奥数题型与解题思路1~10讲.doc-资料库

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1、最值问题【最小值问题】例 1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。现知甲乙相距 5000 米，乙丙相距 8000 米，丙丁相距 4000 米，那么至少要增加 ______位民警。（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）讲析：如图 5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有 7 位民警。他们将上面的线段分为了 2 个 2500 米，2 个 4000 米， 2 个 2000 米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将 2500、4000、2000 分成尽可能长的同样长的小路。由于 2500、4000、2000 的最大公约数是 500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。例 2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在 A、B、C 的位置上，如图 5.92 所示，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。我们可将正方体表面展开，如图 5.93，则 A、B、C 三点在同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点 O，使 O 到这三点的距离相等且最短。

所以，连接 A 和 C，它与正方体的一条棱交于 O；再连接 OB，不难得出 AO=OC=OB。故，O 点即为三只蚂蚁会面之处。【最大值问题】例 1 有三条线段 a、b、c，并且 a＜b＜c。判断：图 5.94 的三个梯形中，第几个图形面积最大？（全国第二届“华杯赛”初赛试题）讲析：三个图的面积分别是：三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c 这组数的值最接近。故图（3）的面积最大。例 2 某商店有一天，估计将进货单价为 90 元的某商品按 100 元售出后，能卖出 500 个。已知这种商品每个涨价 1 元，其销售量就减少 10 个。为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个______元。（台北市数学竞赛试题）讲析：因为按每个 100 元出售，能卖出 500 个，每个涨价 1 元，其销量减少 10 个，所以，这种商品按单价 90 元进货，共进了 600 个。

现把 600 个商品按每份 10 个，可分成 60 份。因每个涨价 1 元，销量就减少 1 份（即 10 个）；相反，每个减价 1 元，销量就增加 1 份。所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为 60），根据等周长长方形面积最大原理可知，当把 60 分为两个 30 时，即每个涨价 30 元，卖出 30 份，此时有最大的利润。因此，每个售价应定为 90＋30=120（元）时，这一天能获得最大利润。 2、最值规律【积最大的规律】（1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积最大。用字母表示，就是如果 a1+a2+…+an=b（b 为一常数），那么，当 a1=a2=…=an时，a1×a2×…×an有最大值。例如，a1+a2=10， …………→…………； 1+9=10→1×9=9； 2+8=10→2×8=16； 3+7=10→3×7=21； 4+6=10→4×6=24； 4.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75； 5+5=10→5×5=25； 5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75； …………→…………； 9+1=10→9×1=9；

…………→………… 由上可见，当 a1、a2 两数的差越小时，它们的积就越大；只有当它们的差为 0，即 a1=a2时，它们的积就会变得最大。三个或三个以上的数也是一样的。由于篇幅所限，在此不一一举例。由“积最大规律”，可以推出以下的结论：结论 1 所有周长相等的 n 边形，以正 n 边形（各角相等，各边也相等的 n 边形）的面积为最大。例如，当 n=4 时，周长相等的所有四边形中，以正方形的面积为最大。例题：用长为 24 厘米的铁丝，围成一个长方形，长宽如何分配时，它的面积为最大？解设长为 a 厘米，宽为 b 厘米，依题意得（a+b）×2=24 即 a+b=12 由积最大规律，得 a=b=6（厘米）时，面积最大为 6×6=36（平方厘米）。（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的长方形。）结论 2 在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大。例题：用 12 米长的铁丝焊接成一个长方体，长、宽、高如何分配，它的体积才会最大？解设长方体的长为 a 米，宽为 b 米，高为 c 米，依题意得（a+b+c）×4=12 即 a+b+c=3 由积最大规律，得 a=b=c=1（米）时，长方体体积为最大。最大体积为 1×1×1=1（立方米）。

（2）将给定的自然数 N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是 2 或 3，并且 2 至多为两个时，这些自然数的积最大。例如，将自然数 8 拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积为最大。怎么办呢？我们可将各种拆法详述如下：分拆成 8 个数，则只能是 8 个“1”，其积为 1。分拆成 7 个数，则只能是 6 个“1”，1 个“2”，其积为 2。分拆成 6 个数，可得两组数：（1，1，1，1，1，3）；（1，1，1，1，2，2）。它们的积分别是 3 和 4。分拆成 5 个数，可得三组数：（1，1，1，1，4）；（1，1，1，2，3）；（1， 1，2，2，2）。它们的积分别为 4，6，8。分拆成 4 个数，可得 5 组数：（1，1，1，5）；（1，1，2，4）；（1，1， 3，3）；（1，2，2，3）；（2，2，2，2）。它们的积分别为 5，8，9，12，16。分拆成 3 个数，可得 5 组数：（1，1，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2，2，4）；（2，3，3）。它们的积分别为 6，10，12，16，18。分拆成 2 个数，可得 4 组数：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。它们的积分别为 7，12，15，16。分拆成一个数，就是这个 8。从上面可以看出，积最大的是 18=3×3×2。可见，它符合上面所述规律。用同样的方法，将 6、7、14、25 分拆成若干个自然数的和，可发现 6=3+3 时，其积 3×3=9 为最大； 7=3+2+2 时，其积 3×2×2=12 为最大； 14=3+3+3+3+2 时，其积 3×3×3×3×2=162 为最大；

由这些例子可知，上面所述的规律是正确的。【和最小的规律】几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达，就是如果 a1×a2×…×an=c（c 为常数），那么，当 a1=a2=…=an 时，a1+a2+…+an 有最小值。例如，a1×a2=9， …………→………… 1×9=9→1+9=10； 3×3=9→3+3=6； …………→………… 由上述各式可见，当两数差越小时，它们的和也就越小；当两数差为 0 时，它们的和为最小。例题：用铁丝围成一个面积为 16 平方分米的长方形，如何下料，材料最省？解设长方形长为 a 分米，宽为 b 分米，依题意得 a×b=16。要使材料最省，则长方形周长应最小，即 a+b 要最小。根据“和最小规律”，取 a=b=4（分米）时，即用 16 分米长的铁丝围成一个正方形，所用的材料为最省。推论由“和最小规律”可以推出：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。例如，面积均为 4 平方分米的正方形和圆，正方形的周长为 8 分米；而

的周长小于正方形的周长。【面积变化规律】在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。为 0.433×6=2.598（平方分米）。方形的面积。推论由这一面积变化规律，可以推出下面的结论：在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。例如，周长为 4 分米的正方形面积为 1 平方分米；而周长为 4 分米的圆，于和它周长相等的正方形面积。【体积变化规律】在表面积一定的正多面体（各面为正 n 边形，各面角和各二面角相等的多面体）中，面数越多，体积越大。例如，表面积为 8 平方厘米的正四面体 S—ABC（如图 1.30），它每一个面均为正三角形，每个三角形面积为 2 平方厘米，它的体积约是 1.1697 立方厘米。而表面积为 8 平方厘米长约为 1.1546 厘米，体积约为 1.539 立方厘米。显然，正方体体积大于正四面体体积。

推论由这一体积变化规律，可推出如下结论：在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。例如，表面积为 8 平方厘米的正四面体，体积约为 1.1697 立方米；表面积为 8 平方厘米的正六面体（正方体），体积约为 1.539 立方厘米；而表面积是 8 平方厘米的球，体积却约有 2.128 立方厘米。可见上面的结论是正确的。【排序不等式】对于两个有序数组： a1≤a2≤…≤an 及 b1≤b2≤…≤bn，则 a1b1+a2b2+……+anb 抇 n（同序） T≥a1b 抇 1+a2b 抇 2+……+anb 抇 n（乱序）≥a1b n+a2bn-1+……+a>nb1（倒序）（其中 b 抇 1、b 抇 2、……、b 抇 n 为 b1、b2、……、bn的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且仅当 a1=a2=… =an，或 b1=b2=…=bn时，式中等号成立。）由这一不等式可知，同序积之和为最大，倒序积之和为最小。例题：设有 10 个人各拿一只水桶，同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二、…… 九、十个人的桶，分别需要 1、2、3、……、9、10 分钟。问：如何安排这 10 个人的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少？这个总费时至少是多少分钟？解设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1，2，3，……，9，10。打水时，等候的人数为第二个有序数组，等候时间最长的人数排前，这样组成 1，2，3，……，9，10。根据排序不等式，最小积的和为倒序，即 1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1

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