⑶ 至少有一名主任参加；
⑷ 既有主任，又有外科医生．
【考点】组合之基本运用
【解析】⑴ 先从 6 名内科医生中选 3 名，有 3
C
6
【难度】4 星
【题型】解答
20
种选法；再从 4 名外科医生中选 2 名，共有
6 5 4
3 2 1
C
2
4
4 3
2 1
6
种选法．根据乘法原理，一共有选派方法 20 6 120
种．
⑵ 用“去杂法”较方便，先考虑从10 名医生中任意选派 5 人，有 5
C
10
10 9 8 7 6
5 4 3 2 1
252
种选派方
法；再考虑只有外科医生或只有内科医生的情况．由于外科医生只有 4 人，所以不可能只派外科
医生．如果只派内科医生，有 5
C
种既有内科医
6
生又有外科医生的选派方法．
种选派方法．所以，一共有 252 6
246
C
6
1
6
⑶ 如果选1 名主任，则不是主任的 8 名医生要选 4 人，有
2
4
C
8
2
140
种选派方法；
如果选 2 名主任，则不是主任的 8 名医生要选 3 人，有
1
3
C
8
1
种选派方法．根据
8 7 6 5
4 3 2 1
8 7 6
56
3 2 1
加法原理，一共有140 56 196
种选派方法．
⑷ 分两类讨论：
①若选外科主任，则其余 4 人可任意选取，有 4
C
9
9 8 7 6
4 3 2 1
126
种选取方法；
②若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余 4 人不能全选内科医生，用“去杂法”有
4
C
8
4
C
5
5 4 3 2
4 3 2 1
根据加法原理，一共有126 65 191
8 7 6 5
4 3 2 1
65
种选取法．
种选派方法．
⑶196
⑷191
【答案】⑴120
⑵ 246
【例 19】在 10 名学生中，有 5 人会装电脑，有 3 人会安装音响设备，其余 2 人既会安装电脑，又会安装音
响设备，今选派由 6 人组成的安装小组，组内安装电脑要 3 人，安装音响设备要 3 人，共有多少种
不同的选人方案？
【考点】组合之基本运用
【解析】按具有双项技术的学生分类：
【难度】4 星
【题型】解答
⑴ 两人都不选派，有 3
C
5
(种)选派方法；
5 4 3 10
3 2 1
若此人要安装电脑，则还需 2 人安装电脑，有 2
C
5
⑵ 两人中选派1人，有 2 种选法．而针对此人的任务又分两类：
5 4 10
2 1
3 人全选派上，只有1种选法．由乘法原理，有10 1 10
若此人安装音响设备，则还需从 3 人中选 2 人安装音响设备，有 2
C
3
(种)选法；
(种)选法，而另外会安装音响设备的
3 2
2 1
3
(种)选法，需从 5 人
7-5-2.组合的基本应用（二）.题库
教师版
page 8 of 10
相关推荐
V2版本原理图(Capacitive-Fingerprint-Reader-Schematic_V2).pdf
摄像头工作原理.doc
VL53L0X简要说明(En.FLVL53L00216).pdf
原理图(DVK720-Schematic).pdf
原理图(Pico-Clock-Green-Schdoc).pdf
原理图(RS485-CAN-HAT-B-schematic).pdf
File:SIM7500_SIM7600_SIM7800 Series_SSL_Application Note_V2.00.pdf
ADS1263(Ads1262).pdf
原理图(Open429Z-D-Schematic).pdf
用户手册(Capacitive_Fingerprint_Reader_User_Manual_CN).pdf
CY7C68013A（英文版）(CY7C68013A).pdf
TechnicalReference_Dem.pdf
