1-2-2-1 分数裂项.学生版.doc-资料库

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分数裂项计算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。知识点拨分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 a b 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a b ，那么有 1 a b   1 ( b a a 1   1 b ) (2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即： 1 1)   1 1)   n  ( n n  ( n ， ( n  2)  ( n n 1 2 [   2) n  1 n (   ( n 1)   1 ( n 1)  1 3 n 2) (  1 1)( n 1 1)    ( 形式的，我们有：  3) ]  2)  n  2) ( n 1)   ( n 1  ] 2)  ( n  3) ( n 1 n n  ( n 1)   (  2)  ( n  3)  [ n  ( n 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式： 1-2-2-1.分数裂项.题库学生版 page 1 of 8

（1） a b  a b   a a b   b a b    1 b 1 a （2） 2 2 a b  a b   2 a a b   2 b a b   a b  b a 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【例 1】 1 1 2   1 2 3  例题精讲    1 4 5  1 3 4  1 5 6   。【巩固】 1 【巩固】   10 11 11 12 1   ......  1  59 60 【巩固】 2 【巩固】 10 9   2 9 8     2 5 4   2 4 3   1  1  【例 2】 1  【例 3】 1 1 3  1 1 2 1 2 3   1 5 7  1 3 5          1   1 2   1  99 101  100 【巩固】计算：【巩固】 25     1 1 3   1 3 5   1 5 7     1  23 25     【巩固】 251 【巩固】 4 8   251 251 8 12 12 16       251  2000 2004  251  2004 2008 【巩固】计算： 3 【巩固】 2 5   2 5 7   4 7 11 11 16 16 22  6  5     7  22 29  1 29  1-2-2-1.分数裂项.题库学生版 page 2 of 8

【例 4】计算： 1 ( 8  1 24  1 48  1 1 1 80 120 168    1 224  1 288 ) 128   【巩固】 1 【巩固】 1 6 12   1 20  1 30  1 42  1 56  1 72  1 90  _______ 【巩固】【巩固】 1    1 3 1 6 1 10  1 15  1 21  1 28  【巩固】计算： 1 【巩固】 2 1 【巩固】 1  【巩固】 10 40    1 1 12 6 1 1 88 154    1 20 1  238 1 30   1 42  1 56  1 72  ＝ 1 90 。【例 5】计算： 1 1 3 5    1 3 5 7    1 5 7 9      1 2001 2003 2005   【例 6】 7  18 1 13 3  4.5 0.16   3.75 3.2      1 1 3 15   1 35  1 63     【例 7】计算： 1 1 2  2 1 6  3 1 12  4 1 20   20 1 420 【巩固】计算：【巩固】 2008 1 18  2009 1 54  2010 1 108  2011 1 180  2012 1 270 = 。【巩固】计算： 1 【巩固】 2   1 2 6 15  2 35  4 77  ____。 1-2-2-1.分数裂项.题库学生版 page 3 of 8

【巩固】计算： 1 【巩固】 1 3 15   1 35  1 63  1 1 1 99 143 195   【巩固】计算： 1 【巩固】 2   5 11 6 12  19 20  29 30    9701 9702  9899 9900  ． 1 1 2 3    【例 8】【巩固】计算： 1 【巩固】 1 2 3   1 2 3 4       1 2 3 4   1 7 8 9      1 98 99 100   【巩固】计算： 1 【巩固】 1 3 5    1 2 4 6    1 3 5 7      1 20 22 24   【巩固】 4 【巩固】 1 3 5    4 3 5 7    ......  4 93 95 97    4 95 97 99   【巩固】 99 【巩固】 1 2 3    98 2 3 4    97 3 4 5      1 99 100 101   【例 9】 1 1 2 3 4     1 2 3 4 5     1 3 4 5 6       1 6 7 8 9     1 7 8 9 10    【巩固】【巩固】 3 1 2 3 4     3 2 3 4 5     ......  3  17 18 19 20   1-2-2-1.分数裂项.题库学生版 page 4 of 8

【例 10】计算： 5 1 2 3    7 2 3 4      19 8 9 10    ．【巩固】计算：【巩固】 1155  （ 5 2 3 4    7 3 4 5      17 8 9 10    19  9 10 11  ）【巩固】计算：【巩固】 3 1 2 4 5     4 2 3 5 6     5 3 4 6 7       12  10 11 13 14   【例 11】 1 2  2 2 3   3 2 3 4    4 2 3 4 5       9 2 3 4     10 【例 12】 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7                 2      4 5   3    6 【巩固】计算： 2 【巩固】 3!  3 4!    99 100!  . 【例 13】 2 1 (1 2)    3 (1 2 3)     (1 2)  4 (1 2 3 4)        (1 2 3)   (1 2 3      50 49)    (1 2   50) 【巩固】 2 【巩固】 1 (1 2)    3 (1 2 3)     (1 2)  4 (1 2 3 4)        (1 2 3)   (1 2     100    (1 2 99)   100) 1-2-2-1.分数裂项.题库学生版 page 5 of 8

【巩固】【巩固】 1  【例 14】 2 3 2  1 1 2   （） 1 1    1 5 2 1  (1 2) 1   7    1   1 9 2 2 3 (1 2 3)    (1 2 3      9) 10     (1 2 3   10) 1 2 1 11   1 2 1 13   1  . 【巩固】计算：【巩固】 (1  1 2 2 ) (1   1 2 3 ) (1   1 2 4 ) (1   1 2 5 )   (1   1 48 2 ) (1   1 49 2 )  【巩固】计算： 2 【巩固】 1 3  2 2 5  2 3 7  2 4  2 3  2 2    15 2 8  2 7 【巩固】计算：【巩固】 2 3 2 3   1 1  2 2 5 5   1 1  2 2 7 7   1 1    2 1993 2 1993   1 1995 1 1995  2 2   1 1  ．【巩固】计算：【巩固】 2 1 2 2 3  2 1   2 2 2 3 2 4  1   2 3 4 2 5  2 1     98 2  2 99 2 100 1   ．【巩固】计算：【巩固】 2 1 1 3   2 2 3 5   2 3 5 7     2 50  99 101  ．【例 15】 5 6  5 6   6 7  6 7   7 8  7 8   8 9  8 9   9 10  9 10  【巩固】【巩固】 3 5    5 7 6 12  9 20  11 30  13 42 6 7 1-2-2-1.分数裂项.题库学生版 page 6 of 8

【巩固】计算： 1 3 3 4 2 5 5 7      7 8 9 20  10 21  11 24  19 35  【巩固】【巩固】 1 3 2 5    3 7 7 12  9 20  11 28  17 30  25 42 【巩固】【巩固】 1 2   1 3 1 30  1 31  1 41  10 20 27 51 119 120 123 124 38 26     【巩固】 35 【巩固】 6        49 12  63 20  77 30  91 105 42 56      3 1 8     1 8 【巩固】计算： 5   【巩固】 1 7 6 12  9 20  11 30  13 42  15 56  17 72  19 90 【巩固】 1 【巩固】 4   1 7 5 12  9 8 20 15   17 5 30 12  【例 16】 2 2 2 1  1 2   2 2 2 3  2 3    2 2 18 19 18 19    2 2 19 20 19 20   【巩固】【巩固】 1 ( 1 2007   1 2 2006   ......  1 2006 2   1 ) 2007 1   1 2007 2008 1 2006  (  1 2 2005   ......  1 ) 2006 1  1-2-2-1.分数裂项.题库学生版 page 7 of 8

【例 17】计算： 1 2 3   1 4 5     1  98 99  1 1 51 52     1 99  【例 18】计算： 2 3  4 3 5   6 3 5 7      12 3 5 7 9 11      【例 19】计算： 1 1 3   2 3 5   2 2 5 7     8 2  17 19  3  2  1 3 5     4 2 3 5 7      11 2 17 19 21       1-2-2-1.分数裂项.题库学生版 page 8 of 8

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