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4-3-6 燕尾定理.学生版.doc
燕尾定理
例题精讲
燕尾定理：
在三角形 ABC 中， AD ， BE ， CF 相交于同一点 O ，那么
S
:
S
ACO
BD DC
:
．
ABO
A
E
F
O
C
D
B
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 ABO
的形状很象燕子的尾巴，所以这
个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何
一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
和 ACO
通过一道例题证明一下燕尾定理：
如右图， D 是 BC 上任意一点，请你说明： 1
:
S S
4
S
2
:
S
3
BD DC
:
A
E
S
4
S
2
S
1
D
S
3
C
B
【解析】三角形 BED 与三角形 CED 同高，分别以 BD 、 DC 为底，
:
S S
所以有 1
4
CED 同高， 4
S
BD DC
:
S
:
3
:
S S
；三角形 ABE 与三角形 EBD 同高， 1
2
:
:
S S
；综上可得 1
，所以 1
:
S S
S
S
:
4
2
3
ED EA
ED EA
；三角形 ACE 与三角形
BD DC
S
S
:
:
:
.
2
3
4
【例 1】 如右图，三角形 ABC 中， :
BD DC ， :
CE EA ，求 :AF FB ．
4 :9
4 :3
A
F
O
E
B
D
C
【巩固】如右图，三角形 ABC 中， :
BD DC ， :
AE CE
3: 4
5: 6
，求 :AF FB .
4-3-6.燕尾定理 题库
学生版
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A
F
O
E
B
D
C
【巩固】如图， :
BD DC
2 :3
,
AE CE
:
5:3
,则 :AF BF
A
F
G
E
B
D
C
【巩固】如右图，三角形 ABC 中， :
EA CE ，求 :AF FB .
5: 4
2 :3
BD DC ， :
A
F
O
E
B
D
C
【例 2】 如图，三角形 ABC 被分成 6 个三角形，已知其中 4 个三角形的面积，问三角形 ABC 的面积是多少?
A
F
84
E
O
35
40
30
D
C
B
【例 3】 如图，三角形 ABC 的面积是1 ， E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 :
BD DC ， AD 与 BE 交
1: 2
4-3-6.燕尾定理 题库
学生版
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于点 F ．则四边形 DFEC 的面积等于
A
B
F
D
E
C
B
B
A
A
3
2
3
F
F
1
D
D
．
E
E
3
C
C
B
A
E
C
F
D
【巩固】如图，已知 BD DC ，
EC
2
AE
，三角形 ABC 的面积是 30 ，求阴影部分面积.
E
A
F
D
C
B
E
A
F
D
C
B
E
A
F
D
C
B
【巩固】如图，三角形 ABC 的面积是
200 cm ，E 在 AC 上，点 D 在 BC 上，且 :
AE EC
2
3:5
,
AD 与 BE 交于点 F ．则四边形 DFEC 的面积等于
．
A
B
F
D
E
C
B
F
D
A
E
C
A
E
C
B
F
D
BD DC ，
2 :3
:
【巩固】如图，已知
3
DC
面积的几分之几？
BD
，
EC
2
AE
，BE 与 CD 相交于点 O ,则 ABC△
被分成的 4 部分面积各占 ABC△
A
O
E
B
D
C
B
A
1
1
2
E
O
9
13.5
3
4.5
1
D
2
C
4-3-6.燕尾定理 题库
学生版
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【巩固】如图所示，在 ABC△
中，
CP
则 ABX△
的面积等于
CB
，
CQ
1
3
1
2
．
CA
， BQ 与 AP 相交于点 X ，若 ABC△
的面积为 6 ，
C
Q
P
X
C
Q
P
X
A
B
A
C
Q
P
1
1
4
X
4
A
B
B
【巩固】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是 3 ，7 ，7 ，
则阴影四边形的面积是多少？
A
A
7
3
7
E
7
D
3
F
7
B
D
3
E
x
F
3
x+
7
7
C
C
B
【巩固】如图，三角形 ABC 的面积是1 ，
的面积各是多少?
BD
2
DC
，
CE
2
AE
， AD 与 BE 相交于点 F ，请写出这 4 部分
A
F
E
D
C
B
A
6
8
F
1
E
2
4
D
C
B
【巩固】如图，E 在 AC 上，D 在 BC 上，且 :
AE EC
22 cm ，则三角形 ABC 的面积
的面积等于
2
2 :3
,
BD DC ，AD 与 BE 交于点 F ．四边形 DFEC
1: 2
:
．
A
E
B
F
D
B
C
4-3-6.燕尾定理 题库
A
E
1.6
2.4
2
C
F
2
1
D
A
E
F
D
B
C
学生版
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【巩固】三角形 ABC 中， C 是直角，已知
AC ，
2
CD ，
2
CB ， AM BM
3
，那么三角形 AMN (阴影
部分)的面积为多少？
A
M
N
A
M
N
C
D
B
C
D
B
【例 4】 如图所示，在 ABC△
A
F
D
中， :
BE EC ， D 是 AE 的中点，那么 :AF FC
3:1
A
．
F
D
B
E
C
B
E
C
【巩固】在 ABC
BD DC
中， :
A
3: 2
，
AE EC ，求 :OB OE ？
:
3:1
A
O
D
E
C
B
O
D
E
C
B
【巩固】在 ABC
BD DC ，
2 :1
中， :
A
AE EC ，求 :OB OE ？
1:3
:
E
O
B
D
C
4-3-6.燕尾定理 题库
学生版
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【例 5】 如图 9，三角形 BAC 的面积是 1，E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 BD:DC=1:2，AD 与 BE 交
于点 F，则四边形 DEFC 的面积等于
。
【例 6】 如 图 1 ， ABC
S
S
四边形
AEPF
BEP
中 ， 点 E 在 AB 上 ， 点 F 在 AC 上 ， BF 与 CE 相 交 于 点 P ， 如 果
S
，则 BPC
S
4
CFP
.
【例 7】 如图 4，三角形田地中有两条小路 AE 和 CF，交叉处为 D，张大伯常走这两条小路，他知道 DF＝
DC，且 AD＝2DE。则两块田地 ACF 和 CFB 的面积比是___________。
【例 8】 如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米，
EC
2
DE
， F 是 DG 的中点．阴影部分的面积是多少
A
A
B
B
D
E
C
D
E
1
F
2
y
C
x
y
F
3
3
x
G
3
G
D
E
C
F
G
平方厘米?
A
B
4-3-6.燕尾定理 题库
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【例 9】 如图所示，在四边形 ABCD 中，
边形 BODC 的面积为________．
AB
3
BE
，
AD
3
AF
，四边形 AEOF 的面积是12 ，那么平行四
F
A
O
E
B
A
2
4
O
6
F
8
6
C
D
D
E
1
B
C
【例 10】 ABCD 是边长为12 厘米的正方形， E 、 F 分别是 AB 、 BC 边的中点， AF 与 CE 交于 G ，则四边
形 AGCD 的面积是_________平方厘米．
D
D
C
A
E
F
B
G
面积是_____平方厘米．
A
D
E
G
H
C
F
G
A
E
B
D
A
E
G
H
【例 11】 如图，正方形 ABCD 的面积是120 平方厘米，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，四边形 BGHF 的
B
F
C
B
F
C
【例 12】如图，四边形 ABCD 是矩形， E 、 F 分别是 AB 、 BC 上的点，且
AE
CE 相交于 G ，若矩形 ABCD 的面积为120 ，则 AEG
D
A
D
A
E
B
G
F
C
E
H
B
4-3-6.燕尾定理 题库
G
F
C
学生版
A
E
B
1
3
AB
，
CF
1
4
BC
， AF 与
与 CGF
的面积之和为
．
D
G
F
C
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【例 13】正六边形 1A ， 2A ， 3A ， 4A ， 5A ， 6A 的面积是 2009 平方厘米， 1B ， 2B ， 3B ， 4B ， 5B ， 6B 分别是正
六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是
平方厘米．
A
1
B
1
A
2
B
6
A
6
B
5
A
5
B
4
A
4
B
2
A
3
B
3
A
1
B
1
D
A
2
G
E
B
2
A
3
B
6
A
6
B
5
A
5
B
4
B
3
A
4
【例 14】已知四边形 ABCD ， CHFG 为正方形， :
S
S 乙甲
1:8
， a 与 b 是两个正方形的边长，求 :
a b
?
A
a
D
甲
O
B
C
A
甲
a
D
M
O
B
C
G
G
乙
乙
E
H
b
E
F
N
H
b
F
【例 15】右图的大三角形被分成 5 个小三角形，其中 4 个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积
是
．
2
1
3
4
4-3-6.燕尾定理 题库
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