4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型
例题精讲
板块一 三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式:三角形面积 底 高 2
从这个公式我们可以发现:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积.
如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小);
如果三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小);
这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是,当三角形的底和高同时发生
变化时,三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的 3 倍,底变为原来的 1
3
样.这就是说:一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化.同时
也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状.
在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论:
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;
两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
如左图 1
,则三角形面积与原来的一
:
S S
:
a b
2
△
S
BCD
S
△ ;
BCD
△ ,则可知直线 AB 平行于CD .
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图 ACD
反之,如果 ACD
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
板块二 鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在 ABC△
则
中, ,D E 分别是 ,AB AC 上的点如图 ⑴(或 D 在 BA 的延长线上, E 在 AC 上),
AD AE
) : (
(
AB AC
S
:
S
)
S
△
S
△
ABC
△
ADE
图⑴
图⑵
【例 1】 如图在 ABC△
中, ,D E 分别是 ,AB AC 上的点,且 :
AD AB
2 :5
, :
AE AC
4 : 7
,
S
16
平
△
ADE
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