猎狗追兔问题 教学目标 1．通过本讲学习要学生学会对行程问题中单位进行统一； 2．追及问题在分数应用题的理解与应用； 3．能够理解比例及相关知识的初步引入； 4．解题中追及问题公式、比例(或份数)等知识点的结合； 5．统一及转化思想的应用。 知识精讲 一、猎狗追兔的出题背景 猎狗追兔是奥数中行程问题的一种，它与一般的行程问题有着某种相通性。 解题关键：行程单位要统一是猎狗追兔的解题关键。 通常我们遇到的题给的都是通用单位，如米、公里等等，这类题中会涉及狗步与兔步两个不同的单位， 关键就在于将这两者统一，作行程问题最好能够脱离题海，要多注意总结，体会思想方法！很多看似无关 的题目，实质思想是相通的！ 二、猎狗追兔问题 问题叙述：兔子动作快、步子小；猎狗动作慢、步子大。通常我们遇到的行程问题给的路程都是通用单位： 米或千米等，但这类题中狗步与兔步是不一样的单位，解题关键在于统一单位，然后利用追及问题公式“路 程差÷速度差=追及时间”求解。 单位的统一：在猎狗追兔的问题中，狗步与兔步之间在距离上有一定关系。 例如：相同路程内，猎狗跑四步(狗步)＝兔子跑七步(兔步)，据此可以求出狗步与兔步的比， 相同时间内(可以认为单位时间内)兔子跑 3 步(兔步)，猎狗跑 2 步(狗步) 进而可以求出兔子与猎狗的速度，即单位时间内分别跑多少兔步(或狗步) 关键：具体是统一为狗步或兔步，要视路程差的单位而定，若路程差的单位为狗步则速度要统一为狗步， 反之统一为兔步。若路程差为米或千米，则统一成狗步或兔步都行。 例题精讲 【例 1】 猎狗前面 26 步远有一只野兔，猎狗追之. 兔跑 8 步的时间狗跑 5 步，兔跑 9 步的距离等于狗跑 4 步的距离.问：兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少步? 【难度】3 星 【考点】行程问题之猎狗追兔 【解析】方法一：“猎狗前面 26 步……”显然指的是猎狗的 26 步。因为题目中出现“兔跑 8 步的时间……” 和“兔跑 9 步的距离……”，8 与 9 的最小公倍数是 72，所以可以统一在“兔跑 72 步”这个情况下考 虑.兔跑 72 步的时间狗跑 45 步，兔跑 72 步的距离等于狗跑 32 步距离，所以在兔跑 72 步的时间 里，狗比兔多跑了 45—32=13(步)的路程，这个 13 步是猎狗的 13 步. 由此推知，要追上 26(狗) 步，兔跑了 72×(26÷13)=144(步)，此时猎狗跑了 5×(144÷8)=90(步). 【题型】解答 3-2-3.猎狗追兔问题.题库 教师版 page 1 of 5 

方法二：设狗跑一步为1个长度单位，则兔跑一步为 4 9 个长度单位；在相同时间内，狗的速度为   ，兔的速度为 4 5 1 5 9 8 32 9   ，根据题意有 26 (5   32 9 ) 18  (个单位时间)．猎狗追上兔时跑了 5 18 90   (个单位长度)，所以狗跑了 90 1 90   跑了 64   4 9 144 (步)． (步)，此时兔跑了 32 18 64   9 (个单位长度)，故兔 方法三：统一为“兔跑 72 步”的情况：兔跑 72 步的时间里狗比兔多跑了 5 9 4 8 13 这里的步是狗步．由此推知，要追上 26 狗步，兔跑了 72 (26 13) 144 5 (144 8) 90       (步)． (步)的路程， (步)，此时猎狗跑了     【答案】 90 步 【巩固】 猎犬发现在离它 9 步远的前方有一只奔跑的兔子,立刻追赶,猎犬步子大.它跑 5 步的路程,兔子跑 9 步,但兔子动作快,猎犬跑 2 步的时间,兔子跑 3 步,猎犬至少跑多少步才能追上兔子? 【考点】行程问题之猎狗追兔 【解析】狗 5 步＝兔子 9 步，步幅之比＝9：5；狗 2 步时间＝兔子 3 步时间，步频之比＝2：3；则速度之 【题型】解答 【难度】3 星 比是 9×2：5×3＝6：5；这个 9 步是指狗的 9 步距离。6×9/(6－5)＝54 步。 【答案】54 步 【例 2】 野兔逃出 80 步后猎狗才开始追，野兔跑 7 步的路程猎狗只需跑 3 步，野兔跑 9 步的时间猎狗只 能跑 5 步.问：猎狗至少跑多少步才能追上野兔? 【考点】行程问题之猎狗追兔 【解析】 “野兔跑 7 步的路程猎狗只需跑 3 步，野兔跑 9 步的时间猎狗只能跑 5 步.”讲条件转化为：“野兔 跑 35 步的路程猎狗只需跑 15 步，野兔跑 27 步的时间猎狗只能跑 15 步.”在猎狗跑 15 步的时间内， 猎狗比野兔多跑 35-27=8（兔步）. 猎狗追上野兔需跑：15×（80÷8）=150（步）. 【题型】解答 【难度】3 星 【答案】150 步 【巩固】 森林里有一对兔子兄弟赛跑，弟弟先跑 10 步，然后哥哥开始追赶，若弟弟跑 4 步的时间等于哥 哥跑 3 步的时间，哥哥跑 5 步的距离等于弟弟跑 7 步的距离，那么兔子哥哥跑__________步才 能追上弟弟。 【考点】行程问题之猎狗追兔 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】设哥哥一步跑 7，那么弟弟一步跑 5，那么哥哥跑 21 的距离，弟弟跑 20，两人路程差是 50，所 【题型】填空 【难度】3 星 以哥哥要跑 50 个 21 才能追上。就是 150 步。 【答案】150 步 【巩固】 一只野兔逃出 100 步后猎狗才开始追它，野兔跑 8 步的路程猎狗只需跑 3 步，猎狗跑 4 步的时 间兔子能跑 9 步，猎狗至少要跑 步才能追上野兔。 【考点】行程问题之猎狗追兔 【解析】240 步 【答案】240 步 【难度】3 星 【题型】解答 【巩固】 猎狗追野兔。在相等的时间里，猎狗跳 6 次，野兔跳 7 次；而猎狗跳 4 次的距离等于野兔跳 5 次的距离。当猎狗发现野兔时，野兔已跳出离猎狗 10 步远的距离。问猎狗跳出多少次以后才能 追上野兔？ 【考点】行程问题之猎狗追兔 【解析】120 次 【难度】3 星 【题型】解答 3-2-3.猎狗追兔问题.题库 教师版 page 2 of 5 

【答案】120 次 【巩固】 一只野兔逃出 80 步后猎狗才追它，野兔跑 8 步的路程猎狗只需跑 3 步，猎狗跑 4 步的时间兔子 能跑 9 步。猎狗至少要跑多少步才能追上野兔？ 【难度】3 星 【题型】解答 【考点】行程问题之猎狗追兔 【解析】猎 狗 每 步 相 当 于 8 3   （ 兔 步 ）， 猎 狗 的 速 度 比 兔 子 快 8 3 (4   8 3 9) 4   （ 兔 步 ）， 5 12 80 5 12 【答案】192 步   192 （步） 即猎狗至少要跑 192 步才能追上兔子。 【例 3】 狼和狗是死对头，见面就要相互撕咬．一天，它们同时发现了对方，它们之间的距离狼要跑 568 步．如果狼跑 9 步的时间狗跑 7 步，狼跑 5 步的距离等于狗跑 4 步的距离，那么从它们同时奔向 对方到相遇，狗跑了多少步？狼跑了多少步？ 【难度】3 星 【考点】行程问题之猎狗追兔 【解析】由题目条件知，狼跑 45 步的时间狗跑 35 步，狼跑 45 步的距离等于狗跑 36 步的距离，也就是说， 在相同的时间里，狼跑狗的 36 步，狗跑 35 步，所以，狼与狗的速度比是 36 : 35 ．相遇时，狼跑 【题型】解答 了 568  36  36 35 【答案】 224 步  288 (步)，狗跑了 288 9 7    224 (步)． 【巩固】 小明家的猫和狗是死对头，见面就要相互打架。一天，它们同时发现了对方，它们之间的距离 猫要跑 260 步.如果猫跑 9 步的时间狗跑 5 步，猫跑 5 步的距离等于狗跑 3 步的距离，那么从它 们同时奔向对方到相遇，猫跑了多少步? 【考点】行程问题之猎狗追兔 【解析】135 步 【答案】135 步 【难度】3 星 【题型】解答 【例 4】 猎狗追赶前方 15 米处的野兔.猎狗跑 3 步的时间野兔跑 5 步，猎狗跑 4 步的距离野兔要跑 7 步. 猎狗至少跑出多少米才能追上野兔? 【考点】行程问题之猎狗追兔 【解析】 “猎狗跑 3 步的时间野兔跑 5 步，猎狗跑 4 步的距离野兔要跑 7 步.”将条件转化为：“猎狗跑 12 步的时间野兔跑 20 步，猎狗跑 12 步的距离野兔要跑 21 步.”我们也就可以这样认为：在一个单位 时间内（猎狗跑 12 步的时间），猎狗跑了野兔的 21 步，野兔跑了 20 步，速度差为野兔的 1 步. 追击时间=15÷野兔的 1 步，所以猎狗追击的距离=（15÷野兔的 1 步）×野兔的 21 步=315（米）. 【题型】解答 【难度】3 星 【答案】315 米 【巩固】 猎狗追赶前方 30 米处的野兔.猎狗步子大，它跑 4 步的路程兔子要跑 7 步，但是兔子动作快， 猎狗跑 3 步的时间兔子能跑 4 步.猎狗至少跑出多远才能追上野兔？ 【考点】行程问题之猎狗追兔 【解析】猎狗跑 12 步的路程兔子要跑 21 步，猎狗跑 12 步的时间兔子要跑 16 步，在猎狗跑 12 步这个单 【题型】解答 【难度】3 星 位时间内，两者的速度差为兔子的 5 步，所以猎狗追击距离为：30÷5×21=126（米）. 【答案】126 米 【巩固】 一只猎狗正在追赶前方 20 米处的兔子，已知狗一跳前进 3 米，兔子一跳前进 2.1 米，狗跳 3 次 的时间兔子可以跳 4 次。问：兔子跑出多远将被猎狗追上？ 【考点】行程问题之猎狗追兔 【解析】在一个单位时间里，狗跑 3×3＝9（米），兔子跑 4×2.1＝8.4（米），所以兔子跑的距离为：[20÷ 【题型】解答 【难度】3 星 3-2-3.猎狗追兔问题.题库 教师版 page 3 of 5 

（9-8.4）]×8.4=280（米）. 【答案】280 米 【巩固】 猎狗发现在离它 10 米远的地方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去，猎狗的步子大，它跑 5 步 的路程，兔子要跑 9 步。但是兔子动作快，猎狗跑 2 步的时间，兔子却能跑 3 步。 【考点】行程问题之猎狗追兔 【解析】兔子 9 步=狗 5 步，兔子 3 步所用时间=狗 2 步所用时间，所以兔子的速度：狗的速度=5：6。所 以狗跑的距离=狗的速度 x 追击时间=狗的速度 x（相差距离：速度差）=6 乘以 10：（6-5）=60 米。 【题型】解答 【难度】3 星 【答案】60 米 【巩固】 猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出 40 米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑 2 步的时间兔子跑 3 步， 猎狗跑 4 步的距离与兔子跑 7 步的距离相等，求兔子再跑多远，猎狗可以追上它？ 【考点】行程问题之猎狗追兔 【解析】设狗跑 2 步的时间为 1(分钟)，兔跑 3 步的时间也为 1(分钟)；再设狗的步长为 7(米)，则兔的步长 为 4(米)，推出狗的速度是 2×7=14，兔的速度是 3×4=12。用 40÷（14－12）=20，20 为追击时间。 再用兔的速度乘上追击时间可得兔跑的路程，即 12×20=240（米）。 【题型】解答 【难度】3 星 【答案】240 米 【巩固】 猎狗发现前方 150 米处有一只兔子正在逃跑，拔腿就追。兔子逃跑的速度是每秒 14 米，猎狗追 赶的速度是每秒 18 米。在兔子前方 520 米处是一片灌木丛，如果兔子能钻进灌木丛，猎狗就捉 不到它了。猎狗究竟能不能抓住兔子呢？ 【考点】行程问题之猎狗追兔 【解析】追不上。 【答案】追不上 【难度】3 星 【题型】解答 【例 5】 已知猫跑 5 步的路程与狗跑 3 步的路程相同；猫跑 7 步的路程与兔跑 5 步的路程相同．而猫跑 3 步的时间与狗跑 5 步的时间相同；猫跑 5 步的时间与兔跑 7 步的时间相同，猫、狗、兔沿着 周长为 300 米的圆形跑道，同时同向同地出发．问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？ 【考点】行程问题之猎狗追兔 【解析】方法一：由题意，猫与狗的速度之比为 9 : 25 ，猫与兔的速度之比为 25: 49 ． 【题型】解答 【难度】5 星 狗追上猫一圈需 设单位时间内猫跑 1 米，则狗跑 25 9 675 4 625 2 兔追上猫一圈需 25 9 49 25 300 300        1   1          米，兔跑 49 25 米． 单位时间， 单位时间． 猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是 675 4 的整数倍，又是 625 2 的整数倍． 675 4 与 625 2 的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数，即    675 625 2 4 ,      675,625   4,2   16875 2  8437.5 ． 上式表明，经过 8437.5 个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇． 此时，猫跑了 8437.5 米，狗跑了 8437.5  25 9  23437.5 米，兔跑了 8437.5  49 25  16537.5 米． 方法二：根据题意，猫跑 35 步的路程与狗跑 21 步的路程、兔跑 25 步的路程相等；而猫跑 15 步 的时间与狗跑 25 步、兔跑 21 步的时间相同． 3-2-3.猎狗追兔问题.题库 教师版 page 4 of 5 

所以猫、狗、兔的速度比为 15 25 21 35 21 25 : : ，它们的最大公约数为    15 25 21 35 21 25 , ,      15,25,21  35,21,25    1 3 5 5 7    ， 即设猫的速度为 15 35  1 3 5 5 7     225 ，那么狗的速度为 25 21  1 3 5 5 7     625 ，则兔的速度为 21 25  1 3 5 5 7     441 ． 于是狗每跑 300 (625 225)    单位时追上猫； 3 4 兔每跑 300 (441 225)    单位时追上猫． 25 18 而    3 25 , 4 18       3,25 4,18    75 2 ，所以猫、狗、兔跑了 75 2 单位时，三者相遇． 猫跑了 75 225 8437.5   2 【答案】16537.5 米 米，狗跑了 75 625  2  23437.5 米，兔跑了 75 441 16537.5   2 米． 3-2-3.猎狗追兔问题.题库 教师版 page 5 of 5