奥数题型与解题思路21~40讲.doc-资料库

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21、数字和与最大最小问题【数字求和】例 1 100 个连续自然数的和是 8450，取其中第 1 个，第 3 个，第 5 个，………，第 99 个（所有第奇数个），再把这 50 个数相加，和是______。（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：第 50、51 两个数的平均数是 8450÷ 100= 84. 5，所以，第 50 个数是 84。则 100 个连续自然数是： 35，36，37，………，133，134。上面的一列数分别取第 1、3、5、……、99 个数得： 35，37，39，……131，133。则这 50 个数的和是：例 2 把 1 至 100 的一百个自然数全部写出来，所用到的所有数码的和是 _____。（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析；可把 1 至 100 这一百个自然数分组，得（1、2、3、……、9），（10、11、12、……、19），（20、21、22、…… 29），……，（90、91、92、……99），（100）。容易发现前面 10 组中，每组的个位数字之和为 45。而第一组十位上是 0，第二组十位上是 1，第三组十位上是 2，……第十组十位上是 9，所以全体十位上的数字和是（l+2+3+……+9）×10=450。故所有数码的和是 45×10+450+l=901。续若干个数字之和是 1992，那么 a=____。（北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

又，1992÷27=73 余 21，而 21=8+5+7+1，所以 a=6。例 4 有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数，用这种方法计算了四次，分别得到四个数：86，92，100，106。那么，原来四个数的平均数是（1993 年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：每次所选的三个数，计算其平均数，实际上就是计算这三个数中原来四个数的平均数为（86+92+100+106）÷2=192。【最大数与最小数】例 1 三个不同的最简真分数的分子都是质数，分母都是小于 20 的合数，要使这三个分数的和尽可能大,这三个分数是（全国第四届《从小爱数学》邀请赛试题）。讲析： 20 以内的质数有： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19 要使三个分数尽量大，必须使每个分子尽量大而分母尽量小。且三个真例 2 将 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数分成三组，分别计算各组数的和。已知这三个和互不相等，且最大的和是最小和的 2 倍。问：最小的和是多少？（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）讲析；因为 1+2+3+……+8=36，又知三组数的和各不相同，而且最大的

例 3 把 20 以内的质数分别填入□中（每个质数只用一次）：使 A 是整数。A 最大是多少？（第五届《从小爱数学》邀请赛试题）讲析：要使 A 最大，必须使分母尽量小，而分子尽量大。分母分别取 2、3、5 时，A 都不能为整数。当分母取 7 时，例 4 一组互不相同的自然数，其中最小的数是 1，最大的数是 25。除 1 之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的 2 倍，或者等于这组数中某两个数之和。问：这组数之和的最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。（全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题）析：观察自然数 1、2、3、4、5、……、25 这 25 个数，发现它们除 1 之外，每个数都能用其中某一个数的 2 倍，或者某两个数之和表示。因此，这组数之和的最大值是 1+2+3+……+25=325。下面考虑数组中各数之和的最小值。 1 和 25 是必取的，25 不能表示成一个数的 2 倍，而表示成两个数之和的形式，共有 12 种。我们取两个加数中含有尽可能大的公约数的一组数（20+5）或者（10+15）。当取 1、5、20、25 时，还需取 2、3、10 三个；当取 1、10、15、 25 时，还需取 2、3、5。经比较这两组数，可知当取 1、2、3、4、5、10、15、 25 时，和最小是 61。

22、数字串问题【找规律填数】例 1 找规律填数（杭州市上城区小学数学竞赛试题）（1992 年武汉市小学数学竞赛试题）讲析：数列填数问题，关键是要找出规律；即找出数与数之间有什么联系。第（1）小题各数的排列规律是:第 1、3、5、……（奇数）个数分别别是 4 和 2。

第（2）小题粗看起来，各数之间好像没有什么联系。于是，运用分数得到了例 2 右表中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的。按照这个规律在空格中填上合适的数。（1994 年天津市小学数学竞赛试题）讲析：根据题意，可找出每竖行的三个数之间的关系。不难发现每竖行中的第三个数，是由前两数相乘再加上 1 得来的。所以空格中应填 33。【数列的有关问题】数是几分之几？（第一届《从小爱数学》邀请赛试题）讲析：经观察发现，分母是 1、2、3、4、5……的分数个数，分别是 1、3、 5、7、9……。所以，分母分别为 1、2、3……9 的分数共

例 2 有一串数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，1989，1988，…这个数列的第 1993 个数是______ （首届《现代小学数学》邀请赛试题）讲析：把这串数按每三个数分为一组，则每组第一个数都是 1，第二、三个数是从 1993 开始，依次减 1 排列。而 1993÷3=664 余 1，可知第 1993 个数是 1。例 3 已知小数 0.12345678910111213……9899 的小数点后面的数字，是由自然数 1—99 依次排列而成的。则小数点后面第 88 位上的数字是______。（1988 年上海市小学数学竞赛试题）讲析：将原小数的小数部分分成 A、B 两组： A 中有 9 个数字，B 中有 180 个数字，从 10 到 49 共有 80 个数字。所以，第 88 位上是 4。例 4 观察右面的数表（横排为行，竖排为列）；

几行，自左向右的第几列。（全国第三届“华杯赛”决赛试题）讲析：第一行每个分数的分子与分母之和为 2，第二行每个分数的分子与分母之和为 3，第三行每个分数的分子与分母之和为 4，……即每行各数的分子与分母之和等于行数加 1。例 5 如图 5.4，除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，那么第 100 行各数之和是_______。（广州市小学数学竞赛试题）讲析：可试探着计算每行中各数之和。第一、二、三、四行每行的各数之和分别是 6、8、10、12，从而得出，每行的数字之和，是行数的 2 倍加 4。故第 100 行各数之和为 100×2＋4=204.

例 6 伸出你的左手，从大拇指开始，如图 5.5 所示的那样数数：l、2、3……。问：数到 1991 时，会落在哪个手指上？（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：除 1 之外，从 2 开始每 8 个数为一组，每组第一个数都是从食指开始到拇指结束。∵（1991—1）÷8=248 余 6，∴剩下最后 6 个数又从食指开始数，会到中指结束。例 7 如图 5.6，自然数按从小到大的顺序排成螺旋形。在“2”处拐第一个弯，在“3”处拐第二个弯……问拐第二十个弯处是哪个数？（全国第一届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：写出拐弯处的数，然后按每两个数分为一组：（2，3），（5，7），（10，13），（17，21），（26，31），……。将会发现，每组数中依次相差 1、 2、3、4、5、……。每组的第二个数与后一组的第二个数依次相差 2、3、4、5、……。从而可推出，拐第二十个弯处的数是 111。例 8 自然数按图 5.7 顺次排列。数字 3 排在第二行第一列。问：1993 排在第几行第几列？

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