4-3-6 燕尾定理.教师版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：2.59M 资料格式：doc 举报版权申诉

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燕尾定理例题精讲燕尾定理：在三角形 ABC 中， AD ， BE ， CF 相交于同一点 O ，那么 S : S  ACO  BD DC : ．  ABO A E F O C D B 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 ABO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 和 ACO 通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图， D 是 BC 上任意一点，请你说明： 1 : S S 4  S 2 : S 3  BD DC : A E S 4 S 2 S 1 D S 3 C B 【解析】三角形 BED 与三角形 CED 同高，分别以 BD 、 DC 为底， : S S  所以有 1 4 CED 同高， 4 S BD DC : S :  : S S ；三角形 ABE 与三角形 EBD 同高， 1 2 : : S S ；综上可得 1 ，所以 1 : S S  S S : 4 2 3 ED EA 3 4 ED EA ；三角形 ACE 与三角形  BD DC S   S : : : . 2 3 【例 1】如右图，三角形 ABC 中， : BD DC  ， : CE EA  ，求 :AF FB ． 4 :9 4 :3 A F O E B D C 【考点】燕尾定理【难度】3 星【题型】解答 4:9 12: 27  【解析】根据燕尾定理得 3: 4 12:16  的面积要统一，所以找最小公倍数） BD CD AE CE     S S S S : : : : AOC BOC AOB AOB △ △ △ △ （都有 AOB△ : S 所以 S △ AOC  27 :16  AF FB : △ BOC 【点评】本题关键是把 AOB△ 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】 27 :16 4-3-6.燕尾定理题库 page 1 of 21

【巩固】如右图，三角形 ABC 中， : BD DC  ， : AE CE  3: 4 5: 6 ，求 :AF FB . A F O E B D C 【考点】燕尾定理【难度】3 星【题型】解答 3: 4 15: 20  【解析】根据燕尾定理得 5: 6 15:18  BD CD AE CE     S S S S : : : : AOC AOB △ △ △ AOB △ BOC （都有 AOB△ : S 所以【答案】10 :9 AOC S △ 的面积要统一，所以找最小公倍数）  20 :18 10 :9   AF FB : △ BOC 【巩固】如图， : BD DC  2 :3 , AE CE  : 5:3 ,则 :AF BF  A F G E B D C 【考点】燕尾定理【难度】3 星【题型】填空 2 :3 10 :15 【解析】根据燕尾定理有 :  S S 15: 6 5: 2 AF BF ACG  ABG    S : : △ △ △ ACG △ BCG S 【答案】 5 : 2 , S △ ABG : S △ BCG  5:3 10 : 6  ,所以【巩固】如右图，三角形 ABC 中， : EA CE  ，求 :AF FB . 5: 4 2 :3 BD DC  ， : A F O E B D C 【考点】燕尾定理【难度】3 星【题型】解答 2 :3 10 :15  【解析】根据燕尾定理得 5: 4 10 :8  的面积要统一，所以找最小公倍数） BD CD AE CE     S S S S : : : : AOC BOC AOB AOB △ △ △ △ （都有 AOB△ : S 所以 S  【点评】本题关键是把 AOB△ AOC BOC △ △ 15:8  AF FB : 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】15:8 【例 2】如图，三角形 ABC 被分成 6 个三角形，已知其中 4 个三角形的面积，问三角形 ABC 的面积是多少? 4-3-6.燕尾定理题库 page 2 of 21

A F 84 E O 35 40 30 D C B 3 4  ． E E 3 【考点】燕尾定理【难度】3 星【题型】解答【解析】设 BOF : S ，由题意知 : ,所以 4 :3 x   S S S S S : △ △ ABO △ ACO △ BDO △ CDO BD DC  根据燕尾定理,得 4 :3   (84  x )  63 △ ACO S : S  S △ △ ABO BCO 再根据 △ ，列方程 COE ,所以 :35 (56 84) : (40 30)   S 所以三角形 ABC 的面积是 84 40 30 35 56 70 315 AOE    70 AOE AOE      S △ △ △ : S (84 x ) : (40 30)   【答案】315  3 4 (63 x ，  3 4 x  35) :35 解得 56 x  【例 3】如图，三角形 ABC 的面积是1 ， E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 : BD DC  ， AD 与 BE 交 1: 2 于点 F ．则四边形 DFEC 的面积等于 A B F D E C B B A A 3 2 3 F F 1 D D 【考点】燕尾定理【难度】3 星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛【解析】方法一：连接 CF ，根据燕尾定理， ABF  △ S S △ 份，则 5 12 S △ ABC ACF S △ DCF 5 12  设 S △ 所以  1 BDF S DCEF  BD DC 2   1 2 份， S S ， △ ABF △ CBF  S △ ABF  AE EC 份，  3 A E C F D C C B 1 , S △ AEF S △ EFC  3 份，如图所标方法二：连接 DE ，由题目条件可得到 S △ ABD  △ ABC 1 S 3 1 3 ，  △ ADE S S   △ DEF △ S ADC 1 2 1 2    2 1 3 2 DEB S △   S 1 2 2 3 1 1 2 3  ABC △    S △ ABC  1 3 ，所以 BF FE  S S △ ABD  ， △ ADE 1 1 1 1 1 2 3 2 △ S  BEC     S ．所以则四边形 DFEC 的面积等于 5 12 ， ABC △ 1 3 1 12 ． S △ CDE 而【答案】 5 12 【巩固】如图，已知 BD DC ， EC  2 AE ，三角形 ABC 的面积是 30 ，求阴影部分面积. 4-3-6.燕尾定理题库 page 3 of 21

E A F D C B E A F D C B E A F D C B 【考点】燕尾定理【难度】3 星【题型】解答【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一)连接 CF ，因为 BD DC ， 2  所以 S △ ABE 1 S 3 △ 根据燕尾定理，  10 ， S △  AE EC  ABC S S △ △ ABF CBF EC 1 S 2 S S △ △ ， ABD 1 2  BD CD  1 , ABF ACF AE  ，三角形 ABC 的面积是 30， 15 ． △ ABC 所以 S △ ABF S  7.5 ， S △ BFD  △ ABC 15 7.5 7.5   ， 1 4 所以阴影部分面积是 30 10 7.5 12.5  (法二)连接 DE ，由题目条件可得到   S △ ． ABE △ 1 S ABC 3 S AF FD S  △ △  10 ，  1 1 ， ABE BDE S △ BDE  S △ DEF   △ S BEC 1 2 1 2    2 1 3 2 DEA S △   1 2 2 3    1 1 2 3  ABC S △ 而 S △ CDE 【答案】12.5 S △ ABC  10 ，所以 S △ ADC     1 1 1 2 3 2 S  2.5 ， △ ABC 10 ．所以阴影部分的面积为12.5 ．【巩固】如图，三角形 ABC 的面积是 200 cm ，E 在 AC 上，点 D 在 BC 上，且 : AE EC  2 3:5 , AD 与 BE 交于点 F ．则四边形 DFEC 的面积等于． A B F D E C B F D A E C A E C B F D BD DC  ， 2 :3 : 【考点】燕尾定理【难度】3 星【题型】填空【解析】连接 CF ，根据燕尾定理， S S △ ABF  △ ACF BD DC 2 3 6 9   ， △ ABF  S S △ CBF AE EC   3 5 6 10 , 设 S △ ABF  6 份，则 S △ ACF  9 份, S △ BCF  10 份，所以 S DCFE  【答案】93 200 (6 9 10)     ( 45 8  6) 8 (   45 8  △ S EFC 9   5 3 5  2 6) 93 (cm )   45 8 份， S △ CDF  10  3  2 3  6 份，【巩固】如图，已知 3 DC 面积的几分之几？ BD  ， EC  2 AE ，BE 与 CD 相交于点 O ,则 ABC△ 被分成的 4 部分面积各占 ABC△ 4-3-6.燕尾定理题库 page 4 of 21

A O E B D C B A 1 1 2 E O 9 13.5 3 4.5 1 D 2 C 分按从小到大各占 ABC△ 【答案】 9 20 【考点】燕尾定理【难度】3 星【题型】解答【解析】连接 CO ,设  1 S △ AEO 份，则其他部分的面积如图所示，所以面积的 1 2 4.5  30 30 ,  13 9 60 30 ,  S 3 13.5 10 30 , △ ABC 9 20      1 2 9 18 30  份，所以四部【巩固】如图所示，在 ABC△ 中， CP 则 ABX△ 的面积等于 CB ， CQ  1 3  1 2 ． CA ， BQ 与 AP 相交于点 X ，若 ABC△ 的面积为 6 ， C Q P X C Q P X A B A 【考点】燕尾定理【难度】3 星【题型】填空【关键词】香港圣公会数学竞赛【解析】方法一：连接 PQ ． C Q P 1 1 4 X 4 A B B 由于 CP  1 2 CB ， CQ  CA ，所以 S  ABQ 由蝴蝶定理知， AX XP S : :  ABQ S 所以 S  ABX  S  ABP 4 5   4 1 5 2 S S  ABC  1   2.4 方法二：连接 CX 设所以 CPX      6 (1 1 4 4) 4  S △ △ ABX 1 3  S  BCQ  1 6 S  ． ABC  1 2 4 :1 ， S  BPQ  ABC 2 3 S S  ， ABC 1 2 3 6 6    ABC  2 5 S :  2.4 ．  ABC BPQ  2 5 S  份，根据燕尾定理标出其他部分面积，【答案】2.4 【巩固】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是 3 ，7 ，7 ，则阴影四边形的面积是多少？ A A 7 3 7 E 7 D 3 F 7 B D 3 E x F 3 x+ 7 7 C C B 【考点】燕尾定理【难度】3 星【题型】解答【解析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算. 再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为 ABC ， BE 和 CD 交于 F ，则 BF FE ，再连结 DE ．所以三角形 DEF 的面积为 3.设三角形 ADE 的面积为 x ， 4-3-6.燕尾定理题库 page 5 of 21

 x  : 3 3 则  : 方法二：设 ADF 飞的燕子，有 ( x AD DB x 3 7) : 7    ，根据燕尾定理，所以 15 : S  ，解得 7.5 x  ，四边形的面积为18 ． ,得到 S AEF    ABF x  四边形的面积为 7.5 7.5 3 18 10 :10  S :3 BFC EFC AFE   S S S x  x  : △ △ △ △ △ △ x  3 ，再根据向右下【答案】18 【巩固】如图，三角形 ABC 的面积是1 ，的面积各是多少? BD  2 DC ， CE  2 AE ， AD 与 BE 相交于点 F ，请写出这 4 部分 B A F E D C B A 6 8 F 1 E 2 4 D C 【考点】燕尾定理【难度】3 星【题型】解答【解析】连接 CF ，设 S △ AEF 份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以 1  6 21 , S △ ABF   2 7 , S △ BDF  8 21 , S FDCE  2 4  21  2 7 1 21 S △ AEF  【答案】 2 7 【巩固】如图，E 在 AC 上，D 在 BC 上，且 : AE EC  22 cm ，则三角形 ABC 的面积的面积等于 2 2 :3 , BD DC  ，AD 与 BE 交于点 F ．四边形 DFEC 1: 2 : ． A E B F D B C A E F D B C A E 1.6 2.4 2 C F 2 1 D 【考点】燕尾定理【难度】3 星【题型】填空 1 【解析】连接 CF ,根据燕尾定理， 2 BD DC S S ABF   △ △ ACF S S ， △ ABF  △ CBF AE EC  2 3 , 设 S △ BDF  1 份，则 S △ DCF  2 份， S △ ABF  2 份， S △ AFC  4 份， S △ AEF 4   份, S △ EFC 4   份,如图所标,所以 S EFDC   2 2.4  份, 4.4 S △ ABC     2 3 4 9 份 2.4  3 2 3  22 4.4 9    2 45 (cm ) 所以 S △ ABC  【答案】45 2  2 3  1.6 【巩固】三角形 ABC 中， C 是直角，已知 AC  ， 2 CD  ， 2 CB  ， AM BM 3 ，那么三角形 AMN (阴影部分)的面积为多少？ A M N A M N C D B C D B 【考点】燕尾定理【难度】3 星【题型】解答 4-3-6.燕尾定理题库 page 6 of 21

【解析】连接 BN ． ABN CD BD :  2 :1 ； △ △ CBN 的面积为 3 2 2 3    : ACN △ :  ABC△ 根据燕尾定理，同理设 AMN△ 面积就是 2 2 面积为 3 10 1 0.3 CAN BM AM : △ 面积为 1 份，则 MNB△   份， CBN△   ． 4   1:1  的面积也是 1 份，所以 ANB△ 的面积为 4 4 1 1 10 的面积是1 1 2   份，而 ACN△     份，所以 AMN△ 的的也是 4 份，这样 ABC△ 【答案】0.3 【例 4】如图所示，在 ABC△ A F D 中， : BE EC  ， D 是 AE 的中点，那么 :AF FC  3:1 A F D B E C B E C 【考点】燕尾定理【难度】3 星【题型】填空【解析】连接 CD ． : 1:1 S : S  ，由于根据燕尾定理， : AF FC S  ABD BED S △ △ S : S △ BCD △ BED △ ABD △ BCD 3: 4  3: 4  ，所以． S △ ABD : S △ BCD  3: 4 ，【答案】 3: 4 【巩固】在 ABC BD DC  中， : A 3: 2 ， AE EC  ，求 :OB OE  ？ : 3:1 A O D E C B O D E C B 【考点】燕尾定理【难度】3 星【题型】解答【解析】连接 OC ．因为 : BD DC  ，根据燕尾定理， 3: 2 S  AOB : S  AOC  BD BC :  ，即 3: 2 S   AOB ． 3 2 S  AOC ；又 : AE EC  ，所以 3:1 S  AOC 所以 : OB OE S  : S  AOE  AOB  ． S  AOE ．则 S  AOB  3 2 S  AOC   3 4 2 3 S  AOE  2 S  AOE ，  4 3 2 :1 【答案】 2 :1 【巩固】在 ABC BD DC  ， 2 :1 中， : A AE EC  ，求 :OB OE  ？ 1:3 : E O B D C 【考点】燕尾定理【难度】3 星【题型】解答【解析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看 4-3-6.燕尾定理题库 page 7 of 21

就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接 OC ．连接 OC ． A E O C D 2 :1 B 因为 : 又 : 所以 : BD DC  ，根据燕尾定理， AE EC  ，所以 S 1:3 OB OE S  :  AOB S  S AOC   ． 4  8:1  AOE AOE  S AOB ．则 : S S  AOC   AOB : BD BC  2 S S  ，即  8 2 4 S  2 :1 S    AOC  AOE AOB  AOE ；  AOC S 2  ，【答案】 8:1 【例 5】如图 9，三角形 BAC 的面积是 1，E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 BD:DC=1:2，AD 与 BE 交于点 F，则四边形 DEFC 的面积等于。【考点】燕尾定理【难度】3 星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第二十题，6 分【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上式比例的关系，由此我们初步可以判断这道题不应该通过面积公式求面积。又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，方法一：连接 CF ，因为 AE EC , S 所以  S S , DC  ，三角形 ABC 的面积是 1，  。  2 BD 1 S 2 1 , 2 1 2  1 3  1 3 ABF 根据燕尾定理，       ABF ABD ABC S S 1 4 ABC S S CBF  1 所以 2 所以阴影部分的面积分面积是 1    。 3 ABE  BD DC 1 4 AE EC 1 4    5 12  S 1 4 ACF ABC AFE ABF 1    S S , , ,    方法二：连接 DE ，由题目条件可得到   ABC ，。 page 8 of 21 1 1 4 1 S 3     1 1 1 2 3 2 ABD S  1 3 1 12 S  1 3 S   XXX ABC ，。所以阴影部分的面积为 5 12    S 1 2    ADC  2 1 3 2 1 2 2 3 S ABC   S  ADE  而 S CDE  【答案】 5 12 4-3-6.燕尾定理题库

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