5-6-1 奇数与偶数的性质与应用.教师版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：1.00M 资料格式：doc 举报版权申诉

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5-1 奇数与偶数的性质与应用教学目标本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为 0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。知识点拨一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。通常偶数可以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用 2k+1（k 为整数）表示。特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。二、奇数与偶数的运算性质性质 1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质 2：偶数±奇数=奇数性质 3：偶数个奇数的和或差是偶数性质 4：奇数个奇数的和或差是奇数性质 5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论推论 1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。推论 2：对于任意 2 个整数 a,b ,有 a+b 与 a-b 同奇或同偶例题精讲模块一、奇偶分析法之计算法 …… 1993    【例 1】 1 2 3 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2 星【题型】解答【解析】在 1 至 1993 中，共有 1993 个连续自然数，其中 997 个奇数，996 个偶数，即共有奇数个奇数，【解析】的和是奇数还是偶数？那么原式的计算结果为奇数. 【答案】奇数【例 1】从 1 开始的前 2005 个整数的和是______数(填：“奇”或“偶”)。【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2 星【题型】填空【关键词】希望杯，4 年级，初赛，5 题【解析】1+2+3+…+2004+2005=(1+2005)×2005÷2=1003×2005 是奇数【答案】奇数【巩固】 29 30 31 【巩固】    ……  87 88  得数是奇数还是偶数？ 5-6-1.奇数与偶数的性质与应用.题库教师版 page 1 of 13

【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2 星【题型】解答【解析】偶数。原式中共有 60 个连续自然数，有 30 个奇数，为偶数个。【解析】【答案】偶数【巩固】1 2 3 4 5 6 7 【巩固】          偶数？为什么？ 99 100 99 98 97 96        7 6 5 4 3 2 1        的和是奇数还是【考点】奇偶分析法之计算法【难度】1 星【题型】解答【解析】略【解析】【答案】偶数，在算式中，1 ~ 99 都出现了 2 次，所以1 2 3 4       99 99 98 97 96       4 3 2 1     是偶数，而100 也是偶数，所以 1 2 3 4 5 6 7           99 100 99 98 97 96         7 6 5 4 3 2 1      的和是偶数．  【巩固】 (200 201 202  …… 【巩固】【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2 星【题型】解答【解析】200 至 288 共 89 个数，其中偶数比奇数多 1，44 个奇数的和是偶数；151 至 233 共 83 个数，奇【解析】）得数是奇数还是偶数？ 151 152 153  ）（ 233 288 ……     数比偶数多 1，42 个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。   【答案】偶数          【例 2】 1 2 3 4 5 6 7 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2 星【题型】解答【解析】特殊数字：“1”．在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数  偶数，所以它们的乘积都是偶数，【解析】这些偶数相加的结果还是偶数，只有1是奇数，又因为奇数  偶数 = 奇数，所以这个题的计算结果是奇数．的计算结果是奇数还是偶数，为什么？ 98 99 【答案】奇数【例 3】东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038 13 75 64  【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2 星【题型】解答【解析】等式左边是偶数，13 75 是奇数，64 是偶数，根据奇数  偶数  奇数，等式右边是奇数，偶数不【解析】  ，他做得对吗？  等于奇数，因此东东写出的等式是不对的．【答案】不能做对【例 4】一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差 150，那么这个数是多少？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2 星【题型】解答【解析】由定义知道，相邻两个奇数相差 2，那么说明 150 是这个未知自然数的两倍，所以原自然数为 75. 【答案】 75 【巩固】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差 80，那么这三个偶数的和是多少？【巩固】【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2 星【题型】解答【解析】由定义知道，相邻两个偶数相差 2，那么 80 恰好是原偶数的 4 倍，即原来的偶数是 20。而由题意知道原来的三个偶数分别 18,20,22，它们的和是 60。【答案】 60 【例 5】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。（1）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10 （2）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】3 星【题型】解答【解析】略【解析】【答案】不能。很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式有 5 个奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。本小题是一个典型的奇偶性质“先定性分析后定量计算的题目”（2）可以。1 2 3 4 5 6 7 8 9          或1 2 3 4 5 6 7 8 9          27 27 【例 6】能否从四个 3，三个 5，两个 7 中选出 5 个数，使这 5 个数的和等于 22. 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2 星【题型】解答 5-6-1.奇数与偶数的性质与应用.题库教师版 page 2 of 13

【解析】略【答案】不能。因为不论如何选，选出的 5 个数均为奇数，5 个奇数的和还是奇数，不可能等于 22。【巩固】能否从、四个 6，三个 10，两个 14 中选出 5 个数，使这 5 个数的和等于 44. 【巩固】【考点】奇偶分析法之计算法【难度】3 星【题型】解答【解析】略【答案】从性质上看，选出 5 个偶数的和仍然是偶数。而从计算层面上考虑，假设等式可以成立，那么可以把题目中的数都除以 2.那么本题相当于：能否从、四个 3，三个 5，两个 7 中选出 5 个数，使这 5 个数的和等于 22.因为 3，5，7 都是奇数，而且 5 个奇数的和还是奇数，不可能等于偶数 22，所以不能. 【例 7】一个偶数的数字和是 40,这个偶数最小是。【考点】奇偶分析法之计算法【难度】3 星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 8 题【解析】这个偶数的数字和是 40，应让其各个位数尽量的大，首先让个位为 8，则让其前面尽量为 9，则这个偶数最小为 59998。【答案】 59998 【例 8】多米诺骨牌是由塑料制成的 1×2 长方形，共 28 张，每张牌上的两个 1×1 正方形中刻有“点”，点的个数分别为 0，1，2，…，6 个不等，其中 7 张牌两端的点数一样，即两个 0，两个 1，…，两个 6；其余 21 张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数相同，且以点数相同的端相连，例如： …… …… 现将一副多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为 6 点，那么在链的另一端为多少点?并简述你的理由．【考点】奇偶分析法之计算法【难度】5 星【题型】解答【解析】略【答案】 6 ，由连牌规则可知，在链的内部各种点数均成对相连，即所有点都有偶数个，而 6 点的个数为 8，所以在链的两端一定有偶数个点，所以链的另一端也应为 6．【巩固】一条线段上分布着 n 个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为 n+1 段，已知线段【巩固】两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶数？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4 星【题型】解答【解析】略【答案】因为中间的每一个点的两边各有一黑一白，所以所有的点一定是两个黑点、两个白点依次相邻（除了首尾可能出现一个黑点），所以白点都是成对出现的.所以白点的个数为偶数. 【例 9】沿着河岸长着 8 丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差 1 个．问：8 丛植物上能否一共结有 225 个浆果?说明理由．【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4 星【题型】解答【关键词】俄罗斯，小学奥林匹克【解析】略【解析】【答案】不能。相邻的两个植物果实数目差 1 个意味着相邻 2 个植物的奇偶性不同，所以一定有 4 棵植物的果实为奇数个，总和一定为偶数，不能为 225. 【例 10】有一批文章共 15 篇，各篇文章的页数是 1 页、2 页、3 页、 、14 页和 15 页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章 5-6-1.奇数与偶数的性质与应用.题库教师版 page 3 of 13

最多有多少篇？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4 星【题型】解答【解析】先将偶数页的文章(2 页、4 页、 、14 页)编排，这样共有 7 篇文章的第一页都是奇数页码．然【解析】后将奇数页的文章(1 页、3 页、5 页、7 页、9 页、11 页、13 页和 15 页)依次编排，这样编排的 1 页、5 页、9 页和 13 页的 4 篇文章的第一页都是奇数页码．因此每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多是 7 4 11 (篇)．   【答案】11 【巩固】一本故事书共有 30 个故事，每个故事分别占 1、2、3、…、30 页（未必按这个顺序）。第一个故【巩固】事从第 1 页开始，每个故事都从新的一页开始，最多有_____个故事是从奇数页开始的。【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4 星【题型】解答【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 9 题【解析】前 15 个故事让其均为偶数页，这样前 15 个故事均为奇数页开始，后面 15 个奇数页的故事，有 8 【解析】个是从奇数页开始的，所以最多有 15+8=23 个。【答案】 23 个【例 11】有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于 4，最小数与最大数的乘积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数．求这四个数．【考点】奇偶分析法之计算法【难度】3 星【题型】解答【解析】入手点：最小的两位奇数是11，最小数与最大数的乘积是一个奇数可得最小数和最大数都是奇数．【解析】首先由这四个数的和是最小的两位奇数，可知这四个自然数的和是11．其次，由最小数与最大数的乘积是一个奇数，可知最小数与最大数都是奇数．由1 2 3 4 10 11  ，可以推导出这四个互不相等的自然数分别是：1， 2 ， 3 ， 5 ．  ，2 3 4 5 14 11         【答案】1 2 3 5，，， 2  ，求这三个偶数．【例 12】三个相邻偶数的乘积是一个六位数 8 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】3 星【题型】解答【解析】由三个相邻偶数的乘积是一个六位数，可以断定这三个数必须是两位数，并且它们的个位数字只【解析】能是 0，2，4，6，8 中相邻的三个．又这三个数积的个位数字是 2，所以，这三个相邻偶数的个位数字只能是 4，6，8．由于三个 100 相乘等于一个最小的七位数字 1000000，三个 90 相乘等于 729000，所以，这三个相邻偶数的十位数字必须是 9，从而，这相邻三个偶数分别是 94 ，96，98．经计算．94，96， 98 三个数满足题意．【答案】 94 ， 96 ， 98 【例 13】两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于 5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是 7356 吗？为什么？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4 星【题型】解答【解析】略【解析】【答案】不能。因为数码都小于 5 所以这两个四位数相加不会产生进位，所以这两个四位数的数码和等于 7356 的数码和，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，所以两个四位数的数码和为偶数，而 7356 的数码和是奇数，所以不成立。【例 14】任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于 999？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4 星【题型】解答【解析】略【解析】【答案】不能。2 个三位数的和为 999，说明在两个数相加时不产生任何进位。如果不产生进位说明两个三位数的数字之和相加求和，就会等于和的数字之和，这是一个今后在数字谜中的常用结论。那么 999 的数字之和是 27，而原来的 2 个三位数经调换数字顺序后数字之和是不会变的，若以 a 记为其中一个三位数的数字之和，那么另一个也为 a，则会有 2a=27 的矛盾式子出现。说明原式不成立。 5-6-1.奇数与偶数的性质与应用.题库教师版 page 4 of 13

模块二、奇偶分析法之代数法【例 15】已知 a,b,c 是三个连续自然数，其中 a 是偶数。根据下面的的信息：小红说：“那么 1a  , 这三个数的乘积一定是奇数”；小明：“不对 1a  , 和小明两人的说法中正确的是【考点】【难度】星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 4 题，6 分【解析】三个连续自然数就是 a、a+1、a+2，则（a+1）（b+2）（c+3）=（a+1）（a+3）（a+5）,三个奇数相 2b  , 。 3c  3c  这三个数的乘积是偶数”。判断小红 2b  , 乘一定是奇数. 【答案】小红【例 16】试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000 等于1999 ．如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由．【考点】奇偶分析法之代数法【难度】3 星【题型】解答【解析】略【解析】【答案】因为两个数的和 a b 与两个数的差 a b 的奇偶性相同，所以 a b  （）（）的和是偶数．由结论三可知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加 1000 还是偶数，所以它们的和不能等于奇数 1999．  a b  【例 17】是否存在自然数 a 和 b，使得 ab(a＋b)=115? 【考点】奇偶分析法之代数法【难度】3 星【题型】解答【解析】略【答案】不存在。此类问题引导学生接触分类讨论的基本思想，即 2 个自然数在奇偶性的组合上只有 3 种情况，“2 奇 0 偶，1 奇 1 偶，0 奇 2 偶”，可以分别讨论发现均不成立。【巩固】是否存在自然数 a 和 b ，使得【巩固】【考点】奇偶分析法之代数法【难度】3 星【题型】解答【解析】略【解析】【答案】不存在．因为 15015 是奇数，所以 a b a 、、 15015 ab a （ 5 b 5 b  ）？都应为奇数，但是当 a 和 b 均为奇数时， 5a b 却是偶数．【巩固】是否存在自然数 a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？【巩固】【考点】奇偶分析法之代数法【难度】4 星【题型】解答【解析】略【答案】不存在。可以分情况来讨论：3 奇 0 偶，2 奇 1 偶，1 奇 2 偶，0 奇 3 偶。但是比较繁琐，可以根据 45327 是一个奇数，只有奇数乘以奇数才能得到，所以 a-b、b-c、a-c 都为奇数，再根据奇偶性进行判断。【例 18】a、b、c 三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数？【考点】奇偶分析法之代数法【难度】4 星【题型】解答【解析】根据题目内容，可以列出所要讨论的式子为 a b c abc    。则接下来可以分类讨论 3 奇 0 偶，2 奇 1 偶，1 奇 2 偶，0 奇 3 偶四种情况。经验证如果要满足上式结果为奇数，那么可以发现最多只能有 1 个奇数。【答案】1个奇数【例 19】已知 a,b,c 中有一个是 511，一个是 622，一个是 793。求证： ( 【考点】奇偶分析法之代数法【难度】4 星【题型】解答【解析】略【答案】因为在 a,b,c 中有 2 个是奇数，1 个是偶数，那么说明 a,c 两个数中至少有一个是奇数，那么 ( 1)( b 2)( 3)   a c  是一个偶数。 a   中至少有一个因数是偶数，结果为偶数. 3) 1) 和 ( c  中至少有一个是偶数，所以 ( 3) a  1)( b  2)( c 【巩固】小红写了四个不同的非零整数 a,b,c,d，并且说这四个整数满足四个算式：【巩固】 5-6-1.奇数与偶数的性质与应用.题库教师版 page 5 of 13

a b c d      a b c d      a b c d      a b c d      a b c d 1991 1993 1995 1997 但是小明看过之后立刻说小红是错的，根不不存在这样的四个数，你能证明小明结论吗？【考点】奇偶分析法之代数法【难度】4 星【题型】解答【解析】略【答案】由小红的提出的等式组，我们可以得到 (  1) 1991   bcd a ， (  b acd ，发现如果每个等式的结果都是一个奇数，那么要求 , (  abc 1) 1997   d 因为只有奇数与奇数相乘才能得奇数，这样 , 等四个差均为偶数，乘积结果只能得偶数，发生矛盾。 , , a b c d 中任意三个数的乘积也为奇数，导致 ( c 1) 1993   , abd 1) 1995   ， (  , ， a b c d 四个数都是奇数， 1) abd  【例 20】设 a , b , c , d , e , , e e , a b b c c d d 在     , , f  f , , g 都是整数，试说明： f , g g  中，必有奇数个偶数．  a 【考点】奇偶分析法之代数法【难度】4 星【题型】解答【解析】略【解析】【答案】加数中奇数的个数决定和的奇偶性，反过来，和的奇偶性由加数中奇数的个数决定，所以我们考   虑这 7 个数的和． 2 a b  （）（）（）（）（）（）（）（数， a b , b c 个偶数． c d   , c d g  g d  , d e  e g  , g e  , e f f b c   f  f ,  a b c d      a ），和是偶 a 中，必有偶数个奇数，因而必有奇数  g e f 模块三、奇偶分析法之图论【例 21】你能不能将自然数 1 到 9 分别填入 3×3 的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数。【考点】奇偶分析法之图论【难度】3 星【题型】解答【解析】略【解析】【答案】不能。此题学生容易想到九宫格数阵问题，其实不是。1 到 9 中共有 5 个奇数，分别分成 3 组后会分布在每一行里面，也就是说要想实现每一行都是偶数，就需要每一行都有偶数个奇数，从而需要三行奇数的和是偶数，但是现在仅有 5 个奇数，所以无法填入。【巩固】你能不能将整数 0 到 8 分别填入 3×3 的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是奇数? 【巩固】【考点】奇偶分析法之图论【难度】3 星【题型】解答【解析】略【解析】【答案】不能。分析过程与例题类似。【例 22】能否将1 ~ 16 这 16 个自然数填入 4 4 的方格表中（每个小方格只填一个数），使得各行之和及各列之和恰好是 8 个连续的自然数？如果能填，请给出一种填法；如果不能填，请说明理由．【考点】奇偶分析法之图论【难度】3 星【题型】解答【解析】略【解析】【答案】不能．将所有的行和与列和相加，所得之和为 4 4 的方格表中所有数之和的 2 倍．即为： k        ） 15 16   （）（）（）（）（）（）（） 1 2 3 2 16 17     （而 8 个连续的自然数之和设为： k k  若 4 4 的方格表中各行之和及各列之和恰好是 8 个连续的自然数，应有 8 2 所以不能实现题设要求的填数法． k    显然这个式子左端为奇数，右端为偶数，得出矛盾． 4 17 28 8 k 5 6 7 1 2 3 4 7            k k k k k k  28 16 17  ，即  【例 23】在一张 9 行 9 列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如 a    ．问：填入的 81 个数字中是奇数多还是偶数多？ 5 3 8 5-6-1.奇数与偶数的性质与应用.题库教师版 page 6 of 13

1 2 3 4 5 6 7 8 9 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【考点】奇偶分析法之图论【难度】4 星【题型】解答【解析】此题如果按步就班地把每个格子的数算出来，再去数一数奇数和偶数各有多少．然后得出奇数和【解析】偶数哪个多，哪个少的结论．显然花时间很多，不能在口试抢答中取胜．我们应该从整体上去比较奇偶数的多少．易知奇数行偶数多一个，偶数行奇数多1 个．所以前 8 行中奇偶数一样，余下第 9 行奇数行，答案可脱口而出．偶数多．【答案】偶数多【巩固】如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如： 5 3 15 【巩固】 a    ．问填入的 81 个数中是奇数多还是偶数多？【考点】奇偶分析法之图论【难度】4 星【题型】解答【解析】奇数行奇数多 1 个，偶数行全是偶数，显然偶数多。【解析】【答案】偶数多【例 24】在“8 8 ”的方格中放棋子，每格至多放 1 枚棋子．若要求 8 行、 8 列、 30 条斜线（如图所示）上的棋子数均为偶数．那么“ 8 8 ”的方格中最多可以放多少枚棋子？【考点】奇偶分析法之图论【难度】5 星【题型】解答【解析】如图，观察向左下倾斜的 15 条斜线，其中的方格数依次是：1，2，3， ，7，8，7， ，3，2，【解析】 1，其中有 8 个奇数，表明有 8 条斜线中必须至少缺一个棋子．同理右下倾斜的斜线中，也有 8 条必须缺一个棋子．这样，总共至少缺 16 个子．下图表明缺 16 个棋子的时候是可以办到的，其中黑点占据的空格表示不放棋子的空格．第11题【答案】16 图1 【例 25】有 8 个棱长是 1 的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上都写着数字 1，第二组相对的面上都写着数字 2，第三组相对的面上都写着数字 3(如图)．现在把这 8 个小正方体拼成一个棱长是 2 的大正方体.。问：是否有一种拼合方式，使得大正方体每一个面上的 4 个数字之和恰好组成 6 个连续的自然数? 1 3 2 2 3 1 C G D H B F A E 【考点】奇偶分析法之图论【难度】4 星【题型】解答【解析】略【解析】【答案】假设满足条件的大正方体 ABCD－EFGH 可以拼成(见图 2)，即它的每个面上的 4 个数字之和恰好组成 6 个连续的自然数．那么这个大正方体的六个面上的 24 个数字之和 S 就等于这 6 个连续自然数之和．又因为，6 个连续自然数之中必有三个偶数、三个奇数，所以 6 个连续自然数之和必是奇数，即 S 是奇数．另一方面，考虑大正方体的 8 个顶点 A、B、C、D、E、F、G、H，它们分别是一个小正方体的顶点．由于，交于这些顶点的小正方体的三个面互不相对，因此，在这三 5-6-1.奇数与偶数的性质与应用.题库教师版 page 7 of 13

个面上所写的 3 个数字分别为 1、2、3．这样大正方体的六个面上的 24 个数之和 S=8×(1＋2＋ 3)=48．即 S 又应该是偶数．所以这是不可能的．模块四、奇偶分析法之生活运用【例 26】甲、乙、丙三人进行万米赛跑，甲是最后一个起跑的，在整个比赛过程中，甲与乙、丙的位置共交换了 9 次，则比赛的结果甲是第名．【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】3 星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 9 题【解析】三人的位置交换了奇数次，甲必然是在乙丙中间．如果交换了偶数次，甲是第一或第三名．【答案】甲是第 2 名【例 27】甲、乙两个哲人将正整数 5 至 11 分别写在 7 张卡片上．他们将卡片背面朝上，任意混合之后，甲取走三张，乙取走两张．剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放到麻袋里去了．甲认真研究了自己手中的三张卡片之后，对乙说：“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数．”试问：甲手中的三张卡片上都写了哪些数？答案是否唯一．【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】4 星【题型】解答【解析】甲手中的 3 张卡片上分别写了 6，8 和 10．甲知道其余 4 张卡片上分别写了哪些数，但不知道它【解析】们之中的哪两张落到了乙的手中．因此，只有在它们之中任何两张卡片上的数的和都是偶数时，甲才能说出自己的断言．而这就意味着，这 4 张卡片上所写的数的奇偶性相同，亦即或者都是偶数，或者都是奇数．但是由于一共只有 3 张卡片上写的是偶数，所以它们不可能都是偶数，从而只能都是奇数．于是 3 张写着偶数的卡片全都落入甲的手中．答案是唯一的．【答案】甲手中的 3 张卡片上分别写了 6，8 和 10．答案是唯一的．【例 28】甲同学一手握有写着 23 的纸片，另一只手握有写着 32 的纸片．乙同学请甲回答如下一个问题： “请将左手中的数乘以 3，右手中的数乘以 2，再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数？” 当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有 23 的纸片握在甲的左手中．你能说出是什么道理吗？【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】4 星【题型】解答【解析】略【解析】【答案】甲的两张纸片，23 是奇数，32 是偶数．因此，只要能判断出甲的左手中握的是奇数，即可知左手的是 23 ．设甲左手握的数为 a ，右手握的数为 b ，乙同学请甲计算所得结果为 c ，则 3     ．⑴ 若 c 为奇数，则 3 a 为奇数，所以左手握的数 a 是奇数．⑵ 若 c 为偶数，则 3 a 为偶数，所以左手握的数 a 是偶数．因此，从 c 的奇偶性就可以断定左手握的数 a 的奇偶性，从而确定左手握的数是 23 还是 32．在本题中， c 为奇数，因此合于第(1)种情况， a 是奇数，即左手中握的是 23． c 2a b 【例 29】在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好．主人很高兴，笑着说：“不论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个．”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】3 星【题型】解答【解析】略【解析】【答案】⑴ 握偶数次手的人：不管奇数个人还是偶数个人．总次数  偶数次  人数  偶数 ⑵ 握奇数次手的总次数  握手总次数  偶数次握手总次数，即偶  偶  偶，而偶  奇数次  人数  人数为偶数，由此证明．【巩固】元旦前夕，同学们相互送贺年卡．每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张【巩固】贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】3 星【题型】解答【解析】略【解析】【答案】此题初看似乎缺总人数．但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关．由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次．那么贺年卡的总张数应能被 2 整除，所以贺年卡的总张数应是偶数．送贺年卡的人可以分为两种：一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数．另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数  所有人送出的贺年卡总数-所有送出了 5-6-1.奇数与偶数的性质与应用.题库教师版 page 8 of 13

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