6-1-7.盈亏问题（三） 教学目标 1. 熟练掌握盈亏问题的本质. 2. 运用盈亏问题的解题方法解决一些生活实际问题． 知识精讲 盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称 之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也 就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”． 可以得出盈亏问题的基本关系式： (盈  亏)  两次分得之差  人数或单位数 (盈  盈)  两次分得之差  人数或单位数 (亏  亏)  两次分得之差  人数或单位数 物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”. 注意：1.条件转换； 2.关系互换. 模块一、利用条件关系转换解盈亏问题——转化被分配物质 【例 1】王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的 2 倍.桔子每人分 3 个，多 4 个；苹果每人分 7 个， 少 5 个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？ 【考点】盈亏问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】因为桔子每人分 3 个多 4 个，而苹果是桔子的 2 倍，因此苹果每人分 6 个就多 8 个.又已知苹果每人 分 7 个少 5 个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）. 苹果个数为 13×7-5=86（个）. 桔子数为 13×3+4=43（个）. 答：有 13 个小朋友，86 个苹果和 43 个桔子. 【答案】13 个小朋友，苹果86 个，桔子 43 个 【巩固】 学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍，分给同学们，每组分乒乓球拍 5 副， 余乒乓球拍 15 副，每组分羽毛球拍 14 副，则差 30 副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍 各多少副？ 【考点】盈亏问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】因为羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍，如果每次分羽毛球拍 5×2=10（副），最后应余下 15×2=30（副）， 因为 14-5×2=4（副），分到最后还差 30 副，所以比每次分 10 副总共差 30+30=60（副），所以有小组： 60÷4=15（组），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍 90×2=180（副）. 【答案】羽毛球拍180 副，乒乓球拍 90 副 【例 2】有若干个苹果和若干个梨.如果按每 1 个苹果配 2 个梨分堆，那么梨分完时还剩 2 个苹果；如果按每 3 个苹果配 5 个梨分堆，那么苹果分完时还剩 1 个梨.苹果和梨各有多少个? 【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到.原因在于第一种方案是 1 个苹果“搭配”2 个梨，第二种方案是 3 个苹果“搭配”5 个梨.如果将这两种方案统一为 1 个苹果“搭配” 若干个梨，那么问题就好解决了.将原题条件变为“1 个苹果搭配 2 个梨，缺 4 个梨；1 个苹果搭配 5/3 6-1-7.盈亏问题（三）.题库 教师版 page 1 of 5 

个梨，多 1 个梨”，此时盈亏总额为 4 1 5 (个)，有梨15 2 4 果 (4 1) (2 5 / 3) 15   (个)梨，两次分配数之差为 2 5 / 3 1/ 3      (个). 26    【答案】苹果15 个，梨 26 个  (个)梨.所以有苹 【巩固】 有若干梨和苹果，如果 1 个梨和 3 个苹果分成一堆，则多 2 个梨，如果 2 个梨和 5 个苹果分成一堆， 则少 2 个苹果，则梨有 个，苹果有 个。 【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3 年级，第 11 题 【解析】   【解析】 【答案】梨有 8 个，苹果有18 个  个梨， 8 3 2.5  3 18 6 2 8 2         个苹果 【巩固】 有红球和绿球若干个，如果按每组 1 个红球 2 个绿球分组，绿球恰好够用，但剩 5 个红球；如果按 每组 3 个红球 5 个绿球分组，红球恰好够用，但剩 5 个绿球，则红球和绿球共有_____________个。 【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第 14 题 【解析】设红球有 a 个，绿球有 b 个。在第一种分法中，(a-5)÷1=b÷2；在第二种分法中,（b-5）÷5=a÷3。解 得：b=80,a=45.所以红球和绿球共有 80+45=125 个。 【答案】125 个 【巩固】 有若干个苹果和梨，如果按 1 个苹果配 3 个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩 2 个梨；如果按半个 苹果配 2 个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少个？ 【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】1 个苹果配 3 个梨，多 2 个梨；半个苹果配 2 个梨，即 1 个苹果配 4 个梨，剩半个苹果，即少 2 个 梨.苹果有：（2+2）÷（4-3）=4（个），梨有：3×4+2=14（个）. 【答案】14 个 【巩固】 四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅 笔和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有 1 块 橡皮 2 支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩 5 块；如果每堆有 3 块橡皮和 5 支铅笔，橡皮分完时还剩 5 支 铅笔．那么，刘老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔? 【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】如果增加 10 支铅笔，则按 1 块橡皮、2 支铅笔正好分完；而按 3 块橡皮、5 支铅笔分，则剩下 10+5=15(支) 铅笔，但如果按 3 块橡皮、6 支铅笔分，则正好分完，可以分成：15÷(6—5)=15(堆)，所以，橡皮数 为：15×3=45(块)，铅笔数为：15×6—10=80(支)． 【答案】橡皮 45 支，铅笔 80 支 【巩固】 小白兔和小灰兔各有若干只．如果 5 只小白兔和 3 只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多 4 只，小 灰兔恰好放完；如果 7 只小白兔和 3 只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还多 12 只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？ 【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】“7 只小白兔和 3 只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好装完，小灰兔还多 12 只”说明小白兔少了 12÷3×7 ＝28（只），这样原来笼子数有：（28＋4）÷（7－5）＝16（个），所以小白兔有 16×5＋4＝84（只）， 小灰兔有 16×3＝48（只），合起来有 84＋48＝132（只）． 【答案】132 只 【例 3】幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖．她发给每个小朋友 2 块巧克力，7 块奶糖和 8 块 水果糖．发完后清点一下，水果糖还剩 15 块，而巧克力恰好是奶糖的 3 倍．那么共有_____________ 个小朋友． 【考点】盈亏问题 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级组，复试题 【解析】方法一：画线段图分析，由题意知： 6-1-7.盈亏问题（三）.题库 教师版 page 2 of 5 

2 份 巧克力 奶糖 水果糖 7 份 8 份 15 从奶糖的 7 份中取 2 份，那么剩下的 5 份就和上面的 2 小段相等．如图： 巧克力 奶糖 水果糖 2 小段 5 份 15 那么 2 小段和 5 份都看成 10 份量，那么总量就相当于 19 份量，水果糖中原有的 8 份就是现在的 16 份，则剩下的 15 块水果糖就占有 3 份，则 1 份就是 5 块，给小朋友们分出去的水果糖数量是：16 5 80 （块），小朋友的人数是： 80 8 10 方法二：由上图知，设发完后奶糖剩下1份，则巧克力剩下 3 份，而巧克力与奶糖每人分得相差 5 块， 对应剩下的糖相差 2 份，水果糖与奶糖每人分得相差1 块，则对应剩下的糖应相差 2 5 0.4   份，所 以水果糖最后应剩下1 0.4 0.6  ，所以应用盈亏问题 共有 (25 15)  份，恰是15 块，所以 1 份对应的是15 0.6   （人）．   （人）． (8 7) 10   25     【答案】10 人 模块二、盈亏问题的综合运用 【例 4】“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等．花球原价 1 元钱 2 个，白球原价 1 元钱 3 个．因节日商店优惠销售，两种球的售价都是 2 元钱 5 个，结果小明少花了 4 元钱，那么小明共买了多少个球？ 【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】花球原价 1 元钱 2 个，白球原价 1 元钱 3 个．即花球原价 10 元钱 20 个，白球原价 10 元钱 30 个．那   （元）．现    （元），说明花球和   （个）， 么，同样买花球和白球各 30 个，花球要比白球多花10 2 5 在两种球的售价都是 2 元钱 5 个，花球和白球各买 30 个需要 (30 5) 2 2 白球各买 30 个能省下 25 24 1 共买了120 2  （元）．现在共省了 4 元，说明花球和白球各有 30 4 120   （元），共需要 30 2 30 3 25   （个）．   24 240   【答案】 240 个 【例 5】一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干块．小唐喝前两盒咖啡时每袋咖啡都放 3 块方糖，结果共 用了 1 包方糖和第 2 包中的 24 块；小唐喝后三盒咖啡时每袋咖啡都只放 1 块方糖，最后第 3 包方糖 还剩下 36 块，那么每盒咖啡有多少袋？ 【考点】盈亏问题 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】小唐喝前 2 盒咖啡，每袋放 3 块糖，相当于喝 6 盒咖啡每袋放 1 块糖； 小唐喝后 3 盒咖啡，每袋放 1 块糖，所以喝后 3 盒用掉的方糖总量是前 2 盒用掉方糖量的一半． 小唐喝前 2 盒咖啡一共用掉方糖一包又 24 块， 喝后 3 盒咖啡用掉方糖一包差 12 块， 因此一包又 24 块方糖与两包差 24 块方糖一样多，一包方糖有 (24 24) 于是喝前两盒咖啡用掉方糖 48 24 72 48  （块），每盒咖啡的袋数为： 72 3 2 12 (2 1)   （块）．     （袋）．   【答案】12 袋 【例 6】巧克力每盒 9 块，软糖每盒11块，要把这两种糖分发给一些小朋友，每种糖每人一块，由于又来了 一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖分发的盒数就一样多，现在又来了一位小朋友，巧克力还 要增加一盒，则最后共有多少个小朋友？ 【考点】盈亏问题 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】新来了一位小朋友，就要增加一盒软糖，说明在此之前，软糖应该是刚好分完几整盒，所以原来的 小朋友人数是11的倍数．增加了第二位小朋友之后，巧克力糖也要再来一盒了，说明原有的小朋友 分几整盒巧克力糖之后还剩下一块，也就是说，原有的小朋友人数是 9 的倍数减1．符合这两个条件 的最小的数是 44 ，而且它刚好满足原有的巧克力比软糖多一盒的条件，所以原有 44 个小朋友，最后 有 46 个小朋友． 【答案】 46 个小朋友 6-1-7.盈亏问题（三）.题库 教师版 page 3 of 5 

【例 7】有 48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 5 人．如果把书全部分给第一组，那么每人 4 本，有剩余；每人 5 本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人 3 本，有剩余；每人 4 本，书 不够．问第二组有多少人？ 【考点】盈亏问题 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】如果把书全部分给第一组，那么每人 4 本，有剩余；每人 5 本，书不够．说明第一组人数少于 48 4 12    ，即 9 人；如果把书全分给第二组，那么每人 3 本，有剩余；每人 4 本，   （人）；因为已知第二组比第一组多 （人），多于 48 5 9 书不够．说明第二组人数少于 48 3 16 5 人，所以，第一组只能是 10 人，第二组 15 人．   （人），多于 48 4 12   3 【答案】15 人 【例 8】有若干盒卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到 7 张；如果每人分 8 张卡片，则 还缺少 5 张．现在把所有卡片都分完，每人分到 60 张，而且还多出 4 张．问：共有多少个小朋友？ 【考点】盈亏问题 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】首先由题意，一盒卡片每人分 7 张则有剩余，每人分 8 张则少 5 张，证明总人数多于 5 个．   （张）卡片，还缺 35 张，卡片张数比题中所 如果一共有 7 盒卡片，则所有人每人要想分到 8 7 56 述要少． 如果一共有 9 盒卡片，则只要再添上 5 9 45 人数为 (45 4)   (72 60)   4  ，不满足总人数多于 5 个的要求． 5 1 12   （张）卡片，就能使所有人每人分到 8 9 72   （张），    （张）卡片，就能使所有人每人分到 8 8 64 类似地，当卡片总盒数多于 9 时，都不满足总人数多于 5 个的要求． 因此卡片一共有 8 盒，添上 5 8 40 数为： (40 4)  （人）．     ，说明卡片的盒数是 8 盒，“若都分 8 张则还缺少 5 张”，即如果 (二解) 60 7 8 我们在每盒中加 5 张（8 盒共加 40 张），每人就可以得到 8 8 64   （张），现在实际每人得到 60 张， 即每人需要退出 4 张，其中要有 4 张是每人 60 张后多下来的，还有 40 张是我们一开始借来的要还 出去，即要退出 44 张， 44 4 11   （人），说明有 11 人． (64 60) 11 4    ， 60 8 7   （张），所以总人 4  【答案】11个小朋友 【例 9】一班和二班的学生一起出去划船，要求一班和二班的学生不能坐同一艘船，但每船都按要求尽量坐 满，如果 7 人一船，则共需 15 船；如果要求 8 人一船，则恰好全部坐满；如果要求 10 人一船，则 一班比二班多 3 船，那么一班和二班分别有_____、______人. 【考点】盈亏问题 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，5 年级，第 13 题 【解析】 8 人一船，则恰好全部坐满，那么两班人数都是 8 的倍数；10 人一船，则一班比二班多 3 船，说明 一班比二班人多. 7 人一船，肯定也是一班船多，多的数目也是 3 左右. 由于两班船和是 15，是奇数， 所以差也应该是奇数. 下面我们按照差分别是 1，3，5 分别讨论. 发现在船数差 3 和差 5 的时候，会出现 10 人每船时差 3 的情况，但是第一种一班人数没有 8 的倍数， 所以取第二种情况，一班 64 人，二班 32 人. 【答案】一班 64 人，二班 32 人. 【例 10】 幼儿园有三个班，甲班比乙班多 4 人，乙班比丙班多 4 人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比 乙班每个小孩少分 3 个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分 5 个枣，结果甲班比乙班共多分 3 个枣， 6-1-7.盈亏问题（三）.题库 教师版 page 4 of 5 

乙班比丙班总共多分 5 个枣．问：三个班总共分了多少个枣？ 【考点】盈亏问题 【难度】6 星 【题型】解答 【解析】设丙班有 x 个小孩，那么乙班就有 4（ ）x 个小孩，甲班有 8（ ）x 个小孩． 5（ ）x 个枣． 乙班每个小孩比丙班每个小孩少分 5 个枣，那么 x 个小孩就少分 5x 个枣，而乙班比丙班总共多分 5 个 枣，所以多出来的那 4 个小孩分了 5 4（ ）x 个小孩就少分 3 同样的道理，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分 3 个枣，那么 （ 甲班比乙班总共多分 3 个枣，所以多出来的那 4 个小孩分了 3 12 3 3 x x 个枣． 甲 班 每 个 小 孩 比 乙 班 每 个 小 孩 少 分 3 个 枣 ， 4 个 小 孩 就 少 3 4 12 5 x 所以，丙班有11个小朋友，乙班有15 个小朋友，甲班有19 个小朋友；甲班每人分12 个枣，乙班每 人分15 个枣，丙班每人分 20 个枣．—共分了12 19 15 15 20 11 673     个 枣 ， 因 此 我 们 得 到 ：  （个）枣． ，解得 11x ）x 个枣，而 15 12 5 3   12 15 ．   x        【答案】 673 个 【例 1】 动物园里猩猩比狒狒多，猴子比猩猩多。一天，饲养员拿了 10 箱香蕉分给它们。每只猩猩比每只 狒狒多分 1 根，每只猴子比每只猩猩多分 1 根。分完后，只剩下 2 根香蕉。如果每箱香蕉数量相同， 都是 40 多个，而且猴子比狒狒多 6 只，猩猩 16 只。那么，动物园里有_______________只猴子。 A. 18 B. 19 【考点】盈亏问题 【难度】6 星 【题型】选择 【关键词】迎春杯，中年级组，复试，8 题 【解析】 B ，由题意知，共吃了香蕉 ~ 【解析】 C. 20 D. 17 400 500 根，且个位数是 8 。设有猴子 n 只，则有狒狒 n  6 只。因为 猩猩的数量介于猴子与狒狒之间，所以 17 ≤ n ≤ 21 。再设每只猴子吃了 a 根香蕉，则每只猩猩吃了 a  1 根，每只狒狒吃了   a  2 根。共吃香蕉    a an n      16 1 6 an an a a     6 16 16 an a n    2 10 4 2   n a n    4 2 5 2    X 。 X 的个位数是 8，且17 ≤ n ≤ 21  a  n  2  12 2       若 n  17 ，则 X 若 n  18 ，则 X 若 n  19 ，则 X 同理， n  20 或 21都不符合题意。 所以有猴子19 只。 a 44 a 46 a 48    38 。 a 的个位只能是 4 或 9 ，不满足 40 。 a 的个位只能是 3 或 8 ，不满足 42 。 a 的个位只能是 0 或 5 ，当 a  10 时， X  438 ，符合题意； 500 ； 500 ； X X 400 400   【答案】19 6-1-7.盈亏问题（三）.题库 教师版 page 5 of 5