5-5-5 同余问题.学生版.doc

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5-5-3.同余问题教学目标 1. 学习同余的性质 2. 利用整除性质判别余数知识点拨同余定理 1、定义：若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于 b，模 m。 2、重要性质及推论：（1）若两个数 a，b 除以同一个数 m 得到的余数相同，则 a，b 的差一定能被 m 整除例如：17 与11除以 3 的余数都是 2 ，所以 17 11（）能被 3 整除．（2）用式子表示为：如果有 a≡b ( mod m )，那么一定有 a－b＝mk,k 是整数，即 m|(a－b) 3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被 m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数 R，使得：N 与 R 对于除数 m 同余．由于 R 是一个较简单的数，所以可以通过计算 R 被 m 除的余数来求得 N 被 m 除的余数． ⑴ 整数 N 被 2 或 5 除的余数等于 N 的个位数被 2 或 5 除的余数； ⑵ 整数 N 被 4 或 25 除的余数等于 N 的末两位数被 4 或 25 除的余数； ⑶ 整数 N 被 8 或 125 除的余数等于 N 的末三位数被 8 或 125 除的余数； ⑷ 整数 N 被 3 或 9 除的余数等于其各位数字之和被 3 或 9 除的余数； ⑸ 整数 N 被 11 除的余数等于 N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被 11 除的余数；（不够减的话先适当加 11 的倍数再减）； ⑹ 整数 N 被 7，11 或 13 除的余数等于先将整数 N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被 7，11 或 13 除的余数就是原数被 7，11 或 13 除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除 39,51,147 所得的余数都是 3，求这个数. 5-5-3.同余问题.题库学生版 page 1 of 5

【例 2】某个两位数加上 3 后被 3 除余 1，加上 4 后被 4 除余 1，加上 5 后被 5 除余 1，这个两位数是______. 【例 3】有一个自然数，除 345 和 543 所得的余数相同，且商相差 33．求这个数是多少？【例 4】一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 220 后所得的余数，则这个自然数是多少？【例 5】两位自然数 ab 与 ba 除以 7 都余 1，并且 a b ，求 ab ba ．【例 6】现有糖果 254 粒,饼干 210 块和桔子 186 个.某幼儿园大班人数超过 40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子。余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：1：3：2，这个大班有_____ 名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼干_____块，桔子_____个。模块二、三个数的同余问题【例 7】有一个大于 1 的整数，除 45,59,101 所得的余数相同，求这个数. 【巩固】有一个整数，除 300、262、205 得到相同的余数。问这个整数是几? 【巩固】 5-5-3.同余问题.题库学生版 page 2 of 5

【巩固】在除 13511，13903 及 14589 时能剩下相同余数的最大整数是_________．【巩固】【巩固】140，225，293 被某大于 1 的自然数除,所得余数都相同。2002 除以这个自然数的余数是【巩固】 . 【巩固】三个数：23，51，72，各除以大于 1 的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是【巩固】。【例 8】学校新买来 118 个乒乓球，67 个乒乓球拍和 33 个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【例 9】若 2836，4582，5164，6522 四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______．【例 10】一个大于 1 的数去除 290，235，200 时，得余数分别为 a ， 2a  ， 5a  ，则这个自然数是多少？【巩固】有 3 个吉利数 888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为 a,a+7,a+10,则这【巩固】个自然数是_____. 5-5-3.同余问题.题库学生版 page 3 of 5

【例 11】一个自然数除 429、791、500 所得的余数分别是 5a  、 2a 、 a ，求这个自然数和 a 的值. 【例 12】甲、乙、丙三数分别为 603，939，393．某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 2 倍， A 除乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍．求 A 等于多少？【例 13】已知 60，154，200 被某自然数除所得的余数分别是 1a  ， 2a ， 3 1 a  ，求该自然数的值．【例 14】有一个自然数，它除以15 、17 、19 所得到的商(＞1)与余数(＞ 0 )之和都相等，这样的数最小可能是多少．【例 15】三个不同的自然数的和为 2001，它们分别除以 19,23,31 所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。模块三、运用同余进行论证【例 16】在 3×3 的方格表中已如右图填入了 9 个质数。将表中同一行或同一列的 3 个数加上相同的自然数称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中 9 个数都变为相同的数吗？为什么？ 5-5-3.同余问题.题库学生版 page 4 of 5

【例 17】一个三位数除以 17 和 19 都有余数，并且除以 17 后所得的商与余数的和等于它除以 19 后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？【例 18】从 1，2，3，……，n 中，任取 57 个数，使这 57 个数必有两个数的差为 13，则 n 的最大值为多少？【例 19】设 2 1n  是质数，证明： 21 ， 22 ，…， 2n 被 2 1n  除所得的余数各不相同． 5-5-3.同余问题.题库学生版 page 5 of 5

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