5-5-3 余数性质（一）.教师版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：1.19M 资料格式：doc 举报版权申诉

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5-5-3.余数性质（三）教学目标 1. 学习余数的三大定理及综合运用 2. 理解弃 9 法，并运用其解题知识点拨一、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+16＝39 除以 5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23+19＝42 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之差。例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23－16＝7 除以 5 的余数等于 2，两个余数差 3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。例如：23，14 除以 5 的余数分别是 3 和 4，23－14＝9 除以 5 的余数等于 4，两个余数差为 3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以 c 所得的余数。例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23×16 除以 5 的余数等于 3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23×19 除以 5 的余数等于 3×4 除以 5 的余数，即 2. 乘方：如果 a 与 b 除以 m 的余数相同，那么 na 与 nb 除以 m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：     例如：检验算式1234 1898 18922 678967 178902 889923  1234 除以 9 的余数为 1 1898 除以 9 的余数为 8 18922 除以 9 的余数为 4 678967 除以 9 的余数为 7 178902 除以 9 的余数为 0 这些余数的和除以 9 的余数为 2 而等式右边和除以 9 的余数为 3，那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一定与等式右边和除以 9 的余数相同。 5-5-3.余数性质（一）.题库教师版 page 1 of 7

而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以 9 的余数就可以了，在算的时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被 9 除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式 9+9=9 时，等式两边的除以 9 的余数都是 0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式 2 两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。例题精讲模块一、余数的加减法定理【例【例 11】】幼儿园的老师给班里的小朋友送来 40 只桔子，200 块饼干，120 块奶糖。平均分发完毕，还剩 4 只桔子，20 块饼干，12 粒奶糖。这班里共有_______位小朋友。【考点】余数的加减法定理【难度】1 星【题型】填空【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 3 题，8 分【解析】40-4=36，200-20=180，120-12=108。小朋友的人数应是 36，180，108 的大于 20 的公约数，只有 36。【答案】 36 【例【例 22】】在 1995，1998，2000，2001，2003 中，若其中几个数的和被 9 除余 7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【考点】余数的加减法定理【难度】2 星【题型】填空【关键词】少年数学智力冬令营【解析】1995，1998，2000，2001，2003 除以 9 的余数依次是 6，0，2，3，5．因为 2 5 2 5 0 7            ，所以这样的数组共有下面 4 个：  2 5 3 6 0 2 5 3 6 7 9  1998,2000,2003 ， 【答案】 4 2000,2003,2001,1995 ， 1998,2000,2003,2001,1995 ．      ， 2000,2003 ，    【例【例 33】】号码分别为 101,126,173,193 的 4 个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被 3 除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘? 【考点】余数的加减法定理【难度】2 星【题型】解答【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算 101，126，173，193 除以 3 的余数分别为 2，0，2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用 2，0，2，1 两两相加除以 3 即可。显然 126 运动员打 5 盘是最多的。【答案】 5 【例【例 44】】有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是______．【考点】余数的加减法定理【难度】3 星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】 (70 110 160) 50    29 和 58，110 58 1......52 ， 52 50 ，所以除数不是 58． 70 29  160 29 5......15  ，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是，  ，所以除数是 29 ，110 29 3......23 ，12 23 15 50 2......12 ， 50 3 16......2   290         【答案】 29  【巩固】用自然数 n 去除 63，91，129 得到的三个余数之和为 25，那么 n=________．【巩固】 5-5-3.余数性质（一）.题库教师版 page 2 of 7

【考点】余数的加减法定理【难度】3 星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】 n 能整除 63 91 129 25 258  ．因为 25 3 8...1      于 63．符合条件的只有 43. 【答案】 43 ，所以 n 是 258 大于 8 的约数．显然，n 不能大【例【例 55】】如果 1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么 1！+2！+3！+……+100！的个位数字是多少？【考点】余数的加减法定理【难度】3 星【题型】解答【解析】从 5！开始个位数字都是 0 了因此只需要计算前 4 个数,1！+2！+3！+4！=1+2+6+24=33 所以末位数字一定是 3 【答案】 3 【例【例 66】】六名小学生分别带着 14 元、17 元、18 元、21 元、26 元、37 元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有 5 个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙 3 人的钱凑在一起恰好可买 2 本，丁、戊 2 人的钱凑在一起恰好可买 1 本．这种《成语大词典》的定价是________元．【考点】余数的加减法定理【难度】3 星【题型】填空【关键词】小数报【解析】六名小学生共带钱 133 元．133 除以 3 余 1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买 3 本，所以他们五人带的钱数是 3 的倍数，另一人带的钱除以 3 余 1．易知，这个钱数只能是 37 元，所以每本《成语大词典》的定价是 (14 17 18 21 26) 3 32 (元) ．       【答案】 32 【巩固】商店里有六箱货物，分别重 15，16，18，19，20，31 千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个【巩固】顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【考点】余数的加减法定理【难度】3 星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】两个顾客买的货物重量是 3 的倍数．(15 16 18 19 20 31)  货物重量除以 3 应当余 2，只能是 20 千克．     【答案】 20   (1 2) 119 3 39...2    ，剩下的一箱【巩固】六张卡片上分别标上 1193、1258、1842、1866、1912、2494 六个数，甲取 3 张，乙取 2 张，丙取 1 【巩固】张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的 2 倍，则丙手中卡片上的数是 ________．(第五届小数报数学竞赛初赛) 【考点】余数的加减法定理【难度】3 星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的 2 倍”可知，甲、乙手中五张卡片上的数之和应是 3 的倍数．计算这六个数的总和是1193 1258 1842 1866 1912 2494 10565 ， 10565 除以 3 余 2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是 3 的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以 3 余 2．六个数中只有 1193 除以 3 余 2，故丙手中卡片上的数为 1193．       【答案】1193 【例【例 77】】从 1，2，3，4，…，2007 中取 N 个不同的数，取出的数中任意三个的和能被 15 整除．N 最大为多少？【考点】余数的加减法定理【难度】3 星【题型】解答【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 8 题【解析】取出的 N 个不同的数中，任意三个的和能被 15 整除，则其中任意两个数除以 15 的余数相同，且这中，除以 15 的余数为 0   ，…，   ，15 1 5   ，…，15 133 10  ，共有个余数的 3 倍能被 15 整除，所以这个余数只能是 0，5 或者 10．在1 2007 的有15 1 ，15 2 ，…，15 133 ，共有133 个；除以 15 的余数为 5 的有15 0 5 15 133 5 134 个．所以 N 最大为 134．  ，共有 134 个；除以 15 的余数为 10 的有15 0 10   ，15 1 10    【答案】134 5-5-3.余数性质（一）.题库教师版 page 3 of 7

【例【例 88】】一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是 3 的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是 100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁? 【考点】余数的加减法定理【难度】3 星【题型】解答【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克【解析】从任意三人岁数之和是 3 的倍数，100 除以 3 余 1，就知四个岁数都是 3 有 7，13，19，31，37，43，就容易看出：父 43 岁，母 37 岁，兄 13 岁，妹 7 岁． 1k  型的数，又是质数．只【答案】 37 【例【例 99】】有三所学校，高中 A 校比 B 校多 10 人，B 校比 C 校多 10 人．三校共有高中生 2196 人．有一所学校初中人数是高中人数的 2 倍；有一所学校初中人数是高中人数的 1.5 倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是 5480 人，那么 A 校总人数是________人．【考点】余数的加减法定理【难度】3 星【题型】填空【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克【解析】三所学校的高中生分别是：A 校 742 人，B 校 732 人，C 校 722 人．如果 A 校或 C 校初中人数是高中人数的 1.5 倍，该校总人数是奇数，而按照给出条件得出其他两校总人数都是偶数，与三校总人数 5480 是偶数矛盾，因此只能是 B 校的初中人数是高中人数的 1.5 倍．三校初中的总人数是，被 3 除余 2；732 被 3 整除，722 被 3 除余 2,742 被 3 除余 1．从余数来看 2 2 1 5 5480 2196 3284     ，    ，就断定初中人数是高中人数的 2 倍，只能是 C 校．所以，A 校总人数是 742 742 1484 1 2 2 (人) ． 4    【答案】1484 模块二、余数的乘法定理  【例【例 1010】】求 2461 135 6047 11 【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答【解析】因为 2461 11 223...8  ，135 11 12...3  的余数．    2461 135 6047 11 192 11 17...5  的余数等于 8 3 8 11 ，所以 2461 135 6047 11       的余数为 5．， 6047 11 549...8     的余数，而8 3 8 192    ，  ，根据同余定理(三)，   【答案】 5   除以 17 的余数．【巩固】求 478 296 351 【巩固】【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以 17 的余数，再求余数之积除以 17 的余数． 478,296,351除以 17 的余数分别为 2，7 和 11， (2 7 11) 17 9......1     ．【答案】1  【巩固】求 437 309 1993 【巩固】【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答【解析】方法一：先将 437 309 1993  被 7 除的余数．    数为 1．算出以后，即 437 309 1993 269120769   ．再求得此数被 7 除的余方法二：因为 473 除以 7 的余数为 3， 309 除以 7 的余数为 1，由“同余的可乘性”知： 437 309 以 7 的余数为 3 1（）．又因为 1993 除以 7 的余数为 5，所以 437 309 1993 被 7 除的余数为 1．等于 3 1 5  （）即 15 除以 7 的余数，算出 437 309 1993 （     （）除）除以 7 的余数方法三：利用余数判别法⑹，算出 437 309 1993 269120769       ）（   ） 17 22 3 36 1 2 0 的差即 2 6 9   437 309 1993 （    7 6 9 ）（被 7 除的余数为 1．     ，奇数节的数之和与偶数节的数之和， 36 除以 7 的余数为 1 ，即【答案】1 【例【例 1111】】求 478 2569 352 【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答  除以 9 的余数．  5-5-3.余数性质（一）.题库教师版 page 4 of 7

【分析】 4 7 8 19 于1 4 1 4       ．【答案】 4    ，2 5 6 13 9 4 2 9 1      ，3 5 2 10 9 1      ，478 2569 351  除以 9 的余数等  【例【例 1212】】一个数被 7 除，余数是 3，该数的 3 倍被 7 除，余数是【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 3 题，5 分【解析】余数是 3×3÷7 的余数，为 2 【答案】 2 。【例【例 1313】】在图表的第二行中，恰好填上89 98～这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以 11 所得的余数都是 3．【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】填空【解析】因为两个数的乘积除以 11 的余数，等于两个数分别除以 11 的余数之积．因此原题中的 89 98～可以改换为1 10～，这样上下两数的乘积除以 11 余 3 就容易计算了．我们得到下面的结果：进而得到本题的答案是：【答案】 2     2 2 3  2 2001 【例【例 1414】】 2 1 【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答【关键词】实验中学【解析】由于 2 1 2 2001 2002 2002 2 3 2        2 除以 7 的余数是多少？所以这个乘积也是 7 的倍数，故 2 1 【答案】 0  2 2  2 3  2002 2003 4005   2   1001 2003 1335   ，而 1001 是 7 的倍数， 6   2 2001  2002 2 除以 7 的余数是 0； 12 6443 19 的余数【例【例 1515】】求【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答【解析】本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况。由 6443÷19 余 2，求原 19 的余数即可。但是如果用 2÷19 发现会进入一个死循环，因为这时被除数比式的余数只要求 122 除数小了，所以可以进行适当的调整， 12 2 64÷19 余数为 7，那么求 122 49÷19 余数为 11，所以原式  ， 19 的余数就转化为求 64 64 19 12 6443 19 的余数为 11. 64 64  2 2    6 6  的余数，即 49÷19 的余数。【答案】11 【巩固】求 89 【巩固】【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答 143 除以 7 的余数． 5-5-3.余数性质（一）.题库教师版 page 5 of 7

【解析】法一：由于   143 3 mod7 7 除所得余数相等),而 63 6 6 3 3 所以  89 3  6 3     (143 被 7 除余 3)，所以 729  ， 5 5 3 3   729 1 mod7    5 mod7    14 个  （729 除以 7 的余数为 1）， 143 除以 7 的余数为 5. ,故 89 89 143  89 3 mod7   ( 89 143 被 7 除所得余数与 893 被法二：计算 893 被 7 除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表： 13 3 23 2 mod 7 于是余数以 6 为周期变化．所以 33 6 89 3  5 3  43 4  5 mod7 53 5  ． 63 1 73 3   【答案】 5 【巩固】求 4063 写成十进制数时的个位数．【巩固】【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答【解析】要想把 4063 具体数字算出来显然是不可能的，由于题目可以转化为求 4063 除以 10 的余数．看到题目里面有个很大的乘方，我们想到利用“同余的乘方性”．可先确定 n，使 3n 除以 10 的余数为 1．通过尝试可知，最小的 n 为 4．因为 406 10 的余数即 1， 23 除以 10 的余数为 9，所以， 4063 除以 10 的余数为1 9 9 时的个位数为 9．， 4 101 3（）除以 10 的余数等于 1011 除以   ，即 4063 写成十进制数 4 101 3  （） 404 3 2 3 2 3 3    【答案】 9  【巩固】【巩固】 2009 2009 2009  2010   2009 个【考点】余数的乘法定理【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第 4 题【解析】易知２００９的个位数字是９，【解析】的个位数字是________．【难度】3 星【题型】填空 2009 的个位数字是１， 2 2009 的个位数字是９， 3 2009 的个位数字 4 是１，两个为一周期，则【答案】1 2009 的个位数字是１. 2010 【巩固】2007×2007×…×2007（2008 个 2007）的个位数字是【巩固】【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 1 题【解析】可以看出 2007 的乘方其尾数是 7、9、3、1 四个数字循环的，2008 个 2007 相乘，其尾数为 1. 【答案】1 。【例【例 1616】】今天是星期四， 1000 【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答【解析】先求较小的 n，使10n 除以 7 的余数为 1． 10 天之后将是星期几？ 6 10 除以 7 余 3， 210 除以 7 余 2， 3 10 10 10  除以 7 的余数等于 6 6 36 10 除以 7 的余数等于 4 1 4 3 10  10   6 166  3 4 2 10 10  除以 7 余 3 2 2  除以 7 余 2 2 10   ，   除以 7 的余数等于 1．所以， 1000 10 除以 7 的余数等于   ， 4 10 10 6 4  2   ，故 1000 10 天之后，应是星期一．【答案】星期一【例【例 1717】】求 19973 的最后两位数．【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答【解析】即考虑 19973 除以 100 的余数．由于100 4 25   ，由于 33 27 除以 25 余 2，所以 93 除以 25 余 8， 103 除以 25 余 24，那么 203 除以 25 余 1；又因为 23 除以 4 余 1，则 203 除以 4 余 1；即 203 1 能被 4 和 25 整除，而 4 与 25 互质，所以 203 1 能被 100 整除，即 203 除以 100 余 1，由于1997 20 99 17   ，  所以 19973 除以 100 的余数即等于 173 除以 100 的余数，而 63  除以 100 余 29， 53  除以 100 243 余 43 ， 17  除以 100 的余数，而 3 5  ，所以 173 除以 100 的余数等于 29 29 43 3 6 2 (3 ) 729   5-5-3.余数性质（一）.题库教师版 page 6 of 7

29 29 43 36163    【答案】 63 除以 100 余 63，所以 19973 除以 100 余 63，即 19973 的最后两位数为 63．【例【例 1818】】求1 ~ 2008 的所有自然数中，有多少个整数 a 使 2a 与 2a 被 7 除余数相同？【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答【解析】让我们用列表的方法来寻找 2a 与 2a 被 7 除余数的规律： a 2 2 5 4 4 4 2 2 4 2 1 4 2 1 4 0 1 1 2 4 4 2 3 1 2 2 4 4 8 4 1 7 2 0 6 1 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21  1  1 4 0  1 2a 被 7 除的余数 2 2a 被 7 除的余数 1 从上表可以看出： 2a 被 7 除的余数是 2，4，1，2，4，1，2，4，1， ，每 3 个一循环； 2a 被 7 除的余数是 1，4，2，2，4，1，0，1，4，2，2，4，1，0， ，每 7 个一循环．所以能同时满足这两个条件的规律，必须是 3 和 7 的公倍数，即为 21 的倍数，也就是使 2a 与 2a 被 7 除的余数相同的数，在自然数列中，是每 21 一个循环，其中有 6 个余数相同，分别是每个循环中的第 2，4，5，6，10，15 个数．又因为 2008 21 95 13 有： 6 95 5 575   ，所以，在1 ~ 2008 的所有自然数中，能使 2a 与 2a 被 7 除余数相同的数共   （个）． 1 2 2 4 4 1   【答案】 575 5-5-3.余数性质（一）.题库教师版 page 7 of 7

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