6-3-5 工程问题（三）.教师版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：1.51M 资料格式：doc 举报版权申诉

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工程问题（三）教学目标 1. 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法； 2. 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理； 3. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换； 4. 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．知识精讲工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。一．工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。工作总量：一般抽象成单位“1” 工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面： ① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题； ② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用； ③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理； ④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．例题精讲 2-3-5.工程问题.题库教师版 page 1 of 15

水渠的 2 5 【难度】3 星【考点】工程问题【解析】法一：甲、乙合作完成工程的 2 5  【题型】解答 30   2 5 12 (天)．甲队先做 4 天，比合作少了12 4 8   (天)；需要：．甲队单独工作需要： 30 30 2 90  (天)，所以甲队做8 天相当于乙队做 4 天，甲、乙两队工作效 ( 天 ) ；乙队单独工作需要：   4  乙队后做16 天，比合作多了16 12 率的比是 4 :8 1: 2  (天)。 30 30 2 法二：我们知道，甲乙合作，每天可以完成工程的 1 30   45  ，而题目中给定的“甲队先挖 4 天，再由乙队单独挖16 天”，相当于甲乙两队先合作 4 天，然后再由乙队单独挖12 天，于是两队合作 4 天，可以完成工程的 1 30  ，于是乙队的工作效率为 4 4 15 15   ，也就是说乙队12 天挖了 2 4 2 5 15  ，那 2 15 1 45 12   么甲队的工作效率就是 1 30  1 45  ，即甲队单独做需要 90 天，乙队单独做需要 45 天。工程问题里 1 90 面也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系．其实这一点是与工程习惯无关的．【答案】甲队单独做需要 90 天，乙队单独做需要 45 天【例 2】一项工程，甲、乙、丙三人合作需要 13 天完成.如果丙休息 2 天，乙就要多做 4 天，或者由甲、乙两人合作 1 天.问这项工程由甲独做需要多少天？【难度】3 星【考点】工程问题【解析】丙 2 天的工作量，相当乙 4 天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的 4÷2=2（倍），甲、乙合作 1 天，与乙做 4 天一样.也就是甲做 1 天，相当于乙做 3 天，甲的工作效率是乙的工作效率的 3 倍.乙做 13 天，甲只要 13 3 天，丙做 13 天，乙要 26 天，而甲只要 26 3 天他们共同做 13 天的工作量，由甲单独【题型】解答完成，甲需要 13 3 13   26 3  天 26 【答案】 26 天【例 3】抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙．如果 3 人合抄只需 8 天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？工程问题方法与技巧（一）等量代换法【例 1】甲、乙两队合作挖一条水渠要 30 天完成，若甲队先挖 4 天后，再由乙队单独挖16 天，共挖了这条．如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？每天工作效率和的 1 5 【难度】3 星【考点】工程问题【解析】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的 1 8 【题型】解答，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的 1 8 ，即甲每天抄写书稿的 1 16 ；由于丙抄写 5 天相当于甲乙合抄一天，从而丙 6 天抄写书稿的 1 8 ，即丙每天抄写书稿的 1 48 人单独抄写需要 1÷ 1 24 =24 天才能完成．【答案】24 天；于是可知乙每天抄写书稿的 1 8 - 1 16 - 1 48 ＝ 1 24 .所以乙一 2-3-5.工程问题.题库教师版 page 2 of 15

【例 4】一项工程，甲独做 6 天完成，甲 3 天的工作量，乙要 4 天完成．两队合做 2 天后由乙队独做，还要几天才能完成？【难度】3 星【题型】解答【考点】工程问题【解析】法一：我们把工程看作两个人分别完成的，那么显然，甲在其中只工作了 2 天，剩下的都是乙完成的。甲完成整个工作需要 6 天，除去自己完成的 2 天以外，剩下工作量甲需要 4 天完成，乙的工作效率是甲的 3 4 10 3 ，因此甲 4 天完成的量，乙需要 4 3   天完成，除去与甲合作的 2 天以外，乙还要   天。做 16 3 16 3 4 2 法二：甲的工作效率为 1 6 ，所以乙的工作效率为 1 6    ．两队合作 2 天后乙队独做还要 3 4 1 8     2 1 8 2      1 8 10 3 天才能完成． 1    【答案】 10 3 1 6 天【例 5】打印一份书稿，甲按规定时间可提前 2 天完成，乙则要超过规定时间 3 天才能完成．如果甲、乙合做 2 天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成．甲、乙两人合做需要几天完成？【难度】4 星【考点】工程问题【解析】根据“甲按规定时间可提前 2 天完成，乙则要超过规定时间 3 天才能完成．如果甲、乙合做 2 天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成”，可知甲做 2 天的工作量等于乙做 3 天的工作量，所以完成这项工作甲、乙所用的时间比是 2 :3 ．另外，由于甲、乙单独做，乙用的时间比甲多 3 2 5   天，【题型】解答所以乙独做需要的天数是： (3 2)   3 3 2   15 (天)，甲独做需要15 5 10   (天)，甲、乙合做需要 1     1 1 10 15      6 (天)．【答案】 6 (天) 【例 6】一项工程，如果甲先做 5 天，那么乙接着做 20 天可以完成；如果甲先做 20 天，那么乙接着做 8 天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？【考点】工程问题【解析】本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：【题型】解答【难度】3 星从图中可以直观地看出：甲 15 天的工作量和乙 12 天的工作量相等，即甲 5 天的工作量等于乙 4 天的工作量．于是可用“乙工作 4 天”等量替换题中“甲工作 5 天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需要 20 4   24 (天)完成，即乙的工作效率是 1 24 ． 2-3-5.工程问题.题库教师版 page 3 of 15

又因为乙工作 4 天的工作量和甲工作 5 天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的 4 5 那么甲、乙合作完成这一工程需要的时间为 1 (  1 24  1 30 ) 13  1 3 (天)．【答案】 113 3 天，为 1 4 24 5   ， 1 30 【巩固】一件工作甲先做 6 小时，乙接着做12 小时可以完成；甲先做8 小时，乙接着做 6 小时也可以完成．如果甲做 3 小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？【考点】工程问题【解析】根据题意可知，甲做 8 6 【难度】3 星   小时的工作量等于乙做12 6 6   小时的工作量， 2 【题型】解答可见甲做 1 小时的工作量等于乙做 3 小时的工作量．那么可以用乙做 3 小时来代换甲做 1 小时，可知乙完成全部工作需要 6 3 12 30 甲先做的 3 小时相当于乙做了 9 小时，所以乙还需要 30 9   小时．   21  小时，【答案】 21 小时【巩固】一份文件，如果甲抄 10 小时，乙抄 10 小时可以抄完；如果甲抄 8 小时，乙抄 13 小时也可以抄完．现在甲先抄 2 小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？【考点】工程问题【解析】由题意可知，甲、乙合作的效率为 1 10 【难度】3 星【题型】解答；将甲抄 8 小时，乙抄 13 小时，转化为甲乙和抄 8 小时，乙单独抄 5 小时，则乙单独工作的效率为 1 8      1 10     (13 8)   1 25 ，所以甲单独工作的效率 1 10  1 25 3  ．甲、乙两人的工作效率之比为 3 50 1: 50 25  ． 3: 2 甲先抄 2 小时，这 2 小时的工作量如果两人合作，需要 3 2 (3 2) 1    小时，  1 5 所以剩下的工作量由甲、乙合作，还需要 10 1  1 5 【答案】 48 5 小时  小时． 8 4 5 【例 7】一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成 1 2 时前来帮忙，待工程完成 5 6 时离去，结果恰按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半．如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做下去，将比计划推迟 13 3 效率是丙的 3 倍，问：计划规定的工期是多少天？天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前 6 天完成．还知道乙的工作【考点】工程问题【关键词】北大附中，资优博雅杯【难度】5 星【题型】解答【解析】丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成 5 6 时离去，所以乙、丙合做了全部工程的 1 3 ；如果丙不来帮忙，这 1 3 的工程由乙独做，那么乙完成这 1 3 的工程时间将比乙、丙合做多用 10 3 天．由于乙的工效是丙的工效的 3 倍，乙、丙合做的工效之和为乙独做的 4 3 倍，那么乙独做所用的时间为乙、丙合 2-3-5.工程问题.题库教师版 page 4 of 15

做所用时间的 4 3 倍，所以乙、丙合做这 1 3 的工程所用的时间为 10 3  4( 3 1) 10   天．那么乙的工效为  ．由于在丙来帮忙的情况下乙共做了工程总量的一半，所以乙工作的天数为  天，其中有 10 天是乙、丙在合做，另外 10 天(被分成了前后两段)乙一个人独做．那么 )  1 3 1 40 10 (1   1 3 1 2 乙、丙共完成了全部工程的 1 2 1 40 20   1 1 40 3   10  ，根据题意，这 7 7 12 12 的工程如果由甲独做，只需要  ．甲完成全部工程需要 24 天．由于全部由甲独做可比计 20 6 14   天，那么甲的工效为 7 12  14 划提前 6 天完成，所以原计划工期是 24 6 30 1 24   天．【答案】 30 天（二）比例法【例 8】一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作 5 小时，共完成这批零件的 2 3 作效率之比是 5:3 ，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？。已知甲与乙的工【考点】工程问题【解析】乙 5 小时完成总工作量的 2 【难度】3 星【题型】解答  1 4 ；乙每小时完成总工作量的 1 4   ；乙需要完成的总工作 5 1 20 3 3 5 3   量为 1 2 【答案】 5 小时；乙要完成这个任务还需要的时间： 1 2  1 20   （小时） 5 5 【例 9】一项工程，甲 15 天做了 1 4 后，乙加入进来，甲、乙一起又做了 1 4 ，这时丙也加入进甲、乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为 3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为 2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天? 【难度】3 星【题型】解答【考点】工程问题【解析】方法一：先把整个工程分为三个阶段：Ⅰ﹑Ⅱ﹑Ⅲ；且易知甲的工作效率为 1 . 60 又乙、丙工作的天数之比为(Ⅱ+Ⅲ)：Ⅲ=2：1，所以有Ⅱ阶段和Ⅲ阶段所需的时间相等．即甲、乙合作完成的 1 4 的工程与甲、    的工程所需的时间相等．所以对于工作效率有：(甲+乙)×2=(甲+乙+丙)，又有乙、丙的工作效率的比为 3：5．易知乙的工作效率为 3 , 120 丙的工 1 1 4 乙、丙合作完成 1 1 4 2 甲+乙=丙，那么有丙-乙= 1 . 60 作效率为： 5 . 120 3 1 60 120 8 1 60 120 方法二：显然甲的工作效率为 1 60     1 4 1 2 15   ( ) ( 那么这种情形下完成整个工程所需的时间为： ) 15 6 6     天. 27 ，设乙的工作效率为 3x ，那么丙的工作效率为 5x ．所以有乙工作的天数为 1 4  ( 1 60  3 ) x   1 2 ( 1 60  8 ), x 丙工作的天数为 1 2  1( 60  8 ). x 且有 2-3-5.工程问题.题库教师版 page 5 of 15

(   2 1 2 8 ) x 1 60    1 60 丙的工作效率为高 5 . 120 8 ). x 即 1 4  ( 1 60  3 ) x   1 2 ( 1 60  8 ), x 解得 x  1 . 120 所以乙的那么这种情形下完成整个工程所需的时间为： ( (   3 ) x   1 60 1 1 4 2 工作效率为 3 , 120 3 1 60 120    ( 15 1 4 【答案】 27 天 )   1 2 ( 8 1 60 120  ) 15 6 6     天. 27 【例 10】甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按 9 :8:3 派工，后因丙村不出工，将他承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资 360 元，结果甲村共派出 45 人，乙村共派出 35 人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？【难度】4 星【考点】工程问题【解析】丙村出的 360 元钱是不是应该按照甲乙两村派出的人数比即 45:35 9 : 7 来进行分配呢？我们仔细思考一下，发现丙村所出的钱应该是其他两个村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑的是甲乙两村各帮丙村出了多少人，然后再计算如何分配。【题型】解答  甲、乙两村共派出了 45 35 80  人，而这 80 人，按照原计划应是甲村派出  80  9 9 8 3    36 人，乙村派出 32 人，丙村派出 12 人，所以，实际上甲村帮丙村派出了 45 36 9 35 32 3 分得： 360 (3 1) 3 270  人，乙村帮丙村派出了  来分配给甲、乙两村，所以，甲村应  元．  人，所以丙村拿出的 360 元钱，也应该按 9 :3 3:1    元，乙村应分得： 360 270 90     【答案】 90 元【例 11】某工地用 3 种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10 : 7 : 6 ，速度比为 6 :8:9 ，运送土方的路程之比为15:14 :14 ，三种车的辆数之比为10 :5: 7 ．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10 天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了 25 天完成任务．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？【考点】工程问题【关键词】二中【解析】由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为15:14 :14 ，速度之比为 6 :8:9 ，所以它们运送1 次【题型】解答【难度】3 星所需的时间之比为 15 14 14 9 6 8 : :  5 7 14 2 4 9 : : ，相同时间内它们运送的次数比为： 2 4 9 : 5 7 14 : ．在前10 天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为 5:5: 7 ．由于三种卡车载重量之比为10 : 7 : 6 ，所以三种卡车的总载重量之比为 50 :35: 42 ．那么三种卡车在前 10 天内的工作量之比为：    工作量之比为 40 : 20 : 27 ．所以在这 25 天内，甲的工作量与总工作量之比为：．在后15 天，由于甲车全部投入使用，所以在后15 天里的   : 42       : 35     20 : 20 : 27 9 14 4 7 2 5 50        ( 20 20 27   20 10 40 15   )   (   10 40 20 27   32 79 ．  ) 15 【答案】 32 79 【例 12】甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共 1800 元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作 6 天完成了工程的 1 ，因为甲有事，由乙、丙合作 2 天完成余下工程的 1 4 3 作 5 天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？，以后三人合【考点】工程问题 2-3-5.工程问题.题库【难度】4 星【题型】解答教师版 page 6 of 15

6 1 18   ；乙、丙两人的工作效率之和为 1  3 【关键词】清华附中【解析】根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为 1 3 1 12 1 4 1 4 甲、乙、丙三人的工作效率之和为 1  3 1  ，乙的工作效率为 1 60 18  分别可求得甲的工作效率为 1  ，则甲完成的工程量为： 1 10 12    ； ) 5   ． (1   1 10 (1 (1 2  ) ) 1 1 10 18  2 45  1 60  7 180 ，丙的工作效率为丙完成的工程量为：所以，甲应得 1800  2 45   2 5   33 33 91 56      6 5 1 60 11 60  ，乙完成的工程量为： 7 180  ，三人所完成的工作量之比为 11 91 14 14 45 60 180 45 : :   330 元，乙应得 330  91 33  元，丙应得 910 330    6 2 5     91 180 ， 33:91:56 ． 56 33  元． 560 【答案】甲应得 330 元，乙应得 910 元，丙应得 560 元【例 13】放满一个水池，如果同时打开 1，2 号阀门，则 12 分钟可以完成；如果同时打开 1，3 号阀门，则 15 分钟可以完成；如果单独打开 1 号阀门，则 20 分钟可以完成；那么，如果同时打开 1，2，3 号阀门，【考点】工程问题【关键词】学而思杯，6 年级【解析】单独打开 1 号门，20 分钟可以完成，说明 1 号门每分钟完成 1 20 ，而同时打开 1、2 号闸门 12 分钟分钟可以完成。【难度】3 星【题型】解答可以完成，说明 2 号闸门每分钟完成 1 12 1 说明 3 号闸门每分钟完成 1 15 60 1 20   1 20  ，而现在同时打开 1、3 号闸门，15 分钟可以完成， 1 30  ，则同时打开 1、2、3 号闸门，需要 1     1 20  1 30  1 60     10 分钟。【答案】10 分钟【例 14】一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水．若只开甲、丙两管，甲管注入 18 吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入 27 吨水时，水箱才满．又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的 2 倍．则该水箱最多可容纳多少吨水？【难度】4 星【考点】工程问题【解析】由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的 2 倍．那么甲管注入 18 吨水的时间是乙管注入 4 :3 18 2 36  ．那么在这两种情况下丙管注水的时间比为 4 : 3 ，而且前一种情况比后一种情况多注入 27 18 9  吨水，则甲管注入 18 吨水时，丙管注入水 9 (4 3) 4 36 所以该水箱最多可容纳水18 36 54   吨水的时间，则甲管注入 18 吨水的时间与乙管注入 27 吨水的时间比是 36 : 27    吨．   吨．【题型】解答   【答案】 54 吨【例 15】一个水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入 30 吨水时，水箱已满；如果只打开乙、丙两管，乙管注入 40 吨水时，水箱才满．已知乙管每分钟注水量是甲管的1.5 倍，则该水箱注满时可容纳吨水．【考点】工程问题【难度】4 星【题型】解答 2-3-5.工程问题.题库教师版 page 7 of 15

【解析】方法一：乙注入 40 吨水的时间相当于甲注入 40 1.5 吨水的时间，甲注入 30 吨水，丙可注水量为 x ，那么，乙注 40 吨水丙可注水量为 40 1 1.5 30  x ，所以 30   x 40  40 1 1.5 30  x ，解得 90 x  ，90 30 120  （吨）   为水箱容量。方法二：如果只打开甲、丙两管，注满水时甲管注入了 30 吨水；如果只打开乙、丙两管，注满水时乙管注入了 40 吨水．由于乙管每分钟注水量是甲管的1.5 倍，所以在甲管注入 30 吨水的时间内，乙  吨水，而在只打开乙、丙两管的情况下乙管共注入了 40 吨水，可见打开甲、管可以注入 30 1.5 45 丙两管注满水所用的时间是打开乙、丙两管所用时间的 45 40 下丙管注了 a 吨水，则打开甲、丙两管的情况下丙管注了 9 8 a  ，所以水箱注满时可容纳 80 40 120 80 间的 9 8 倍之后，可以假设第二种情况此时乙、丙两管继续注水，总时间为注满水所需时间的 9 8 9 8 a 吨水，所以有 9 8  吨水．在得到第一种情况所用时间是第二种情况所用时  倍．可以假设打开乙、丙两管的情况   ，得到倍， 30 40  a  a 倍．然而此时注水时间相同，所以丙管注入的水量相同，乙管则注入 30 1.5 45 也就是与第一种情况所用时间相同．此时，注入的水量也是水箱容积的 9 8  1 8  吨，所以这 15 吨就是水箱容积的 1 8 ，那么水箱容积为了 45 30 15 120 15    吨．倍，即比第一种情况多了 1 8  吨水，比甲管多注【答案】120 吨【例 16】有甲、乙两个相同的空立方体水箱，高均为 60 厘米，在侧面上分别有排水孔 A 和 B ． A 孔和 B 孔距底面 50 厘米和 30 厘米，且两孔排水速度相同．现在以相同速度一起给两水箱注水，并通过管道使 A 孔排出的水直接流入乙箱．70 分钟后两水箱同时注满．如果关闭两孔，直接将空水箱注满需要________分钟． 10厘米 20厘米 30厘米既注水又排水只注水孔 A 只注水甲 20厘米 10厘米 30厘米相当于只注水既注水又排水只注水孔 B 乙【考点】工程问题【解析】由于两个立方体水箱上的孔的高度不同，所以在不同的阶段，两个水箱内注水、排水的情况不同，【题型】解答【难度】5 星对此可以分阶段进行分析．如图所示，当注水没有超过 30 厘米高度时，水没有达到 A 、 B 两孔的高度，此时两个孔都不排水，所以这个阶段两个水箱都是只注水，所用时间也相同；当水达到 30 厘米高度而又没有达到 50 厘米高度时，甲箱还是只注水，乙箱则既注水又排水；当甲箱内的水达到 50 厘米高度时，甲箱开始既注水又排水，而此时乙箱在注水的同时也在排水，同时 A 孔排出的水也流入乙箱，由于 A 、 B 两孔排水速度相同，所以 A 孔排出、流入乙箱的水与 B 孔排出的水相同，所以这一阶段乙箱相当于只注水．由于两水箱同时注满，注满水所用的时间相同，那么甲、乙两水箱的既注水又排水阶段所用的 2-3-5.工程问题.题库教师版 page 8 of 15

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