6-3-2 牛吃草问题（二）.学生版.doc-资料库

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6-1-10.牛吃草问题（二）教学目标 1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路. 2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系知识精讲英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”． “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据： 1 草的每天生长量不变； 2 每头牛每天的食草量不变； 3 草的总量  草场原有的草量  新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值 4 新生的草量  每天生长量  天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： ⑴设定 1 头牛 1 天吃草量为“1”； ⑵草的生长速度  (对应牛的头数  较多天数  对应牛的头数  较少天数)  (较多天数  较少天数)； ⑶原来的草量  对应牛的头数  吃的天数  草的生长速度  吃的天数； ⑷吃的天数  原来的草量  (牛的头数  草的生长速度)； ⑸牛的头数  原来的草量  吃的天数  草的生长速度． “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．例题精讲模块一、 “牛”吃草问题的变例【例 1】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过 20 级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 30 级台阶到达地面．从站台到地面有级台阶．【巩固】两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走 3 级梯级，女孩每秒可走 2 级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了 100 秒，女孩走了 300 秒。问：该扶梯共有多少级梯级？ 6-1-10.牛吃草问题.题库学生版 page 1 of 6

【巩固】自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上走 1 梯级，女孩每 3 秒钟走 2 梯级。结果男孩用 50 秒到达楼上，女孩用 60 秒到达楼上。该楼梯共有多少级？【例 2】小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行 15 千米， 3 小时可以追上；若骑摩托车，每小时行 35 千米，1 小时可以追上；若开汽车，每小时行 45 千米，分钟能追上。【例 3】有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的 2 倍追赶乙车，5 小时后甲车追上乙车；如果甲车以现在速度的 3 倍追赶乙车，3 小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？【例 4】快、中、慢三车同时从 A 地出发沿同一公路开往 B 地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用 7 分钟、8 分钟、14 分钟追上骑车人．已知快车每分钟行 800 米，慢车每分钟行 600 米，中速车的速度是多少？【例 5】甲、乙、丙三车同时从 A 地出发到 B 地去．甲、乙两车的速度分别是每小时 60 千米和每小时 48 千米．有一辆卡车同时从 B 地迎面开来，分别在它们出发后 6 小时、7 小时、8 小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度．【巩固】小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去．小新、正南两人的速度分别是每分钟 20 米和每分钟 16 米．在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后 6 分钟、7 分钟、8 分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度． 6-1-10.牛吃草问题.题库学生版 page 2 of 6

【例 6】小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有 1 米，小方用 3 次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有 2 米，小方用 4 次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有 3 米，那么小方要多少次才能把它装满（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）【例 7】有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干，原计划调来 8 台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑，实际调来了 9 台抽水机，这样比原计划节省了 8 小时。工程师们测算出，如果最初调来10 台抽水机，将会比原计划节省12 小时。这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没有水，还应该至少留下台抽水机。模块二、“牛”的数量发生变化【例 8】有一牧场，17 头牛 30 天可将草吃完，19 头牛则 24 天可以吃完．现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？【例 9】某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派 15 个工人砌砖墙，14 天可以把砖用完，如果派 20 个工人，9 天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了 6 天后，调走 6 名工人，其余工人又工作 4 天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？【例 10】一片草地，可供 5 头牛吃 30 天，也可供 4 头牛吃 40 天，如果 4 头牛吃 30 天，又增加了 2 头牛一起吃，还可以再吃几天？【例 11】某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派 250 个工人砌砖墙，6 天可以把砖用完，如果派 160 个工人，10 天可以把砖用完，现在派 120 名工人砌了 10 天后，又增加 5 名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？ 6-1-10.牛吃草问题.题库学生版 page 3 of 6

【巩固】食品厂开工前运进一批面粉，开工后每天运进相同数量的面粉，如果派 5 个工人加工食品 30 天可以把面粉用完，如果派 4 个工人，40 天可以把面粉用完，现在派 4 名工人加工了 30 天后，又增加了 2 名工人一起干，还需要几天加工完？模块三、多块地的“牛吃草问题” 【例 12】东升牧场南面一块 2000 平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供 18 头牛吃 16 天，或者供 27 头牛吃 8 天．在东升牧场的西侧有一块 6000 平方米的牧场，可供多少头牛吃 6 天？【巩固】有甲、乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的 3 倍．30 头牛 12 天能吃完甲草地上的草，20 头牛 4 天能吃完乙草地上的草．问几头牛 10 天能同时吃完两块草地上的草？【例 13】有一块 1200 平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供 10 头牛吃 20 天，或可供 15 头牛吃 10 天，另有一块 3600 平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供 75 头牛吃多少天？【例 14】有三块草地，面积分别为 5 公顷、15 公顷和 24 公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供 10 头牛吃 30 天，第二块草地可供 28 头牛吃 45 天．问：第三块草地可供多少头牛吃 80 天？ 6-1-10.牛吃草问题.题库学生版 page 4 of 6

【巩固】三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是 3 公顷、10 公顷和 24 公顷．第一块牧场饲养 12 头牛，可以维持 4 周；第二块牧场饲养 25 头牛，可以维持 8 周．问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持 18 周？【巩固】 17 头牛吃 28 公亩的草，84 天可以吃完；22 头牛吃同样牧场 33 公亩的草 54 天可吃完，几头牛吃同样牧场 40 公亩的草，24 天可吃完？(假设每公亩牧草原草量相等，且匀速生长) 【巩固】有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快．它们的面积分别是 13 3 公顷、10 公顷和 24 公顷．已知 12 头牛 4 星期吃完第一片牧场的草，21 头牛 9 星期吃完第二片牧场的草，那么多少头牛 18 星期才能吃完第三片牧场的草? 【例 15】一个农夫有面积为 2 公顷、4 公顷和 6 公顷的三块牧场．三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快．农夫将 8 头牛赶到 2 公顷的牧场，牛 5 天吃完了草；如果农夫将 8 头牛赶到 4 公顷的牧场，牛 15 天可吃完草．问：若农夫将这 8 头牛赶到 6 公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？【例 16】4 头牛 28 天可以吃完 10 公顷牧场上全部牧草，7 头牛 63 天可以吃完 30 公顷牧场上全部牧草，那么 60 头牛多少天可以吃完 40 公顷牧场上全部牧草？(每公顷牧场上原有草量相等，且每公顷牧场上每天生长草量相等) 6-1-10.牛吃草问题.题库学生版 page 5 of 6

【巩固】有三块草地，面积分别是 4 公顷、8 公顷和 10 公顷．草地上的草一样厚而且长得一样快．第一块草地可供 24 头牛吃 6 周，第二块草地可供 36 头牛吃 12 周．问：第三块草地可供 50 头牛吃几周？【例 17】如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长．牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光(在这 2 天内其他草地的草正常生长)．之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6 天后又将两个草地的草吃光．然后牧民把 1 3 的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外 2 3 的牛放在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完．那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？ ① ② ④ ③ 6-1-10.牛吃草问题.题库学生版 page 6 of 6

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