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1-2-2-1 分数裂项.教师版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖 资料大小：1.81M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    分数裂项计算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为 观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分 运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的 前提，是能力的体现，对学生要求较高。 知识点拨 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整 数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的 观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 a b 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a b ， 那么有 1 a b   1 ( b a a 1   1 b ) (2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即： 1 1)   1 1)   n  ( n n  ( n ， ( n  2)  ( n n 1 2 [   2) n  1 n (   ( n 1)   1 ( n 1)  1 3 n 2) (  1 1)( n 1 1)    ( 形式的，我们有：  3) ]  2)  n  2) ( n 1)   ( n 1  ] 2)  ( n  3) ( n 1 n n  ( n 1)   (  2)  ( n  3)  [ n  ( n 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： 1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 1 of 17
    （1） a b  a b   a a b   b a b    1 b 1 a （2） 2 2 a b  a b   2 a a b   2 b a b   a b  b a 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的， 同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 例题精讲    1 3 4  1 5 6  1 4 5  【难度】2 星  【例 1】 1 1 2   1 2 3  【考点】分数裂项 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛 【解析】原式 1 1  【解析】 2 1 2 1 3  1                     1 5  1 6       1 1 1 6 5 6 。 【题型】计算 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为： 1 1 3   1 3 5   1 5 7   1 7 9  ，计算过程就要变为：  1 3 5   1 5 7   1 7 9   1 1 1 9         1 2 ． 1 1 3  【答案】 5 6 【巩固】 1 【巩固】   1  10 11 11 12 【考点】分数裂项 【解析】原式 1 1 ( ) 【解析】 10 11 【答案】 1 12     1  ......  59 60 【难度】2 星 1 1 1 ( (  11 12 59 ......   ) 【题型】计算  1 60 )  1 10  1 60  1 12 【巩固】 2 【巩固】 10 9   2 9 8  【考点】分数裂项    【解析】原式 【解析】 2      1 1 9 10  【答案】 7 15 【例 2】 1  1 1   1 1 2 1 2 3   2 5 4   2 4 3   【难度】2 星 1 1 9 5 1 4  1 8        1 3 【题型】计算 1 4    2   1 1   3 10      7 15   1   【难度】3 星 1 2    100 【考点】分数裂项 【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单 【解析】 的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的 代入有 1 1 ， 1 1 2  【题型】计算 (1 2) 2  2 2 3  2 1 2  ，……， 1      1 (1 1) 1   2 2 2 3     2 1 2  2 3 4     2  100 101 2 (1    1 101 )  200 101  99 1 101 2 原式 【答案】 991 101 【例 3】 1 1 3   1 3 5   1 5 7     1  99 101  1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 2 of 17
    【考点】分数裂项 1 【解析】 1 【解析】 1 3 3 5   【答案】 50 101   1 5 7   【难度】2 星 1  2 99 101 1         (1 【题型】计算 1 5 1 1 99 101  …  1 3  ） 50 101 1 3 【巩固】计算： 【巩固】 25     1 1 3   1 3 5   1 5 7     1  23 25     【考点】分数裂项 【关键词】迎春杯，初赛，六年级 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】原式 【解析】  25 【答案】12   1 2 1        1 3 1 3 1 5   1 23  1 25     25   1 2  1   1 25     25 24 2 25  12 251   【难度】2 星 2000 2004  2004 2008 251  【题型】计算    500 501 501 502 1     1   1 4   1 1 501 502         【巩固】 251 【巩固】 4 8  251 251 8 12 12 16   【考点】分数裂项 【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛 1 【解析】原式 251 【解析】 16 3 4  1 251 3 16 21 251 501 16 502 32 1 2 3  1 1 2 3 501 32 1 1 2  1 2       15 1                 【答案】 21 32 15  2 5 7     5  6  4 7 11 11 16 16 22  【难度】3 星 1 1 1 7 11 11 16 16 1 1      1 22 7   1 29  22 29 【题型】计算 1 29 1 22 1 29     1 2       1 5 1 7 【巩固】计算： 3 【巩固】 2 5  【考点】分数裂项 【解析】原式 1 【解析】 2 【答案】 1 2 1 5 【例 4】 计算： 1 ( 8  1 24  1 48    1 1 1 80 120 168 【难度】2 星  1 224  1 288 ) 128   【题型】计算 1 6 12  1 20  1 30  1 42    1 72 1 1 90 56 【难度】2 星  _______ 【题型】计算 【考点】分数裂项 1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 3 of 17      1  1 1 16 18 16 18   ）  ） 128 128   1 6 8  1     6 1 4 6  1 1 4 4 64  ）  （ 【解析】原式 【解析】 【考点】分数裂项 【关键词】101 中学 1 2 4  1 1 2 2 1 1   （ 2 18 428 9   （  【答案】 428 9 【巩固】 1  【巩固】
    【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】根据裂项性质进行拆分为： 【解析】 1 56  1 42        1 30 1 4 5  1 5 6   1 1 1 6 12 20 1 1  2 3 3 4   1 1 2 =  2 10 5 = 【答案】 2 5  1 72 1 6 7   1 90 1  7 8   1 8 9   1 9 10  【题型】计算    1 1 2 3 4 5 6 7       1    【巩固】 1 【巩固】 3 1 6 【考点】分数裂项 【关键词】走美杯，6 年级，决赛 1 10 1 15 1 21    1 28  【难度】6 星 1  1  1 2 3   2 3 4  1 1 3 3 1 2 3 4    2 7 8    1 4    1 7 1 8           1 1 2  2 2 3  1 1 2 2 1  1  8      7 4 【解析】原式 1   1    2    2   【答案】 7 4  1 72  ＝ 1 90 【题型】计算  1 6 7   1 7 8   1 8 9   1 9 10  ) 【巩固】计算： 1 【巩固】 2 【考点】分数裂项 【关键词】走美杯，6 年级，决赛 1 12 1 20   1 6    1 42 1 30 1 56 【难度】3 星   1 4 5   1 5 6  1 10 ) 1 9       1 3 4  1 1 3 4  (   ( (  1 2 3  1 1 2 3 1 1 2 10  ) 【解析】原式     1 2 1 2 1 2 1 10 【答案】 1 10 【巩固】 1 【巩固】 10  1 40  1 1 88 154      【解析】原式 【解析】 【考点】分数裂项 1 2 5  1 1 5 2 1 1 2 17 1 3 1 3            1 5 8  1 1 8 5 5 34           。 1 238 【难度】3 星 1  8 11 11 14 14 17  1 1 8 11 11 14 14 17 1  1 1  1 1 1      【题型】计算    1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 4 of 17
    【答案】 5 34 【例 5】 计算： 1 1 3 5    【考点】分数裂项 【关键词】华杯赛，总决赛，二试 【解析】原式 1  4 1 3 5  1 1 3                1 1 3 5 7    5 7 9   【难度】3 星    1 2001 2003 2005  【题型】计算  1 3 5   1 5 7           1  2001 2003  1  2003 2005          1 1 3   1  2003 2005     1004003 12048045   1 4 【答案】 1004003 12048045 【例 6】 7  18 1 13 3  4.5 0.16   3.75 3.2      1 1 3 15   1 35  1 63     16 1  90      【解析】原式 【解析】 【考点】分数裂项 【关键词】仁华学校 7 9 18 2 1 13   3 7  4 1 13 3 46 3 1 8    24 4 2 9 1 2   3 1.25 4 0.8 1 6 12    1 3    1 23= 36 【答案】 23 36 【例 7】 计算： 1 1 2  2 1 6  3 1 12 【考点】分数裂项 【关键词】小数报，初赛 【解析】原式   【解析】 1 2 3    【难度】3 星 【题型】计算     1 1 3   1 3 5   1 5 7   1 7 9            1 3 1 5 1 7 1 9    1 20 4    【难度】3 星 20 1 420 【题型】计算 1   2  1 3 4  1 3   20     1 1 2  1 2 1 21 1 2 3  1 1 2 3 210  20 21  210  210 1   210 1          1 1 6 12  1 20    1 420    1 4 5       1 20  1  20 21 1 21  1 4   【答案】 20 21 210 【巩固】计算： 【巩固】 2008 【考点】分数裂项 1 18  2009  2010 1 1 54 108 【难度】2 星  2011 1 180  2012 1 270 = 【题型】计算 。 1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 5 of 17
    【关键词】学而思杯，6 年级，1 试 【解析】原式 【解析】  2008 2009 2010 2011 2012      1 3 6    2010 5    1 9    1 1     1 2 1 2 1 3   10050 5 54 【答案】 10050 5 54 1 6 9  1   6    1 5  1 9 12 12 15 15 18  1  1     4 77  ____。 【难度】2 星 【题型】计算    2 35 1 2 6 15 【巩固】计算： 1 【巩固】 2 【考点】分数裂项 【关键词】学而思杯，6 年级 5 3 【解析】原式 1    15 2 1 1 2 3 3 2  6  1 5 1 2 1 11  1 3 10 11 1   【答案】 10 11   7 5 11 7   77 35 1 1 1 7 11 5 1 7          【巩固】计算： 1 【巩固】 1 3 15   1 35    1 1 1 99 143 195 1 63 【难度】3 星  【考点】分数裂项 【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为： 【解析】 【题型】计算 2 3 2  1 1 3    ， 15 4  2 1 3 5    ，……， 1 5 7       1 7 9  1   2     1  1  1 9 11 11 13 13 15  1 1 13 15         ， 2    1 13 15 195 14   所以原式 1 1 3 5 1 3   1 1 1 1       2 3 1 3    1 1   1 15  1 2 1 2 7 15              1 5  【答案】 7 15 【巩固】计算： 1 【巩固】 2 【考点】分数裂项 【关键词】四中    【解析】原式 【解析】 1     5 11 6 12  19 20 29 30    【难度】3 星 9701 9702  9899 9900  ． 【题型】计算 1     1 12       1  1 9900          1    1 2        1   1 1 2  1 2 1 100 1  1   6  1 2 3  1 1 2 3     99   99   99                 1  99 100 1 1 99 100     1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 6 of 17
     98 1 100 【答案】 1 100 98 【例 8】 1 1 2 3   【考点】分数裂项  1 2 3 4    1  1 n n    1 1 2 3 1 2   1 1   1 2 8 9      【解析】首先分析出  【解析】          原式 1   2 1 2 35 144    【答案】 35 144  1 7 8 9    【难度】3 星    1 n n   1 n    1   3 4   1 2 3   n    1     n 2              1 2 【题型】计算  1 1  1        1 1 6 7   n 1 7 8           n n  1 7 8        1  n 1 8 9  1          n  【巩固】计算： 1 【巩固】 1 2 3    1 2 3 4   【考点】分数裂项 【解析】原式 1   【解析】 2 1 2   【答案】 4949 19800 1 ( 1 2  1 ( 1 2    98 99 100  1     【难度】3 星  1 1 2 3 3 4   1 4949 ) 2 9900     1 2 3  1  99 100 【题型】计算 1  98 99 1   99 100 )    1 3 4  4949  19800 【巩固】计算： 1 【巩固】 1 3 5    1 2 4 6    1 3 5 7      1 20 22 24   【题型】计算 1 +…+ 1 2 4 6   20 22 24   【难度】3 星 1 ＋ 1 3 5 7   － 1 ＋…+ + 19 21 23   － 1 ( 1 )＋ 1 4 21 23 2 4 ＋ 10465 ＝ 28160 340032 340032 ) 22 24 【考点】分数裂项 【解析】原式＝ 1 【解析】 1 3 5   ( 1 1 3 ＋ 65 2112 ＝ 1 4 ＝ 40 483 ＝ 38625 340032 【答案】 38625 340032 4  4 95 97 99   【巩固】 4 【巩固】 1 3 5    4 3 5 7    ......   【考点】分数裂项 【解析】 1 ( 【解析】 1 3  1  1 3    1 3 5  1  97 99 )  ( 1 3 5  3200 9603    93 95 97 【难度】3 星 ......    ) 1 5 7  ( 1  93 95  【题型】计算 1  95 97 1   ) ( 95 97  1  97 99 ) 1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 7 of 17
    【答案】 3200 9603 【巩固】 【巩固】 99 1 2 3    98 2 3 4    1 99 100 101      97 3 4 5   【难度】3 星 － 1 2 3 【考点】分数裂项 【解析】 99 【解析】 1 2 3   98 2 3 4   97 3 4 5   1 ＝ 100 1 ＝ 100  1 2 3 1 2 3     100 2 100  ＝ ＝ 2 3 4 2 3 4     ＝ 100 3 ＝ 100  3 4 5 3 4 5     ＝ 100 99   99 100 101 【题型】计算 － 1 2 3 100 ＝ 2 3 4   ＝ 100 3 4 5   1 － 3 4 － 1 4 5 99 ＝ 100 1 2 3   2 － 2 3 4   － 3 3 4 5   100  － ＝ …… ＝ 原式   99 100 101  100 1 2 3   1 100   2  (   100 2 3 4   1 1 2 10100  100 3 4 5   1 1 ) ) (   2 101 99 100 101  51 24 101   【答案】 51 101 24 99 100 101  ...    99 100 101   1 2 3   (  ...   99 100 101 1  1 3 4  100 101 100  100 101 ) 100  － 1 1 【例 9】 1 2 3 4    【考点】分数裂项 【解析】原式 1   【解析】 3 1 3         1  2 3 4 5     1 3 4 5 6    【难度】3 星 1 2 3 4   119 2160 1 2 3 4   1 8 9 10        1 1 2 3   1 1 2 3        1 6 7 8 9     1 7 8 9 10    【题型】计算  1 3 4 5      1 7 8 9    1 8 9 10      【答案】 119 2160 3 【巩固】 【巩固】 1 2 3 4    【考点】分数裂项  【解析】原式 【解析】  【答案】 1139 6840 2 3 4 5    17 18 19 20  3 3   ......   【难度】3 星   3 [   (  1 3 1 1 2 3 18 19 20   1 1 2 3   1  1 1 2 3 4 2 3 4     3 19 20 1    18 19 20        3 4 5   1139 6840 【题型】计算 1 1   ...  1 )] 17 18 19 18 19 20     【例 10】计算： 5 1 2 3    7 2 3 4      19 8 9 10    ． 【难度】3 星 【考点】分数裂项 【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相 【解析】 同，而是成等差数列，且等差数列的公差为 2．相比较于 2，4，6，……这一公差为 2 的等差数 列(该数列的第 n 个数恰好为 n 的 2 倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大 3，所以可 以先把原式中每一项的分子都分成 3 与另一个的和再进行计算． 【题型】计算 原式   3 2  1 2 3   3      1 1 2 3     3 4  2 3 4   1 2 3 4      3 16  8 9 10   1 8 9 10     2         1 1 2 3    2 2 3 4      8 8 9 10      1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 8 of 17
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