5-1-3-2 数阵图（二）.教师版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：2.02M 资料格式：doc 举报版权申诉

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5-1-3-2.数阵图教学目标 1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题知识点拨 . 一、数阵图定义及分类： 1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．例题精讲复合型数阵图【例 1】由数字 1、2、3 组成的不同的两位数共有 9 个，老师将这 9 个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选 5 个数来求和．小刚选的 5 个数的和是 120，小明选的 5 个数的和是 111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．【考点】复合型数阵图【难度】3 星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3 题【分析】这 9 个数的和：11 12 13 21 22 23 31 32 33  3  10 20 30     ）（    3 198 1 2 3   ）      （  由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这 9 个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这 9 个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是 120 111 198 33  ．   【答案】 33 【例 2】如图 1，圆圈内分别填有 1，2，……，7 这 7 个数。如果 6 个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是 64，那么，中间圆圈内填入的数是。 5-1-3-2.数阵图.题库教师版 page 1 of 10

【考点】复合型数阵图【难度】3 星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 5 题，5 分【解析】2 【答案】 2 【例 3】如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和. 【考点】复合型数阵图【难度】3 星【题型】填空【解析】为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），【解析】则有 a+4+9=a+b+c（1） b+8+9=a+b+c（2） c+17+9=a+b+c（3） c=28-（17+9）=2 解：见图. （1）+（2）+（3）：（a+b+c）+56=3（a+b+c），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，【答案】【例 4】请你将数字 1、2、3、4、5、6、7 填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3 星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设 A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k 【解析】（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k， 5-1-3-2.数阵图.题库教师版 page 2 of 10

2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为 56+A 为 5 的倍数，得 A=4，进而推出 k=12，因为在 1、2、3、5、6、7 中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设 B=1，F=5，D=6，则 C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）【答案】【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有 3 个相邻(即有线段相连的圆圈) 的圆圈。将左下图中每个圆圈中的数改为 3 个相邻圆圈所填数的平均值，便得到右下图。如果左下图中已有一个数 1，请填出左下图中的其它数，使得右下图中的数都是自然数。【考点】复合型数阵图【难度】4 星【题型】填空【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 10 题，10 分【解析】答案不唯一。要求四个灰色圆圈中所填的数除以 3 的余数相同，另外四个圆圈中所填的数除以 3 的余数也相同。注：题中左、右两图是两个不同的图，左图要求各数互不相同(见答案)，右图中各数是根据左图改的，只要求是自然数，可以相同。【答案】【例 6】将 1 至 8 这八个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的  内，并使每个面上的四个  内的数字之和都相等。求与填入数字 1 的  有线段相连的三个  内的数的和的最大值。【考点】复合型数阵图【难度】4 星【题型】填空【考点】【难度】星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第 13 题，15 分【解析】因为 1 到 8 的和为 36，而上面四个数的和等于下面四个数的和，所以都为 18。因为每个面的数字和相等，所以一个面上应当大小数搭配，也就是说，和最小的数字 1 在同一个面上的应该有较大的数。尝试最大的三个数 8，7，6，则和 1，8，7 在同一个面上的数应该是 18-1-8-7=2，和 1，8，6 在同一个面上的数应该是 18-1-8-6=3，和 1，7，6 在同一个面上的数应该是在同一个面上的数应该是 18-1-7-6=4，剩下一个 5 填在剩下的○中，经检验，符合题意，那么与 1 相连的三个○的和是 5-1-3-2.数阵图.题库教师版 page 3 of 10

6 7 8 21    【答案】 21 【例 7】将自然数1 到11分别填在右图的圆圈内，使得图中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等． b 18- b - c c 12- b b+ -6 c 12- c + c d -6 18- - c d 1 11 8 4 9 7 3 5 12- d 【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空【解析】设左下角的数为 a ，每条直线上的三个数的和为 S ．由于这 11 个数的和为1 2 【解析】 10 2 6 6 d 6 ．从左下角引出的 5 条直线的总和为 5S ，其中左下角的数多计算了 4 次，则 5  ；又由三条横线及左下角引出的一条斜线上的数的总和可得 4 S  ， a  ，即左下角的数为 6，每条线上的数之和为 18．再设大正方形其他三个圆圈上的数分别为 b ， c ，d ，于是可得各个圆圈中的数如图所示．除 6 以外的 10 个数分别为：b ，c ，d ，12 b ，12 c ， 12 d ，18 b c    ，得到  ．所以，只要选取适当的 b ， c ， d 的值，使得上面的 10 个数各 3 c d b   ，即不相同即可．比如，选择 9 d  ，则可得到如右上图所示的一种填法．本题答案不唯一，下面再给出两种填法。   ， 30 3 c c  ， 1b  ， 2  ．从而结合上面的两个式子可得 18 c d  ．由于18   ，18 c d 30   b d b c  ，    b c 11 66   a   66 4 c d 12   c 18 18 S  66 S  6 6  【答案】 a 11 2 1 6 10 7 3 8 5 9 4 11 4 8 1 6 9 7 2 3 5 10 11 4 8 1 6 9 7 2 3 5 10 11 2 1 6 10 7 3 8 5 9 4 【例 8】在下图中，在每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中数的和都是 234，那么标有★的圆圈中所填的数是_____________．【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，决赛，11 题【分析】为表述方便，将圆圈中数用字母替代（如右图）．根据题意，有 5-1-3-2.数阵图.题库教师版 page 4 of 10

f  ⑴ 234 a  ★ 234 b c  ★ 234 e d  ★ 234 a b e    234 c d f    ⑴  ⑵  ⑶  ⑷  ⑸，有 3 ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 【答案】 78  ★ 234 ，即 ★  234 3 78   ．【例 9】请将 1，2，3，…，10 这 10 个自然数填入图中的 10 个小圆圈内，使得图中的 10 条直线上圆圈内数字之和都相等．那么乘积 A B C    ？ A B C 【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，决赛，10 题【解析】对于本题，可以通过“10 条直线上圆圈内数字之和都相等”(实际上是 11 条)这一等量关系，将每一个【解析】   ，可得图中每一个小圆圈中的数小圆圈中的数表示出来．由于每一条直线上的数之和都为 A B C 如下图。 B-2C A-C A+2C B-C B C 2C A+C 3C A   ，可以得到，由于中间竖直方向的线段以及从左下角 A 出发的只有两个数字的那条线段，它们的数字和都是 A B C  ，即 6B 2   ，代入得 2 C 8 6 1 48     3 3 B C   C ，只能是 1C  ， 6B  ， A B        ，可得  ，则 A B A B C   2 A C 2 8 C A B C   8 6 1 48 3 C 3 C B  3 B   A B C   【答案】【例 10】下图中有 11 条直线．请将 1 至 11 这 11 个数分别填在 11 个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数． ﹡ 【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空【解析】设每行的和为 S ，在左下图中，除了 a 出现 2 次，其他数字均只出现了 1 次，并且每个数字都出现【解析】了，于是有 4 S     (1 2 3   11)   a 66  a ； 5-1-3-2.数阵图.题库教师版 page 5 of 10

﹡ a ﹡ a 在右上图中除了 a 出现 5 次，其他数字均只出现了 1 次，并且每个数字都出现了，于是有 5     (1 2 3 66 4 ．  a S       综合以上两式， 11) 4 a    66 4 S a  66 4 5 a S  考虑到含有*的五条线，有 4      可见 t 是 4 的倍数，在 1～11 间可能为 4 和 8，但 t 为 8 时  也为 8，重复．所以 4 即每行相等的和为 18，标有*的圆圈中所填的数为 7．最终的填法如右下图． a  ， 18 ，解得 6 t   ． S  ． 18 5 90   (1 2 3 ，即 4 11)   t   24 t  ， 7  ． t ﹡ 5 7 10 1 4 8 6 2 11 9 3 5 7 10 1 4 8 6 2 11 9 3 【答案】【例 11】 “美妙的数学花园”这 7 个字各代表 1~7 中的一个数，并且每个圆中 4 个数的和都是 15。如果学比美大，美比园大，那么，园表示。【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空【关键词】（走美杯 3 年级决赛第 11 题，12 分）【解析】首先找出从1到 7 中四个数之和为15 的有以下四组：①1、 2 、 5 、 7 ；② 2 、 3 、 4 、 6 ；③1、 3 、 4 、7 ；④1、3 、5 、6 需要从其中选出 3 组，其中每两个组间都有两个相等的数，且这三组都含有同一个数，分析发现这三组可为①、③、④或②、③、④，当这三组数为①、③、④时即1，2 ，5 ， 7 ；1，3 ，4 ，7 ；1，3 ，5 ，6 ．其中①、③公有的是1，7 ；①、④公有是1，5 ；③、④公有1， 3 ，即“妙，花，数”应为 3 ，7 ，5 其中之一．则剩下数字 2 ，4 ，6 应为美、学、园其中之一．又因为学  美  园，所以学 6 ，美 4 ，园 2 ．当这三组数为②、③、④时同样的方法可分析出园 2 ．美5 妙1 数6 的3 花4 学7 园2 【答案】 2 5-1-3-2.数阵图.题库教师版 page 6 of 10

【例 12】图 2 中的五个问号分别表示五个连续的自然数，它们的和等于 130，三角形内两个数的和等于 53，圆内三个数的和等于 79，正方形内两个数的和等于 50。那么，从左向右，这五个问号依次是【考点】复合型数阵图【难度】3 星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 5 题，5 分【解析】根据题意答案为：25，28，27，24，26 【答案】25，28，27，24，26 【例 13】右图是大家都熟悉的奥林匹克五环标志．请将1 9 分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等．【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空【解析】设每个圆内的数字之和为 k ，则五个圆内的数字之和是 5k ，它等于1 9 的和 45 再加上两两重叠处【解析】     ，所以， k  ，13 ，14 时可得四种填法(见右下图)．的四个数之和．而两两重叠处的四个数之和最小是1 2 3 4 10 5 k      ，最大是 6 7 8 9 30 k  ．当 11  ，即11 45 30 75 45 10 55  ，5 k  15   8 7 6 3 2 4 5 8 4 1 9 9 1 3 7 6 2 5 8 7 4 6 7 1 9 3 2 8 2 6 5 3 9 1 5 4 a b c d     a b c d   ， 7 8 15 k  时，如右上图，设两两重叠处的四个数分别为 a ，b ，c ， d ，由上面的分析可知， a ，b ，   ，那么，不论 a 为多少，最左边的数总是会当 15 c ， d 分别为 6 ， 7 ， 8 ， 9 ，由于 6 9 15 与 b ， c ， d 中的某一个相同，矛盾．所以当 15 当 12 k  时， a  ，那么    ，这样与 b ，c 在同一个圆内的那个数将与 d 相同．可见 a ，b ，c ，d 都不能为 3 ．如 12 b c d 果 a ， b ， c ， d 中至少有 3 个数大于 3 ，那么它们至少为 4 ， 5 ， 6 ，另一个数至少为1，它们的和将不小于1 4 5 6 16     ，矛盾．所以 a ，b ，c ，d 中至少有 2 个数小于 3 ，这 2 个数只能为1和 2 ，那么另两个数之和为12 ．如果这两个数中有一个为 a 或者 d ，那么最左边或者最右边的数将与 a ，b ， c ， d 中的某一个相同，矛盾；如果这两个数为 b 和 c ，那么与 b ， c 在同一个圆内的那个数将只能为 0 ，这也不可能出现．所以当 12  ．如果 a ， b ， c ， d 中有一个数为 3 ，比如 3 k  时也没有符合题意的填法． k  时没有符合题意的填法． 12 5 45 15   【答案】当 11 k  ，13 ，14 时可得四种填法 8 7 6 3 2 4 5 8 4 1 9 9 1 3 7 6 2 5 8 7 4 6 7 1 9 3 2 8 2 6 5 3 9 1 5 4 【例 14】2008 年奥运会在北京举行。“奥”、“运”、 “会”、“北”、“京”这五个汉字代表五个连续的自然数，将其分别填在五环图案的五个环内，满足“奥”+“运”+“会”=“北”+“京”。这五个自然数的和最大是。 5-1-3-2.数阵图.题库教师版 page 7 of 10

【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空【关键词】迎春杯，四年级，初赛，第 2 题）【解析】不妨设最小一个数是 x，那么这 5 个数是 x，x+1，x+2，x+3，x+4.但无法将它们对应，但无论怎么【解析】样，列出的方程一定是这个形式的：（x+a）+（x+b）+（x+c）=（x+d）+（x+e），其中 a、b、c、d、 e 分别是 0、1、2、3、4.方程解得：x=（d+e）-（a+b+c），如果连续 5 个自然数最大，那么最小的那个自然数也必须取得最大，显然减号前是 3、4，减号后 0、1、2 时，x 取得最大值 4，所以这 5 个数是 4、5、6、7、8，和为 30 【答案】 30 【例 15】如图， A ， B ， C ， D ， E ， F ， G ， H ， I 代表九个各不相同的正整数，且每个圆中所填数的和都等于 2008 。这九个数总和最小为。【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 12 题，15 分【解析】假设 9 个数总和是 M ，则 M A B C D E F G H I       时，总和最小为 2008 3 3 6027 3 2008 M C G    ，所以当    C G 1 2     。   , 上面三个环的总和为：【答案】 6027 【例 16】如图， A ， B ，C ， D ， E ， F ，G ， H ， I 代表九个各不相同的正整数， A ， B ，C ， D ， E ， F ， G ， H ， I 的总和是 2008 ，并且每个圆中所填的数和都等于 M 。 (1) M 最大为多少？ (2) M 最小为多少？【考点】复合型数阵图【难度】6 星【题型】填空【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 11 题，15 分【解析】上面三个环里数的和为 3M ， 3  2008  时 C ，G 分别为1，3 。五环的和是 5 最小为12 ，此时【答案】最大 668 ，最小12 M C G  M  。  M 2008 404 2008 ， 3   ，所以 M 最大可以取 668 ，此 B D F H  ，要使 M 最小，只要取 B D F H   M   C G    【例 17】将数字 1~9 分别填在下图空白的正六边形格子中，使得箭头所指直线方向上空格中所填的数字和等于该箭头所在格中的给定数（每个方向上所填的数互不相同，且到写有另一个给定数字的格为止）。例如： 20, A B C D  E F G H C I  J K M N  。          19   22, 当填写完后，字母 C 处所写的数字是_____________。 23 20 J F K G 19 10 27 22 E 20 24 28 M H A C. 26 6 20 D I 9 N C B 10 7 A. 4 B. 5 5-1-3-2.数阵图.题库教师版 D. 9 page 8 of 10

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