5-1-4-1 幻方（一）.学生版.doc-资料库

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5-1-4-1.幻方（一）教学目标 1. 会用罗伯法填奇数阶幻方 2. 了解偶数阶幻方相关知识点 3. 深入学习三阶幻方知识点拨一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是 3 行，竖着数是 3 列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成 1 至 9 的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有 3 行 3 列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为 15 的三阶幻方．如下图： 4 3 8 9 5 1 2 7 6 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的 3 3 的数阵称作三阶幻方， 4 4 的数阵称作四阶幻方， 5 5 的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 8 3 4 1 5 9 6 7 2 1 12 8 13 15 6 10 3 14 7 11 2 4 9 5 16 三、解决这幻方常用的方法 ⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和：所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． 5-1-4-1.幻方（一）.题库学生版 page 1 of 7

③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独数独简介：（日语：数独すうどく）是一种源自 18 世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。如今数独的雏型首先于 1970 年代由美国的一家数学逻辑游戏杂志发表，当时名为 Number Place。现今流行的数独于 1984 年由日本游戏杂志《パズル通信ニコリ》发表并得了现时的名称。数独本是“独立的数字”的省略，因为每一个方格都填上一个个位数。数独可以简单的数为：让行与列及单元格的数字成规律性变换的一类数字谜问题解题技巧：数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个空格只位于两个单元之内，但是同时多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围。总结 4 个小技巧： 1、 2、 3、 4、巧选突破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？首先我们要通过规则的限制来分析每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选择所在行、所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而大小数独中已知的数字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外更加需要考虑大小关系的限制。相对不确定法：有的时候我们不能确定 2 个方格中的数字，却可以确定同一单元其他方格中肯定不会出现什么数字，这个就是我们说的相对不确定法。举例说明，A1 可以填入 1 或者 2，A2 也可以填入 1 或者 2，那么我们可以确定，1 和 2 必定出现在 A1 和 A2 两者之中，A 行其他位置不可能出现 1 或者 2. 相对排除法：某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选数字进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。举例说明，A 行中已经确定 5 个数字，还有 4 个数字（我们假设是 1、2、3、4）没有填入，通过这 4 个空格所在的其他单元我们知道 A1 可以填入 1、2、3、4，A2 可以填入 1、3，A3 可以填入 1、2、3，A4 可以填入 1、3，这个时候我们可以分析，数字 4 只能填入 A1 中，所以 A1 可以确定填入 4，我们就可以不用考虑 A1，这样就可以发现 2 只能填入 A3 中，所以 A3 也能确定，A2 和 A4 可以通过其他办法进行确定。假设法：如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能进行无意义的假设，假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在同一个单元内的其它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。举例说明， B3 可以填入 1 或者 2，A3 可以填入 2 或者 3，B4 可以填入 1 或者 2，这个时候我们就应该假设 B3 填入 2，这样就可以确定 A3 填入 3，B4 填入 1，然后以这个为基础进行推理，如果推出违反规则的情况出现，那么这个假设就是错误的，我们回到假设点重新开始。例题精讲模块一、构造幻方【例【例 11】】 3 3 的正方形中，在每个格子里分别填入1 ~ 9 的 9 个数字，要求每行每列及对角线上的三个数的和相等（请给出至少一种填法）． 5-1-4-1.幻方（一）.题库学生版 page 2 of 7

【例【例 22】】 3 3 的正方形格子中，在每个格子里分别填入 2 ~ 10 的 9 个数字，要求每行每列及对角线上的三个数的和相等（请给出至少一种填法）．【例【例 33】】用 11，13，15，17，19，21，23，25，27 编制成一个三阶幻方。【例【例 44】】如下图的 3 3 的阵列中填入了1 ~ 9 的自然数，构成大家熟知的 3 阶幻方．现在另有一个 3 3 的阵列，请选择 9 个不同自然数填入 9 个方格中，使得其中最大者为 20，最小者大于 5，且要求横加、竖加、对角线方式相加的 3 个数之和都相等． 4 3 8 9 5 1 2 7 6 【例【例 55】】从 1、2、3…20 这 20 个数中选出 9 个不同的数放入 3×3 的方格表中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。这个 9 个数中最多有_______个质数。 5-1-4-1.幻方（一）.题库学生版 page 3 of 7

【例【例 66】】请你将1 ~ 25 这二十五个自然数填入 5 5 的空格内使每行、每列、每条对角线上的五数之和相等．模块二、幻方性质【例【例 77】】将九个数填入下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数 k ，则中心方格中的数必为 3k  ．【例【例 88】】请编出一个三阶幻方，使其幻和为 24．【巩固】将九个连续自然数填入下图的九个空格，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于 60．【巩固】 17 22 21 24 20 16 19 18 23 5-1-4-1.幻方（一）.题库学生版 page 4 of 7

【例【例 99】】将九个数填入下图的空格中，使得每行、每列以及每条对角线上的三个数之和都相等，证明： c   （） a b  2 【例【例 1010】】在下图中的 A 、 B 、 C 、 D 处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方． A B 16 12 15 C D 20 11 【巩固】在图的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则 N= 【巩固】。【巩固】在下面两幅图的每个空格中，填入 7 个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于【巩固】 21． 8 4 8 4 【巩固】在图 1 所示的和方格表中填入合适的数,使得每行、每列以及每条对角线上的三个数的和相等。那么【巩固】标有“★”的方格内应填入的数是_______. 5-1-4-1.幻方（一）.题库学生版 page 5 of 7

【例【例 1111】】在九宫图中，第一行第三列的位置上填 5，第二行第一列位置上填 6，如下图．请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为 27． 5 6 A 6 E B C F 5 D G 8 6 13 14 9 4 5 12 10 【巩固】【巩固】在下图的空格里填入七个自然数，使每一行、每一列及每一条对角线上的上的三个数的和都等于 90． 23 57 3 47 40 23 30 37 20 57 13 【巩固】右图中有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之【巩固】和都相等。问：图中左上角的数是多少? 【巩固】图中是一个 3 3 幻方，满足每行、每列及两条对角线上三数之和都相等，那么其中“★”代表的数是【巩固】 __________．【巩固】图中 A  ______, B  ______, C  ______， D  ______时，它才能构成一个三阶幻方？【巩固】 A B 25 23 D 22 C 19 26 【巩固】在如图所示的九宫图中，不同的汉字代表不同的数，每行、每列和两条对角线上各数的和相等。已【巩固】 5-1-4-1.幻方（一）.题库学生版 page 6 of 7

知中＝21，学＝9，欢＝12，则希，望，杯的和是__________ 。【例【例 1212】】在下面的 4 4 方格中填入 0～9 中的数字，使得每行每列的和等于每行的右端及每列的下端所写的数字．其中，所有的 0 都已经填好，而且同一行或者同一列中不允许出现相同的非零数字．则对角线上的四个数字所组成的四位数 ABCD 是 0 ． 0 0 C 9 D 12 A B 0 20 0 0 7 4 17 23 4 【巩固】方格中的图形符号“◇”，“○”，“▽”，“☆”代表填入方格中的数，相同的符号代表相同的数，如图【巩固】所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别是 36，50，41，37，则第三行的四个数的和为【例【例 1313】】将 2、4、6、8、12、18、24、36、72 填入右边的九宫格，使每行每列及两条对角线上三数的积都相等．每行的三个数的积是______．【例【例 1414】】请将 1～9 这 9 个数填入右图 3×3 表格中，使得第 1,2 行三数的乘积分别是 70，24，第 l,2 列三数的乘积分别是 21．72． 70 24 21 72 5-1-4-1.幻方（一）.题库学生版 page 7 of 7

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