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2-3-3 列不定方程解应用题.教师版.doc
列不定方程解应用题
教学目标
1、 熟练掌握不定方程的解题技巧
2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程
3、 学会解不定方程的经典例题
知识精讲
一、知识点说明
历史概述
不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元 3 世纪就开始研究不定方程，因此常称
不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，
公元 5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的
大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．
考点说明
在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方
法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重
要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具
解题。
二、运用不定方程解应用题步骤
1、根据题目叙述找到等量关系列出方程
2、根据解不定方程方法解方程
3、找到符合条件的解
模块一、不定方程与数论
【例 1】 把 2001 拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13 的倍数（要尽量大），求这
两个数．
【考点】列不定方程解应用题
【解析】这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为11x 和13y ，则有：11
x
【题型】解答
【难度】3 星
13
y
2001
，要让 x
取最小值， y 取最大值．
2001 11
x
13
13 153 12 13
x
2
x
153
x
x
12 2
13
，可见
12 2
x
13
是整数，
可把式子变形为：
y
满足这一条件的 x 最小为 7，且当 7
则拆成的两个数分别是 7 11 77
x 时， 148
和148 13 1924
13
y ．
．
【答案】则拆成的两个数分别是 77 和1924 ．
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【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18 的倍数，乙搬的砖数是 23 的倍数，两人共搬了 300 块砖．问：
甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？
【考点】列不定方程解应用题
【解析】设甲搬的是18x 块，乙搬的是 23y 块．那么18
【难度】3 星
x
【题型】解答
23
y
．观察发现18x 和 300 都是 6 的倍数，所
300
以 y 也是 6 的倍数．由于 300 23 13
y 时18
y 时18
所以甲搬了162 块，乙搬了138 块，甲比乙搬得多，多 24 块．
y
x ，得到 9
x ；
x ，此时 x 不是整数，矛盾．
162
24
，所以 y 只能为 6 或 12．
6
12
【答案】甲比乙搬得多，多 24 块
【巩固】 现有足够多的 5 角和 8 角的邮票，用来付 4.7 元的邮资，问 8 角的邮票需要多少张？
【考点】列不定方程解应用题
【解析】设 5 角和 8 角的邮票分别有 x 张和 y 张，那么就有等量关系： 5
【题型】解答
47
【难度】3 星
．
8
y
x
尝试 y 的取值，当 y 取 4 时，x 能取得整数 3 ，当 y 再增大，取大于等于 6 的数时，x 没有自然数解．所
以 8 角的邮票需要 4 张．
【答案】 8 角的邮票需要 4 张
【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16 倍，则满足条件的所有自然数之和为
【题型】解答
，矛盾，四位以上的自然数也不可能。
___________________.
【难度】3 星
【考点】列不定方程解应用题
【关键词】北大附中，资优博雅杯
【解析】若是四位数 abcd ，则
16
16 36<1000
a b c d
≤
若是两位数 ab ，则
16
a b
a b
ab
16
10
100
，化简得 28
a
b c
a
b .
1a 时， 9
所以 1a 或 2
所以所有自然数之和为192 144 288 624
【答案】所有满足条件的自然数之和为 624
5
c
c ，或 4
b ， 2
a b c
10
，也不可能，故只有三位数 abc .
7 9 63
.由于 2
2
5
c
b
b
a 时， 8b ， 8c .
c ； 2
b ， 4
，
.
模块二、不定方程与应用题
【例 3】 有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8 千克油，小的能装 5 千克油，44 千克油恰好装满这些油
桶．问：大、小油桶各几个？
【考点】列不定方程解应用题
【解析】设有大油桶 x 个，小油桶 y 个．由题意得：
【难度】3 星
【题型】解答
8
x
44
5
y
44
x 、、、、、．由于 x 、 y 必须为整数，所以相应的将 x 的所有可能值代入方程，
x ，所以 0 1 2 3 4 5
x 时， 4
可知 8
可得 3
y 这一组整数解．
所以大油桶有 3 个，小油桶有 4 个．
小结：这道题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被 5 整除的数的特点，便可轻松求解.
【答案】大油桶有 3 个，小油桶有 4 个
【例 4】 在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命
中多少次．“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以 5 ，让冬冬把自己命中的次数乘以 4 ，再把两个
得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是 31 ，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数．你
知道丁丁和冬冬各命中几次吗？
【考点】列不定方程解应用题
【解析】设丁丁和冬冬分别命中了 x 次和 y 次，则：5
【难度】3 星
x
4
y
【题型】解答
．可见 x 除以 4 的余数为 3，而且 x 不能超过
31
6，所以 3
x ， 4
y ．即丁丁命中了 3 次，冬冬命中了 4 次．
【答案】丁丁命中了 3 次，冬冬命中了 4 次
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【巩固】 某人打靶，8 发共打了 53 环，全部命中在10 环、 7 环和 5 环上．问：他命中10 环、 7 环和 5 环各几
发？
【考点】列不定方程解应用题
【解析】假设命中 10 环 x 发，7 环 y 发，5 环 z 发，则
y 、9……如果 y 为 9，则 7
3，所以 4
以他命中10 环1发， 7 环 4 发， 5 环 3 发．
【答案】命中10 环1发， 7 环 4 发， 5 环 3 发
【难度】3 星
x
10
63 53
y
x
y
z
y
7
【题型】解答
8
5
z
(1)
(2)
53
由⑵可知 7y 除以 5 的余数为
，所以 y 只能为 4，代入原方程组可解得 1x ， 3
z ．所
【例 5】 某次聚餐，每一位男宾付130 元，每一位女宾付100 元，每带一个孩子付 60 元，现在有 1
3
的成人各
带一个孩子，总共收了 2160 元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？
【考点】列不定方程解应用题
【难度】3 星
【题型】解答
【解析】设 参 加 的 男 宾 有 x 人 ， 女 宾 有 y 人 ， 则 由 题 意 得 方 程 ：
130
x
100
y
60
2160
， 即
150
x
120
y
2160
，化简得 5
x
4
y
．这个方程有四组解：
72
x
y
4
13
，
12
3
和
x
y
0
18
，
但是由于有 1
3
的成人带着孩子，所以 x
y 能被 3 整除，检验可知只有后两组满足．
所以，这个活动共有
12 3
1
3
12 3
人或
20
18
1
3
18 24
人参加．
【答案】这个活动共有 20 人或 24 人参加
【巩固】 单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有 1
3
的职工各带一个孩子参加．男职工
每人种13 棵树，女职工每人种10 棵树，每个孩子都种 6 棵树，他们一共种了 216 棵树，那么其中有
多少名男职工？
x
1
3
8
x
8
y
，
y
x
y
【考点】列不定方程解应用题
【解析】因为有 1
3
则职工总人数是
5
4
y
x
y ， 4
当 13
【答案】其中有 12 名男职工
【难度】3 星
【题型】解答
的职工各带一个孩子参加，则职工总人数是 3 的倍数．设男职工有 x 人，女职工有 y 人．
x
y 人，孩子是
人．得到方程：
13
x
3 6
216
，化简得：
．因为男职工与女职工的人数都是整数，所以当 3
72
x ；当 8
y 时， 8x ；
x ．其中只有 3 12 15
是 3 的倍数，符合题意，所以其中有 12 名男职工．
y
x
y
10
y 时， 12
x
y
3
【例 6】 张师傅每天能缝制 3 件上衣，或者 9 件裙裤，李师傅每天能缝制 2 件上衣，或者 7 件裙裤，两人 20
天共缝制上衣和裙裤134 件，那么其中上衣是多少件？
【考点】列不定方程解应用题
【解析】如果 20 天都缝制上衣，共可缝制
【难度】3 星
3 2
20 100
把上衣换成裙裤，张师傅每天可多换 9 3 6
34
x 天，李师傅缝制裙裤 y 天，则： 6
因此共缝制裙裤 9 4 7 2
x
50 件，上衣共134 50 84
件．
【题型】解答
件，实际上比这多缝制了134 100 34
件，这就要
件，李师傅每天可多换 7 2 5
件，设张师傅缝制裙裤
5
y ．
y
，整数解只有 4
x ， 2
【答案】上衣共 84 件
【巩固】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗
叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声
统计了15 天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这15 天内它们共叫了 61声．问：波斯猫至少叫
了多少声？
【考点】列不定方程解应用题
【解析】早晨见面小花狗和波斯猫共叫 3 声，晚上见面共叫 5 声．设在这 15 天内早晨见面 x 次，晚上见面 y
【题型】解答
【难度】3 星
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x
次．根据题意有： 3
可以凑出，当 2
因为小花狗共叫了
2 x
当 12
x ， 5
5
y
61
x 时， 11
(
x ≤ ， 15
y ≤ )．
15
x 时， 8
y ；当 7
y 声，那么
x
y 时波斯猫叫得最少，共叫了1 12 3 5 27
(声)．
y ；当 12
x 时， 5
y ．
y 越大，小花狗就叫得越多，从而波斯猫叫得越少，所以
【答案】叫了 27 声
【例 7】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个 A 配件与一个 B 配件组成．甲每天生产 300 个 A 配件，
或生产 150 个 B 配件；乙每天生产 120 个 A 配件，或生产 48 个 B 配件．为了在 10 天内生产出更
多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？
【考点】列不定方程解应用题
【解析】假设甲、乙分别有 x 天和 y 天在生产 A 配件，则他们生产 B 配件所用的时间分别为 (10
【题型】解答
【难度】3 星
)x 天和
(10
150 (10
)y 天，那么 10 天内共生产了 A 配件 (300
y
) 1980 150
) 48 (10
x
48
y
x
120 )
y
个，共生产了 B 配件
x
个．要将它们配成套， A 配件与 B 配件的数量应相等，
即 300
x
120
y
1980 150
x
48
y
，得到 75
x
28
y
此时生产的产品的套数为
300
x
120
y
300
x
y
，则 330 28
330
75
1320 8
，要使生产的产品最多，就
120
．
y
y
y
330 28
75
要使得 y 最大，而 y 最大为 10，所以最多能生产出1320 8 10 1400
套产品．
【答案】最多能生产出1400 套产品
【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣 16 件或裤子 20 件；乙车间每天能生产上
衣 18 件或裤子 24 件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作 21 天，最多能生产多少套衣服？
【考点】列不定方程解应用题
【解析】假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为 x 天和 y 天，则他们用于生产裤子的天数分别为
【题型】解答
【难度】3 星
)x 天和 (21
)y 天，那么总共生产了上衣 (16
18 )
(21
y
x
24
生产了裤子 20 (21
y
x
件．
根 据 题 意 ， 裤 子 和 上 衣 的 件 数 相 等 ， 所 以 16
18
x
154 7
y
6
．那么共生产了
) 24 (21
x
) 924 20
154 7
6
18
16
18
16
x
y
y
y
x
y
y
件，
2
3
x
2
3
410
套衣服．
y
924 20
24
y
， 即 6
x
7
y
154
， 即
要使生产的衣服最多，就要使得 y 最小，则 x 应最大，而 x 最大为 21，此时 4
y ．故最多可以生产
出
410
套衣服．
408
4
2
3
2
3
【答案】最多可以生产出 408 套衣服
【例 8】 有一项工程，甲单独做需要 36 天完成，乙单独做需要 30 天完成，丙单独做需要 48 天完成，现在由
甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这
项工程也用了整数天，那么丙休息了
天．
【难度】3 星
【考点】列不定方程解应用题
【解析】设完成这项工程用了 a 天，其间丙休息了 b 天．
， 59
720
根据题意可知： 1
36
1
48
1
30
1
48
1
b
a
【题型】解答
a
1
48
b
，化简得 59
1
a
15
b
．
720
由上式，因为15b 与 720 都是15 的倍数，所以 59a 必须是15 的倍数，所以 a 是15 的倍数，在 a
条件下，只有 15
b 一组解，即丙休息了11天．
a ， 11
【答案】丙休息了11天
b 的
【例 9】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共 306
人恰好坐满了 5 辆大巴车和 3 辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在 20 人到 25 人之间，求每辆
大巴车的载客人数．
【考点】列不定方程解应用题
【解析】设每辆大巴车和中巴车的载客人数分别为 x 人和 y 人，那么有：5
．由于知道中巴车的载
客人数，也就是知道了 y 的取值范围，所以应该从 y 入手．显然 3y 被 5 除所得的余数与 306 被 5 除
【题型】解答
3
y
306
x
【难度】3 星
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所得的余数相等，从个位数上来考虑， 3y 的个位数字只能为 1 或 6，那么当 y 的个位数是 2 或 7 时
成立．由于 y 的值在 20 与 25 之间，所以满足条件的 22
x ，所以大巴车的载客
人数为 48 人．
y ，继而求得 48
【答案】大巴车的载客人数为 48 人
【巩固】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共 306
人恰好坐满了 7 辆大巴车和 2 辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在 20 人到 25 人之间，求每辆
大巴车的载客人数．
【解析】设大巴车和中巴车的载客人数分别为 x 人和 y 人，那么有： 7
x
2
y
．
306
考虑等式两边除以 7 的余数，由于 306 被 7 除余 5 ，所以 2y 被 7 除余 5 ，符合条件的 y 有： 6 、13 、
20 、 27 ，所以 20
x ，所以大巴车的载客人数为 38 人．
y ，继而求得 38
【答案】大巴车的载客人数为 38 人
【巩固】 每辆大汽车能容纳 54 人，每辆小汽车能容纳 36 人．现有 378 人，要使每个人都上车且每辆车都装
满，需要大、小汽车各几辆？
【难度】3 星
【考点】列不定方程解应用题
【解析】设需要大、小汽车分别为 x 辆、 y 辆，则有： 54
2
y
可以看出 y 是 3 的倍数，又不超过 10，所以 y 可以为 0、3、6 或 9，将 0
【题型】解答
，可化为 3
x
y 、3、6、9 分别代入可
．
378
36
21
x
y
知有四组解：
x
y
1
9
；或
x
y
3
6
；或
x
y
5
3
；或
x
y
7
0
即需大汽车 1 辆，小汽车 9 辆；或大汽车 3 辆，小汽车 6 辆；或大汽车 5 辆，小汽车 3 辆；或大汽
车 7 辆．
【答案】大汽车 1 辆，小汽车 9 辆；或大汽车 3 辆，小汽车 6 辆；或大汽车 5 辆，小汽车 3 辆；或大汽车 7
辆
【巩固】 小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡
兔共 24 条腿．”那么小峰养了多少兔和鸡？
【考点】列不定方程解应用题
【解析】这是一道鸡兔同笼问题，但由于已知鸡兔腿的总数，而不是鸡兔腿数的差，所以用不定方程求解．
【题型】解答
【难度】3 星
设小峰养了 x 只兔子和 y 只鸡，由题意得：
4
即： 2
x
y ， 12 2
x
2
x
y
12
y
24
这是一个不定方程，其可能整数解如下表所示：
3
6
1
10
0
12
2
8
x
y
4
4
5
2
6
0
由题意 x
y ，且 x ， y 均不为 0 ，所以 5
x ， 2
y ，也就是兔有 5 只，鸡有 2 只．
【答案】兔有 5 只，鸡有 2 只
【例 10】一个家具店在 1998 年总共卖了 213 张床．起初他们每个月卖出 25 张床，之后每个月卖出 16 张床，
最后他们每个月卖出 20 张床．问：他们共有多少个月是卖出 25 张床？
【题型】解答
【考点】列不定方程解应用题
【关键词】香港保良局亚洲区城市小学数学邀请赛
【解析】设卖出 25、16、20 张床的月份分别为 x 、 y 、 z 个月，则：
【难度】3 星
y
x
25
(1)
(2)
12
z
20
16
z
x
y
21
由⑴得 12
，代入⑵得 9
y
x
．
显然这个方程的正整数解只有 1x ， 3
z ．
所以只有 1 个月是卖出 25 张床的．
213
z
4
z
x
【答案】只有 1 个月是卖出 25 张床的
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【例 11】 五年级一班共有 36 人，每人参加一个兴趣小组，共有 A 、 B 、C 、 D 、 E 五个小组．若参加 A 组
的有15 人，参加 B 组的人数仅次于 A 组，参加 C 组、 D 组的人数相同，参加 E 组的人数最少，只
有 4 人．那么，参加 B 组的有_______人．
【考点】列不定方程解应用题
【关键词】希望杯，二试
【解析】设参加 B 组的有 x 人，参加 C 组、 D 组的有 y 人，则
【难度】3 星
【题型】解答
x
y ，
4
x
由题知15
由于 4
所以只有 7
y ，若 5
【答案】参加 B 组的有 7 人
，整理得 2
y
4 36
x
2
y
y ，得 7
；
17
x ，满足题意；若 6
y ，则 5
x ，与 x
y 矛盾；
x ， 5
y 符合条件，故参加 B 组的有 7 人．
【例 12】将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组．已知甲乙丙的平均年龄分为 37 ， 23 ， 41 .甲
乙两组人合起来的平均年龄为 29 ；乙丙两组人合起来的平均年龄为 33 ．则这一群人的平均年龄
为
.
【题型】解答
【难度】3 星
【考点】列不定方程解应用题
【关键词】我爱数学夏令营
【解析】设甲乙丙三组分别有 x
z， ， 人，依提议有：
y
z
3: 4
29
x
33
y
4 :5
由⑴化简可得 :
x y ，由⑵化简可得 :
因此，这一群人的平均年龄为 37 3 23 4 41 5
23
y
41
z
37
23
x
y
⑵
⑴
y
【答案】 34
y z ，所以 :
3 4 5
34
．
x y z
:
3: 4 :5
；
【例 13】 14 个大、中、小号钢珠共重100 克，大号钢珠每个重12 克，中号钢珠每个重 8 克，小号钢珠每个重
5 克．问：大、中、小号钢珠各有多少个？
【考点】列不定方程解应用题
【难度】3 星
【解析】设大、中、小号钢珠分别有 x 个， y 个和 z 个，则：
【题型】解答
y
x
14
5
z
100
z
y
8
(1)
(2)
x
12
(2)
(1) 5
，得
30
．可见 7x 是 3 的倍数，又是 7 的倍数，且小于 30，所以只能为 21，故 3
7
x
z ．所以大、中、小号钢珠分别有 3 个、3 个和 8 个．
3
y
8
x ，代入得 3
y ，
【答案】大、中、小号钢珠分别有 3 个、3 个和 8 个
【巩固】 袋子里有三种球，分别标有数字 2 ， 3 和 5 ，小明从中摸出 12 个球，它们的数字之和是 43 ．问：
小明最多摸出几个标有数字 2 的球？
【考点】列不定方程解应用题
【解析】设小明摸出标有数字 2 ， 3 和 5 的球分别为 x ， y ， z 个，于是有
【难度】3 星
【题型】解答
x
2
12
(1)
z
y
43
5
3
(2)
x
z
y
由 5 (1)
17
2
，得 3
(2)
y
，
由于 x ， y 都是正整数，因此在⑶中， y 取1时． x 取最大值 5 ，
所以小明最多摸出 5 个标有数字 2 的球．
(3)
x
【答案】最多摸出 5 个标有数字 2 的球
【例 14】公鸡 1 只值钱 5，母鸡一只值钱 3，小鸡三只值钱 1，今有钱 100，买鸡 100 只，问公鸡、母鸡、小
鸡各买几只？
【考点】列不定方程解应用题
【难度】3 星
【题型】解答
3-3-3.列不定方程解应用题.题库
教师版
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【解析】设买公鸡、母鸡、小鸡各 x 、 y 、 z 只，根据题意，得方程组
x
5
z
y
100
1
3
3
y
z
x
①
100
②
由② 3 ①，
得14
x
8
y
，即： 200 14
200
y
x
25
8
7
4
，因为 x 、 y 为正整数，所以不难得出 x 应为 4 的倍
x
数，故 x 只能为 4 、8 、12 ，从而相应 y 的值分别为18 、11、4 ，相应 z 的值分别为 78 、81 、84 ．所
以，方程组的特殊解为
x
y
z
只或 8 只、11只、 81 只或12 只、 4 只、 84 只．
x
y
z
x
y
z
8
11
81
4
18
78
，
，
12
4
84
，所以公鸡、母鸡、小鸡应分别买 4 只、18 只、78
【答案】公鸡、母鸡、小鸡应分别买 4 只、18 只、 78 只或 8 只、11只、 81 只或12 只、 4 只、 84 只
【巩固】 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得 9 分，套中小猴得 5 分，套中小狗得 2 分．小明共套了10 次，每
次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10 次共得 61分．问：小明至多套中小鸡几次？
【考点】列不定方程解应用题
【解析】设 套 中 小 鸡 x 次 ， 套 中 小 猴 y 次 ， 则 套 中 小 狗 ( 10 x
【题型】解答
【难度】3 星
y
) 次 ． 根 据 得 61 分 可 列 方 程 ：
1y 代 入 得
9
7
2 (10
x
x ，无整数解；若 2
61
，化简后得 7
y ， 7
y
x ，解得 5
．显然 y 越小， x 越大． 将
x ，所以小明至多套中小鸡 5 次．
5
y
38
41 3
35
x
y
x
)
【答案】小明至多套中小鸡 5 次
【例 15】开学前，宁宁拿着妈妈给的 30 元钱去买笔，文具店里的圆珠笔每支 4 元，铅笔每支 3 元．宁宁买完
两种笔后把钱花完．请问：她一共买了几支笔？
【考点】列不定方程解应用题
【解析】 (法一)由于题中圆珠笔与铅笔的数量都不知道，但总费用已知，所以可以根据不定方程分析两种笔
，
的数量，进而得解．设她买了 x 支圆珠笔，y 支铅笔，由题意列方程：4
，所以 3
【题型】解答
30 4
3
y
30
x
y
x
【难度】3 星
因为 x
4
x
3
y ，当 6
x
9
y
10
y、 均为整数，所以 x 应该能被 3 整除，又因为1
7x ，所以 3
x 或 6 ，当 3
x 时，
6
x 时， 2
y ，
(法二)换个角考虑：将“一支圆珠笔和一支铅笔”看成一对，分析宁宁可能买了几对笔，不妨设为 m 对，
元，由题意可知，
y ，宁宁共买了 9 支笔或 8 支笔．
余下的一定是圆珠笔与铅笔中的唯一一种．一对笔的售价为“ 4 3 7
1
，又 m 为整数
y ，
4m
8
x
（1） 当 1m 时，余款为 30 7
（2） 当 2m 时，余款为 30 2 7 16
，不能被 3 或 4 整除，这种情况不可能；
，能被 4 整除，也就是说配对后，余下 4 支圆珠笔．此时，
23
宁宁买了 6 支圆珠笔， 2 支铅笔，共 8 支笔．
（3） 当 3m 时，余款为 30 3 7 9
，能被 3 整除，也就是说配对后，余下 3 支圆珠笔．此时，
宁宁买了 3 支圆珠笔， 6 支铅笔，共 9 支笔．
（4） 当 4m 时，余款为 30 4 7
2
知，宁宁共买了 9 支笔或 8 支笔．
，不能被 3 或 4 整除，这种情况不可能，由上面的分析可
【答案】宁宁共买了 9 支笔或 8 支笔
【巩固】 小华和小强各用 6 角 4 分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是 5 分一支和 7 分一支的两种，而
且小华买来的铅笔比小强多．小华比小强多买来铅笔多少支．
【考点】列不定方程解应用题
【关键词】迎春杯，预赛
【解析】设买 5 分一支的铅笔 m 支， 7 分一支的铅笔 n 支．则： 5
m
n ，1， 2 ，3 ， 4 ，5 ， 6 ， 7 ，8 代入检验，只有 2
3 ．即小华买铅笔10 2 12
支，小强买铅笔 7 3 10
【难度】3 星
0
【答案】小华比小强多买 2 支
【题型】解答
7
， 64 7 n
是 5 的倍数．用
n ， 7 满足这一要求，得出相应的 10m ，
64
n
支，小华比小强多买 2 支．
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【例 16】蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛，一共有100 名男、女选手参加初赛，经过初赛、复赛，最后确
定了参加决赛的人选．已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的 20% ；参加决赛的
女选手的人数，占初赛的女选手人数的12.5% ，而且比参加初赛的男选手的人数多．参加决赛的男、
女选手各有多少人？
【难度】3 星
【题型】解答
【考点】列不定方程解应用题
【解析】由于参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的 20% ；参加决赛的女选手的人数，占初赛时
女选手人数的12.5% ，所以参加初赛的男选手人数应是 5 的倍数，参加初赛的女选手的人数应是 8 的
倍数．
设参加初赛的男生为 5x 人，参加初赛的女生为 8y 人．
根据题意可列方程： 5
x
4
x
10
y
x
y
100
．
12
5
8
y
解得
，或
．
又因为参加决赛的女选手的人数，比参加决赛的男选手的人数多，也就是 y 要比 x 大，所以第一组
解不合适，只有 4
故参加决赛的男选手为 4 人，女选手为10 人．
x ， 10
y 满足．
【答案】男选手为 4 人，女选手为10 人
【巩固】 今有桃 95 个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有 2
9
是坏的，其他是好的．甲、乙两班分到的好桃共有几个？
是坏的，其他是好的；乙班分到的桃有 3
16
【考点】列不定方程解应用题
【解析】甲班分到的桃是 9 的倍数，乙班分到的桃是16 的倍数，假设甲班分到桃 9x 个，乙班分到桃16y 个．于
(个)．所
(个)，乙班分到桃16 2 32
y ，即甲班分到桃 9 7
x ， 2
【题型】解答
是：9
63
16
x
y
【难度】3 星
以，两班共分到好桃
95
，解得 7
2
9
63 (1
) 32 (1
3
16
)
75
(个)．
【答案】两班共分到好桃 75 个
【例 17】甲、乙两人各有一袋糖，每袋糖都不到 20 粒．如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的 2 倍；
如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的 3 倍．甲、乙两人共有多少粒糖？
【题型】解答
【考点】列不定方程解应用题
【解析】设甲、乙原有糖分别为 x 粒、 y 粒，甲给乙的数量为 z 粒，则依题意有：
【难度】3 星
，且
20
20
．整理得
x
y
)
z
)
z
，代入⑵得 7
3
2(
x
z
y
3(
x
z
y
由⑴得 2
y
x
因 20
若 2
因而 1z ，对应方程组有唯一解 17
y ，故 1z 或 2
z ，则 14
z ．
x
y ， 2 14 3 2 34
z
z
2
3
0
3
y
z
0
4
y
z
y ，即 7
z ．
y
x
x
0
(1)
(2)
20
，不合题意．
y ， 1z ．则甲、乙共有糖17 7
x ， 7
粒．
24
【答案】甲、乙共有糖 24 粒
【巩固】 有两小堆砖头，如果从第一堆中取出100 块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一倍．如果
相反，从第二堆中取出若干块放到第一堆中去，那么第一堆将是第二堆的 6 倍．问：第一堆中的砖
头最少有多少块？
【考点】列不定方程解应用题
【解析】设第一堆砖有 x 块，则根据第一个条件可得第二堆砖有
【难度】3 星
2
【题型】解答
300
块．
x
y
2
再设从第二堆中取出 y 块放在第一堆后，第一堆将是第二堆的 6 倍，可列方程：
6
x
那么
．
因 为 x 是 整 数 ， 7 与 11 互 质 ， 所 以
，化简得 7
y
7
y
11
1800 11
x
300
11 163
，
1800
7
7
y
x
x
y
1y 应 是 11 的 倍 数 ， y 最 小 是 10 ， 推 知 x 最 小 是
3-3-3.列不定方程解应用题.题库
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