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4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型(二).学生版.doc

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4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型 例题精讲 板块一 三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式:三角形面积  底 高 2 从这个公式我们可以发现:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积. 如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小); 如果三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小); 这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是,当三角形的底和高同时发生 变化时,三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的 3 倍,底变为原来的 1 3 样.这就是说:一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化.同时 也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状. 在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论: ①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如左图 1 ,则三角形面积与原来的一 : S S : a b  2 △ S BCD S △ ; BCD △ ,则可知直线 AB 平行于CD . ③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图 ACD 反之,如果 ACD ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半; ⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 板块二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在 ABC△ 则 中, ,D E 分别是 ,AB AC 上的点如图 ⑴(或 D 在 BA 的延长线上, E 在 AC 上),  AD AE  ) : ( ( AB AC  S : S ) S △ S △ ABC △ ADE 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在 ABC△ 中, ,D E 分别是 ,AB AC 上的点,且 : AD AB  2 :5 , : AE AC  4 : 7 , S  16 平 △ ADE 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 学生版 page 1 of 6
方厘米,求 ABC△ 的面积. A D E C B A D E C B 【巩固】如图,三角形 ABC 中, AB 是 AD 的 5 倍, AC 是 AE 的 3 倍,如果三角形 ADE 的面积等于 1,那 A D E 么三角形 ABC 的面积是多少? A D E B C B C 【巩固】如图,三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分, BD DC  , 4 BE  , 3 AE  ,乙部分面 6 积是甲部分面积的几倍? A E 甲 B 乙 D C A E 甲 B 乙 D C 【例 2】 如图在 ABC△ AE EC  , 3: 2 : 中, D 在 BA 的延长线上, E 在 AC 上,且 : S 平方厘米,求 ABC△ 的面积. 12  △ ADE AB AD  5: 2 , D A E B C B A D E C 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 学生版 page 2 of 6
【例 3】 如图所示,在平行四边形 ABCD 中,E 为 AB 的中点, AF 面积为 8 平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米? D C F  2 CF ,三角形 AFE(图中阴影部分)的 A E B 【例 4】 已知 DEF△ 的面积为 7 平方厘米, D B A F E C BE CE AD  ,  2 BD CF ,  3 AF ,求 ABC△ 的面积. 【例 5】 如图 16-4,已知.AE= 1 5 AC,CD= 1 4 BC,BF= 1 6 AB,那么 三角形 的面积 的面积 三角形 DEF ABC 等于多少? 【例 6】 如图,三角形 ABC 的面积为 3 平方厘米,其中 : AB BE  , : BC CD  2 :5 3: 2 ,三角形 BDE 的面 积是多少? A B C D E A E B C D 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 学生版 page 3 of 6
【例 7】 如图所示,正方形 ABCD 边长为 6 厘米, AE  1 3 AC , CF  1 3 BC .三角形 DEF 的面积为_______ 平方厘米. A D E B F C 【例 8】 如图,已知三角形 ABC 面积为1 ,延长 AB 至 D ,使 BD AB ;延长 BC 至 E ,使 CE  2 BC ;延 长 CA 至 F ,使 F AF  3 AC ,求三角形 DEF 的面积. A C B E D F D A C B E 【例 9】 如图,把四边形 ABCD 的各边都延长 2 倍,得到一个新四边形 EFGH 如果 ABCD 的面积是 5 平方 厘米,则 EFGH 的面积是多少平方厘米? 【例 10】如图,平行四边形 ABCD ,BE AB , 3 DC 面积是 2 , 求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比. H 2 CB GD CF ,   H , HA AD 4 ,平行四边形 ABCD 的 G E B C A D F G E B C A D F 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 学生版 page 4 of 6
【例 11】 如图,四边形 EFGH 的面积是 66 平方米, EA AB ,CB BF , DC CG , HD DA ,求四边形 ABCD 的面积. H D A E C G B F H D A E C G B F 【例 12】如图,将四边形 ABCD 的四条边 AB 、 CB 、 CD 、 AD 分别延长两倍至点 E 、 F 、 G 、 H ,若四 边形 ABCD 的面积为 5,则四边形 EFGH 的面积是 E B C F A D H G E B C F A D H . G 【例 13】如图,在 ABC△ 中,延长 AB 至 D ,使 BD AB ,延长 BC 至 E ,使 CE  若 ABC△ 的面积是 2 ,则 DEF△ 的面积是多少? 1 2 BC ,F 是 AC 的中点, A F C E B D 【例 14】如图, S △ G B D  ABC A F S 1 , BC BD 5 , AC  4 EC , DG GS  E C  , AF FG .求 FGS S . SE 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 学生版 page 5 of 6
【例 15】如图所示,正方形 ABCD 边长为 8 厘米, E 是 AD 的中点, F 是 CE 的中点, G 是 BF 的中点,三 角形 ABG 的面积是多少平方厘米? A B E G F D C A B E G F D C 【例 16】四个面积为1 的正六边形如图摆放,求阴影三角形的面积. F H A E B G C D 【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是 1,则图中虚线围成的五边形 ABCDE 的面积是 . A E D B C 【例 17】仅用下图这把刻度尺,最少测量 次,就能得出三角形 ABC 和三角形 BCD 的面积比。 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 学生版 page 6 of 6
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