5-2-3.整除与分类计数综合 知识框架 1. 熟练掌握整除的性质； 2. 运用整除的性质解计数问题； 3. 整除性质的综合运用求计数. 知识点拨 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除； 一个数的末两位能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除； 一个数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除； 2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除； 一个数各位数数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11 整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11 或 13 整除. 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质 性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除．即如果 c︱a， c︱b，那么 c︱(a±b)． 性质 2 如果数 a 能被数 b 整除，b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除．即如果 b∣a， c∣b，那么 c∣a． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质 3 如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么 a 也能被 b 或 c 整除．即如果 bc∣a，那 么 b∣a，c∣a． 性质 4 如果数 a 能被数 b 整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么 a 一定能被 b 与 c 的乘积整除．即如果 b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么 bc∣a． 例如：如果 3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性质 5 如果数 a 能被数 b 整除，那么 am 也能被 bm 整除．如果 b｜a，那么 bm｜am（m 为非 0 整数）； 性质 6 如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除．如果 b｜a ，且 d｜c ，那 么 bd｜ac； 例题精讲 5-2-3.整除与分类计数综合.题库 教师版 page 1 of 3 

模块一、利用整除的性质分类枚举 【例 1】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 4□32□是 9 的倍数. ⑴请随便填出一种，并检查 自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？ 【考点】利用整除的性质分类枚举 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9 的倍数，即 4  □  3  2  □是 9 的倍数，而 4  3  2  9, 【解析】 所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数．⑴依次填入 3、6，因为 4  3  3  2  6  18 是 9 的倍 数，所以 43326 是 9 的倍数；⑵经过分析容易得到两个方框内的数的和是 9 的倍数，如果和是 9,那 么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共 10 种情况， 还有（0,0）和（9,9），所以一共有 12 种不同的填法． 【答案】（1）43326，（2）12 种 【例 2】 用 1，9，8，8 这四个数字能排成几个被 11 除余 8 的四位数? 【考点】利用整除的性质分类枚举 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】现在要求被 11 除余 8，我们可以这样考虑：这样的数加上 3 后，就能被 11 整除了．所以我们得到“一 【解析】 个数被 11 除余 8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加 3，得另一个和 数，如果这两个和数之差能被 11 整除，那么这个数是被 11 除余 8 的数；否则就不是．要把 1，9，8， 8 排成一个被 11 除余 8 的四位数，可以把这 4 个数分成两组，每组 2 个数字．其中一组作为千位和 十位数，它们的和记作 A ；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上 3 记作 B ．我们要适当分组， 使得能被 11 整除．现在只有下面 4 种分组法： 偶位 1，8 1，9 9，8 8，8 奇位 9，8 8，8 1，8 1，9 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ B A  能被 11 经过验证，只有第⑴种分组法满足前面的要求： 1 8 9 整除．其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被 11 除余 8，那么在奇 位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被 11 除也余 8．于是，上面第 ⑴种分组中，1 和 8 任一个可以作为千位数，9 和 8 中任一个可以作为百位数．这样共有 4 种可能的 排法：1988，1889，8918，8819． A    ， 9 8 3 20 B     ， 11 【答案】4 种可能的排法：1988，1889，8918，8819 【例 3】 在 1 至 2008 这 2008 个自然数中，恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的数共有多少个？ 【考点】利用整除的性质分类枚举 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】1 到 2008 这 2008 个自然数中，3 和 5 的倍数有 2008 【解析】 15        个，3、5 和 7 的倍数有 2008 105  和 7 的倍数有 2008 35 的倍数的共有133 19 95 19 57 19  个，3 和 7 的倍数有 2008 21  个．         133 228 19 57             个．所以，恰好是 3、5、7 中两个数     95 个，5 【答案】228 【例 4】 有些数既能表示成 3 个连续自然数的和，又能表示成 4 个连续自然数的和；还能表示成 5 个连续自 然数的和．请你找出 700 至 1000 之间，所有满足上述要求的数，并简述理由. 【考点】利用整除的性质分类枚举 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】3 个连续自然数的和，一定能够被 3 整除；4 个连续自然数的和，一定能够被 2 整除，且除以 2 所得 【解析】 的商是奇数，也就是说它不能被 4 整除，除以 4 所得余数为 2；5 个连续自然数的和，一定能够被 5 整除．3、2、5 的最小公倍数是 30，所以满足上述三个条件的最小的数是 30．3、4、5 的最小公倍 数是 60，所以 60 的整数倍加上 30 就可以满足条件．700 60 11 40  ，所以第一个符合题意的数是   个数，分别为 750、810、 750 60 12 30 870、930、990．  ，最大的一个数是 990 60 16 30  ，共计16 12 1 5        【答案】750、810、870、930、990． 5-2-3.整除与分类计数综合.题库 教师版 page 2 of 3 

模块二、利用整式拆分进行分类枚举 【例 5】 在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除，并且数字和为 13 的数，共有多少个. 【考点】利用整式拆分进行分类枚举 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】两位数字中能被 11 整除的数字是 11、22、……99 这些数字中显然没有这样的数.三位数，设这个三 【解析】 a c  ， 1b  ，所以就有 913 ，814，715，     和 a  或 4 有 2 种组合，b 和 d 有 2 种.因此有 4 种； c  ，b 和 d 有 位数为 abc ，有 616 ， 517 ， 418 ， 319 这 7 个 . 四 位 数 ， 设 这 个 四 位 数 为 abcd ， ⑴ 有 ( a c )  ( b d ) 11 中，若 ⑵ 有 7 种组合.综上所述，这样的数有 7 4 7 18 1     和( b d )  ( a c ) 11 ，    个. b d  则 3 1 b d  ，则只能 1a  ， 0    ，显然有    和 a c  ， a b c d a b c d a c  ， a b c a c b 11 12 12 12 13 13 13 【答案】18 个 【例 6】 在 1、2、3、4……2007 这 2007 个数中有多少个自然数 a 能使 2008+a 能被 2007-a 整除。 【考点】利用整式拆分进行分类枚举 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】本题考察代数知识的综合技巧，是一道难度较大的题目。要使得 2008+a 能被 2007-a 整除，我们可 【解析】 是一个整数即可。下面是一个比较难的技巧，我们知道若 a 以将条件等价的转化为只要让 2008 2007 可以使得 2008 2007 a 是一个整数，这样只要 2007-a 是 4015 的约数即可，将 4015 分解可知其共有 8 个因数，其中 4015 是最大的一个，但是显然没有可以让 2007-a 等于 4015 的 a 的值，其余的 7 个均可以有对应的 a 的 值，所以满足条件的 a 的取值共有 7 个。 是一个整数，那么 a 也同样可以使得 2008 2007   2007 4015  2007  2008 2007 1         a a a a a a   a a a 【答案】7 个 5-2-3.整除与分类计数综合.题库 教师版 page 3 of 3