5-3-4 分解质因数（一）.教师版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：1.31M 资料格式：doc 举报版权申诉

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5-3-4.分解质因数（一）教学目标 1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为表达形式唯一” 知识点拨一、质因数与分解质因数 ☆ △ △  ☆ ...   ☆ △ 的结构，而且（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有 1 的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30    .其中 2、3、5 叫做 30 的质因数.又如 2 3 5 12     2 2 3 2 2  ，2、3 都叫做 12 的质因数， 3 其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法例如： 212 2 6 3 ，（┖是短除法的符号）所以12    ； 2 2 3 二、唯一分解定理 a 1  a 2 k a   为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为 n 的质因子分解式. 任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即：  例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是 5、6 和 7.   n p a p 1 1 a 2 2 a p 3 3   p k a k 其中为质数，三、部分特殊数的分解   111 3 37 2007 3 3 223   ；1001 7 11 13     ； 2008 2 2 2 251 例题精讲  ；11111 41 271     ；10101 3 7 13 37  ；10001 73 137 .      ；1995 3 5 7 19      ；1998 2 3 3 3 37      ；模块一、分解质因数【例 1】分解质因数 20034= 【考点】分解质因数【难度】1 星【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5 年级，决赛，第 2 题，10 分【解析】原式   3 2 3   7 53 。 5-3-4.分解质因数（一）.题库教师版 page 1 of 7

【答案】 3 2 3    7 53 【例 2】三个连续自然数的乘积是 210 ，求这三个数是多少？【考点】分解质因数【难度】1 星【题型】填空【解析】 210 分解质因数： 210 【答案】 5 、 6 和 7     ，可知这三个数是 5 、 6 和 7 。 2 3 5 7 【例 3】两个连续奇数的乘积是111555 ，这两个奇数之和是多少? 【考点】分解质因数【难度】2 星【题型】填空【解析】 111555 分解质因数：111555 3 3 5 37 67  ( 3 3 37        ) ( 5 67 ) 333 335   ，所以和为 668 .本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111 3 37   。【答案】 668 【巩固】已知两个自然数的积是 35，差是 2，则这两个自然数的和是_______. 【巩固】【考点】分解质因数【难度】2 星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第 8 题【解析】35=1×35=5×7，5、7 差 2，两个自然数的和是 5+7=12 【答案】12 元【例 4】今年是 2010 年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是【考点】分解质因数【难度】3 星【题型】填空【关键词】而思杯，6 年级，1 试，第 3 题【解析】 11 12 13 1716  【答案】 2184 ，所以是 2184 ，12 13 14 2184      。【例 5】如果两个合数互质，它们的最小公倍数是 126，那么，它们的和是【考点】分解质因数【难度】2 星【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第 3 题 126 【解析】【解析】【答案】 23 2 3   7 2  ，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为 9 和14 ，它们的和为 23 ．．【例 6】 4 个一位数的乘积是 360，并且其中只有一个是合数，那么在这 4 个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？【考点】分解质因数【难度】2 星【题型】解答【解析】将 360 分解质因数得 360 是合数，所有该合数必至少为 6 3 3 个乘数分别为 3，3，5，8，所组成的最大四位数是 8533. 2 2 2 3 3 5       ，它是 6 个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个   个质因数的积，又只有 3 个 2 相乘才能是一位数，所以这 4 【答案】8533 【例 7】已知 5 个人都属牛，它们年龄的乘积是 589225，那么他们年龄的和为多少？【考点】分解质因数【难度】2 星【题型】解答【解析】基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到【解析】 589225 1 13 25 37 49  ，五个人的年龄和为 125 岁。     【答案】125 岁【例 8】如果两个自然数的和与差的积是 23 ，那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是 ___________。【考点】分解质因数【难度】2 星【题型】填空【关键词】希望杯，4 年级，初赛，4 题【解析】根据题意列式子如下：  a b b  ，所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为 23，根据和差关系算出 12  ，因为 23 分解质因数是1与 23 ，所以  a  ， 11 a b a b a b   23, 23     ， 1 5-3-4.分解质因数（一）.题库教师版 page 2 of 7

【答案】 23   的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？【例 9】 2004 7 20 【考点】分解质因数【难度】2 星【题型】解答【解析】首先分解质因数， 2004 7 20 【解析】    2 2 2 2 3 5 7 167  ，所以165 166 167 的三个连续自然数中必定有 167 本身或者其倍数. 165 3 5 1 169 13 13 167 不可行 . 尝试 334 167 2 334 335 336 符合题意，以此三数之和最小为 1005.         ，其中最大的质因数是 167，所以所要求      ，  都没有 4 个 2，不满足题意.说明       ，   中的所有质因数，所以这组  ， 335 5 67  ，包括了 2004 7 20   ，168 2 2 2 3 7          2 2 2 2 2 3 5 7 67 167  ，166 167 168  ，167 168 169 2 2 2 2 3 7    ，166    ， 336 2 83      【答案】1005 【例 10】A 是乘积为 2007 的 5 个自然数之和，B 是乘积为 2007 的 4 个自然数之和。那么 A、B 两数之差的最大值是。【考点】分解质因数【难度】3 星【题型】填空【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第 8 题，10 分【解析】2007=1×1×3×3×223=1×1×1×9×223=1×1×1×3×669=1×1×1×1×2007，所以 A 的可能值是 231 或 235 或 675 或 2011，又 2007=1×3×3×223=1×1×9×223=1×1×3×669=1×1×1×2007，所以 B 的可能值是 230 或 234 或 674 或 2010，A、B 两数之差的最大值为 2011－230=1781。【答案】1781 【例 11】（老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大 2 岁，他们四个人年龄的乘积是 48384 。问他们四个人的年龄各是几岁？【考点】分解质因数【难度】2 星【题型】填空【解析】题中告诉我们， 48384 是四个人年龄的乘积，只要我们把 48384 分解质因数，再按照每组相差 2 来   28 33 7  分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。 48384  ，由此得出这四个人的年龄分别  是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。由题意可知，这四个数是相差 2 的四个整数。它们的积是偶数，当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为 48384 的个位数字不是 0，显然这四个数中，没有 (2 7) 24 (2 32) 12 14 16 18 (22 3)          个位数字是 0 的，那么这四个数的个位数字一定是 2、4、6、8。又因为 410  48384 ，而 48384 20 ， 4 所以可以断定，这四个数一定是 12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。答：这四个人的年龄分别是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。【答案】12 岁、14 岁、16 岁、18 岁【例 12】甲数比乙数大 5 ，乙数比丙数大 5 ，三个数的乘积是 6384 ，求这三个数？【考点】分解质因数【难度】2 星【题型】解答【解析】将 6384 分解质因数， 6384 【解析】          ，则其中必有一个数是19 或19 的倍数；经试算，，所以这三个数即为14 ，19 ，24 . 19 5 14 一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里19 不符合要求，下一个该考虑 38 ，再下一个该考虑 57 ，依此类推． 2 2 2 2 3 7 19     ，恰好14 19 24 6384   ，19 5 24 2 2 2 3 2 7      【答案】14 ，19 ， 24 【例 13】四个连续自然数的乘积是 3024，这四个自然数中最大的一个是多少？【考点】分解质因数【难度】2 星【题型】填空【解析】分解质因数【解析】 3024  4 2  3 3  ，考虑其中最大的质因数 7，说明这四个自然数中必定有一个是 7 的倍 7 数.若为 7，因 3024 不含有质因数 5，那么这四个自然数可能是 6、7、8、9 或 7、8、9、10(10 仍含 5-3-4.分解质因数（一）.题库教师版 page 3 of 7

有 5，不行)，经检验 6、7、8、9 恰符合. 【答案】9 【例 14】植树节到了，某市举行大型植树活动，共有 1430 人参加植树，要把人数分成相等的若干队，且每队人数在 100 至 200 之间，则有分法（ A、3 种 B、7 种）。 C、11 种 D、13 种【考点】分解质因数【难度】3 星【题型】选择【关键词】华杯赛，五年级，初赛，第 4 题【解析】只要找到 100 到 200 之间可以整除 1430 的数即可。1430 可分解成 2，5，11，13 的乘积，所以可以按每组 110 人，130 人，143 人分组，共有 3 个方案。所以答案为 A 【答案】 A 【例 15】a、b、c、d、e 这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18， 20，50，60，100，120，300.那么，这五个数中从小大大排列第 2 个数的平方是___________。 A． 1 10 D. B. 5 C. 【考点】分解质因数【难度】5 星【题型】选择【关键词】迎春杯，中年级，复试，2 题【解析】D，解：设 a b c     。由【解析】 ab ac 3, 3 6  d e  推知 2 b ；由 c ce  120, de  推知 300 d  5 2 c  。 5 b 2 b    2 b 5 bc b b  三个数是 20,50,100, 所以 2 b  bd 2 b ，  2 ， 2 cd b   100 10 10  。 5 b   5 b  10 b 2 。在15,18,20,50,60,100 中，满足 2 :5:10 的【答案】 D 【例 16】a、b、c、d、e 这五个数各不相同，他们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3、0.6、1.5、1.8、 2、5、6、10、12、30。将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第 2 个数是_________。（A）0.3 （B）0.5 （C）1 （D）1.5 【考点】分解质因数【难度】5 星【题型】选择【关键词】迎春杯，高年级，复试，2 题【解析】 C ，设 a b c 【解析】 d     。由题意知， 5 2 2  ， e bc 2 b 2 b 5 b    b c c  d  30 12 b ；由 12 ac  ，推知 2 0.3 ab  ， 5 5 b b b  ，    ce  ， de  ，推知 2 ，在1.5,1.8,2,5,6,10 中， 0.6 2 5 b c 2 b 10 b 30 bd cd   ，满足 2 :5:10 的三个数是 2,5,10 ，所以 2 10 b  ， 2 10 b  ， 1b  。 1 【答案】1 【例 17】将 1～9 九个自然数分成三组，每组三个数.第一组三个数的乘积是 48，第二组三个数的乘积是 45，第三组三个数字之和最大是多少？【考点】分解质因数【难度】2 星【题型】解答【解析】分解质因数 45 3 3 5    ， 48 2 2 2 2 3 6 或 2，3，8 或 1，6，8(舍去)，则第三组的三个数可能是 3，7，8 或 4，6，7，其中和最大的是 3 7 8 18      ，可知 45 只能是 1，5，9 的乘积，而 48 可能是 2，4， .    【答案】18 【例 18】一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是 1998 立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米? 【考点】分解质因数【难度】3 星【题型】解答【解析】我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如 3 个数的积为 18，则三个数为 2、3、3 时和最小，为 8．1998=2×3×3×3×37，37 是质数，不能再分解，所以 2×3×3×3 对应的两个数应越接近越好．有 2×3×3×3=6×9 时，即 1998=6×9×37 时，这三个自然数最接近．它们的和为 6+9+37=52(厘米)．【答案】52 【例 19】一个长方体的长、宽、高是连续的 3 个自然数，它的体积是 39270 立方厘米，那么这个长方体的表 5-3-4.分解质因数（一）.题库教师版 page 4 of 7

面积是多少平方厘米? 【考点】分解质因数【难度】3 星【题型】解答【解析】39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，而 34×34×34 最接近 39270，39270 的约数中接近或等于 34 的有 35、34、33，有 33×34×35=39270．所以 33、34、35 为满足题意的长、宽、高．则长方体的表面积为： 2×(长×宽+宽×高+高×长)=2×(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)．方法二：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数 17，如果 17 作为长、宽或高显然不满足．当 17 与 2 结合即 34 作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数 7，与 34 接近的数 32～36 中，只有 35 含有 7，于是 7 与 5 的乘积作为长方体的一条边的长度．而 39270 的质因数中只剩下了 3 和 1l ，所以这个长方体的大小为 33×34×35 ．长方体的表面积为 2×( 39270 33 )=2×(1190+1155+1122)=2×3467=6934(平方厘米)． + 39270 35 + 39270 34 【答案】6934 【例 20】如果两数的和是 64，两数的积可以整除 4875，那么这两个数的差等于多少？【考点】分解质因数【难度】3 星【题型】解答【解析】4875=3×5×5×5×13，有 a×b 为 4875 的约数，且这两个数的和为 64．发现 39=3×13、25=5×5 这两个【解析】数的和为 64，所以 39、25 为满足题意的两个数．那么它们的差为 39-25=14。【答案】14 【例 21】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数. 求这两个整数分别是多少？        2 31 3 30 【考点】分解质因数【难度】3 星【题型】解答【解析】两位数中，数字相同的两位数有 11、22、33、44、55、66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都【解析】，共有 16 种形式，可以表示成两个整数相加的形式，例如 33 1 32 如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了.可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有 111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是 111 的倍数，而111 37 3  ，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是 37 或 37 的倍数，但只能是 37 的 2 倍(想想为什么？)3 倍就不是两位数了. 把九个三位数分解： 111 37 3 555 37 15  、 666 37 18 74 9 把两个因数相加，只有( 74 3 ) 77 和( 37 18 37 和 18.  、 333 37 9    、 888 37 24 74 12 ) 55 的两位数字相同.所以满足题意的答案是 74 和 3，  、 444 37 12 74 6  .  、 999 37 27  、 222 37 6 74 3  、 777 37 21   、   16 17                 【答案】74 和 3，37 和 18 【例 22】如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数．如年份数 1991，具有如下两个性质：①1991 是一个回文数．②1991 可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积．在 1000 年到 2000 年之间的一千年中，除了 1991 外，具有性质①和②的年份数，有哪些？【考点】分解质因数【难度】3 星【题型】解答【解析】这一千年间回文数年份共有 10 个，除去 1991 外，还有 1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661，【解析】 1771，1881．符合条件②的两位质数只能是 11，所以符合条件②的只有三个，即 11 101  1111， 11 131  1441，11 15l  1661．【答案】11 101  1111， 11 131  1441，11 15l  1661 【例 23】有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是 140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？【考点】分解质因数【难度】3 星【题型】解答 5-3-4.分解质因数（一）.题库教师版 page 5 of 7

【解析】有 140=2×2×5×7，要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么两个质因数 2 必须同时位于分【解析】子或者同时位于分母的位置上。这样由小到大的最简分数依次是． 1 2 2 5 7     1 2 2  140 5 7  ,  4 5 35 2 2 7   ,  【答案】 5 28 7 5 28 2 2 5   ,  7 20 ，倒数第三小的是 5 28 。【例 24】纯循环小数 0.abc  写成最简分数时,分子和分母的和是 58 ,则三位数【考点】分解质因数【难度】3 星【题型】填空【解析】如果直接把 0.abc  转化为分数,应该是【解析】 abc ,因此,化成最简分数后的分母应该是 999 的约数,我们 999 将 999 分解质因数得 : , 这个最简分数的分母应小于 58 , 而且大于 29 , 否则该分数就变成了假分数了,符合这个要求的 999 的约数就只有 37 了,因此,分母应当为 37,分子就是 58 37 21 27 567 ,也就是说 3 999 3 ,因此 abc    abc  37 21 0.       .   abc  _________ abc 999 abc  37 27 21 37 【答案】567 模块二、分解质因式【例 25】三个质数的乘积恰好等于它们和的 11 倍，求这三个质数. 【考点】分解质因式【难度】2 星【题型】解答 11 a b c 【解析】设这三个质数分别是 a 、 b 、 c ，满足    ( 【解析】 1c  ) 12 ，又12 1 12   ，整理得( abc 1b  )(    记为 a ，那么或 3 bc b  、 7 c  或 4 【答案】2、11、13 或 3、7、11 b c 11 b  、 5 c  )，则可知 a 、 b 、 c 中必有一个为 11，不妨 b  、 13     ，对应的 2 2 6 3 4 c  (舍去)，所以这三个质数可能是 2，11，13 或 3，7，11. 【例 26】三个质数的乘积恰好等于它们的和的 7 倍，求这三个质数．【考点】分解质因式【难度】2 星【题型】解答 7( abc 【解析】设这三个质数分别是 a 、b 、 c ，满足  【解析】 1) 8 1)(   ，又8 1 8 2 4 c 为 a ，那么 c  5，所以这三个质数可能是 3，5，7    ，整理得 ( b a b c b c bc 7  )   ，则可知 a 、 b 、 c 中必有一个为 7，不妨记     ，对应的 b  2、c  9(舍去)或 b  3、【答案】3、5、7 【例 27】如图，长方形周长为 20 ，面积为 24 。另一个长方形，面积为 20 ，周长为 24 。它的长是，宽是。【考点】分解质因式【难度】2 星【题型】填空【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 7 题，10 分【解析】周长为 24 则，长和宽的和为 24 2 12 长是10 ，宽是 2 。【答案】长是10 ，宽是 2   ，因为 20 1 20     2 10   ，因为10 2 12   ，所以它的 4 5 【例 28】在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少? 【考点】分解质因式【难度】3 星【题型】解答【解析】如下图，设长、宽、高依次为 a、b、c，有正面和上面的和为 ac+ab=209． 5-3-4.分解质因数（一）.题库教师版 page 6 of 7

ac+ab=a×(c+b)=209，而 209=11×19．当 a=11 时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数 2，则 c+b=2+17; 当 a=19 时，c+b=11，则 c+b=2+9，b 为 9 不是质数，所以不满足题意．所以它们的乘积为 11×2×17=374．【答案】374 【例 29】两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数,比如由 17，19 可得到一个四位数 1719,由 19，17 也可得到一个四位数 1917.已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除,试写出所有这样的四位数。【考点】分解质因式【难度】3 星【题型】解答【解析】设这 2 个两位质数分别是 a 和 b ，则这个四位数是100a b ，根据条件可知：【解析】 a b  2 (100 a b  ) ,即 ( a b )|( 200 2a b  k ，则 200 2a b   （ a b ），化简得( 200 k ) a  ( k k  ) b ， 2 )，设 200 2a b  a b   因此 b a ( a b ) a 、 b 都是两位不同的质数，因为11 13 200 k  2 k  198  ,其中 k 是整数， a 和 b 均为两位质数，设 200 k   bm , k   ，则两式相加得 am 2 m  ，注意到 a 和 b 都是质数即也是奇数，所以 a b 是198 的约数. 198 2 3   2 11  ，由于    a b 89 97  中的偶数，所以 a b  66 【答案】1353、5313、1947、4719、2343、4323、2937、3729 5-3-4.分解质因数（一）.题库教师版 page 7 of 7

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