5-4-1 约数与倍数（一）.学生版.doc-资料库

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5-4-1.约数与倍数（一）教学目标 1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；（2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为而且表达形式唯一” 知识点拨一、约数、公约数与最大公约数概念 ☆ △ △  ☆ ...   ☆ △ 的结构， (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数 a 能被整数 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0 被排除在约数与倍数之外 1．求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如： 231 3 7 11    ， 252 2 3 7   2 2 21  ，所以 (231,252) 3 7    ； 218 12 3 9 6 3 2 ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：，所以 (12,18)    ； 2 3 6 ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是 0 为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是 1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求 600 和 1515 的最大公约数： 1515 600     ；所以 1515 和 600 的最大公约数是 15． 315 2 0    ； 600 315 1 285   ； 315 285 1 30   ；    ； 30 15 2 285 30 9 15 2．最大公约数的性质  ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数 n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 n ． 3．求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数 a；求出各个分数的分子的最大公约数 b； b a 即为所求． 4．约数、公约数最大公约数的关系 5-4-1.约数与倍数（一）.题库学生版 page 1 of 6

（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数 (1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数 (2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数 (3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数的方法；例如： 231 3 7 11    ， ②短除法求最小公倍数； 252  2 2 2  3  ，所以 7 231,252   2 2 2  3 7 11 2772    ；，所以 18,12       ； 2 3 3 2 36 218 12 3 9 6 3 2 a b  ( , ) a b  ．例如： ③[ , ] a b 2. 最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． 3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数 a ；求出各个分数分母的最大公约数 b ；b a 即为所求．例如： 3 5 , 4 12 [ ]  [3,5] (4,12)  15 4 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如： 4．倍数、公倍数、最小公倍数的关系（1）倍数是对一个数说的；（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数三、最大公约数与最小公倍数的常用性质    1 4, 2 3       1,4   2,3  4 1．两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果 m 为 A 、B 的最大公约数，且 A ma ，B mb ，那么 a b、互质，所以 A 、B 的最小公倍数为 mab ，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：   ① A B ma mb m mab ②最大公约数是 A 、 B 、 A B 、 A B 及最小公倍数的约数．    ，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； 2．两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即 ( , ) a b   ，此性质比较简单，学生比较容易掌握。 [ , ] a b a b  3．对于任意 3 个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 5-4-1.约数与倍数（一）.题库学生版 page 2 of 6

210    ，210 就是 567 的最小公倍数例如： 5 6 7 b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的 2 倍例如： 6 7 8 336    ，而 6,7,8 的最小公倍数为 336 2 168   性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。四、求约数个数与所有约数的和 1．求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积。如:1400 严格分解质因数之后为 3 2  ，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24 个。(包括 1 和 7 5  2 1400 本身) 约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 2．求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从 1 加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 3 3 21000 2  3 2 2 )(1 3)(1 5 5  如： (1 2 2 此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记  ，所以 21000 所有约数的和为 7   3 5    3 5 )(1 7) 74880      2 忆即可。例题精讲模块一、求最大公约数【例 1】把一张长 1 米 3 分米 5 厘米、宽 1 米 5 厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？【巩固】一个房间长 450 厘米，宽 330 厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少【巩固】块(整块)，才能正好把房间地面铺满？【例 2】将一个长和宽分别是是 1833 厘米和 423 厘米的长方形分割成若干修正在方形，则正方形最少是）个。（（A）78 （B）7 （C）5 （D）6 【例 3】如图，某公园有两段路，AB＝175 米，BC＝125 米，在这两段路上安装路灯，要求 A、B、C 三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装路灯___个. 5-4-1.约数与倍数（一）.题库学生版 page 3 of 6

【例 4】把 20 个梨和 25 个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下 2 个，而苹果还缺 2 个，一共最多有多少个小朋友？【例 5】有 336 个苹果，252 个桔子，210 个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？【巩固】教师节那天，某校工会买了 320 个苹果、240 个桔子、200 个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这【巩固】些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？模块二、约数【例 6】 2004 的约数中，比 100 大且比 200 小的约数是。【例 7】过冬了，小白兔只储存了 180 只胡萝卜，小灰兔只储存了 120 棵大白菜，为了冬天里有胡萝卜吃，小灰兔用十几棵大白菜换了小白兔的一些胡萝卜，这时他们储存的粮食数量相等，则一棵大白菜可以换__________只胡萝卜。【例 8】一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是 111，这个自然数是________. 【例 9】一个两位数有 6 个约数，且这个数最小的 3 个约数之和为 10，那么此数为几？ 5-4-1.约数与倍数（一）.题库学生版 page 4 of 6

【例 10】如果你写出 12 的所有约数，1 和 12 除外，你会发现最大的约数是最小约数的 3 倍．现有一个整数 n，除掉它的约数 1 和 n 外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的 15 倍，那么满足条件的整数 n 有哪些？模块三、公约数与最大公约数综合【例 11】马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积 473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积 407，那么甲、乙两数的乘积应是______. 【例 12】用 2、3、4、5、6、7 这六个数码组成两个三位数 A 和 B，那么 A、B、540 这三个数的最大公约数最大可能是___________．【例 13】现有三个自然数，它们的和是 1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？【例 14】10 个非零不同自然数的和是 1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？【巩固】100 个非 0 自然数的和等于 2006，那么它们的最大公约数最大可能值是（【巩固】）。【例 15】三个两两不同的正整数，和为 126，则它们两两最大公约数之和的最大值为．【例 16】用1 9 这九个数码可以组成 362880 个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数． 5-4-1.约数与倍数（一）.题库学生版 page 5 of 6

【例 17】少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”。每个人先各做一个纸“猪娃娃”；接着每 2 个人合做一个泥“猪娃娃”；然后每 3 个人合做一个布“猪娃娃”；最后每 4 个人合做一个电动“猪娃娃”。这样下来，一共做了 100 个“猪娃娃”，由此可知手工组共有个小朋友。【例 18】一根长为 L 的木棍，用红色刻度线将它分成 m 等份，用黑色刻度将它分成 n 等份（m>n）。(1)设 x 是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：x+1 是 m 和 n 的公约数；(2)如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到 170 根长短不等的小棍，其中最长的小棍恰有 100 根。试确定 m 和 n 的值。 5-4-1.约数与倍数（一）.题库学生版 page 6 of 6

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