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7-9-1 概率.教师版.doc
7-9-1.概率
教学目标
“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸
贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．
1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．
2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．
3.理解和运用概率性质进行概率的运算．
知识要点
一、概率的古典定义
如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；
⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．
这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件 A ，它的概率定义为：
P A
所有可能出现的基本结果的总数目， m 表示事件 A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于
古典概率．其中的 m 和 n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．
m
， n 表示该试验中
n
二、对立事件
对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件
如果事件 A 和 B 为对立事件（互斥事件），那么 A 或 B 中之一发生的概率等于事件 A 发生的概率与事件 B
发生的概率之和，为 1，即：
P A
P B
1
．
三、相互独立事件
事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．
如果事件 A 和 B 为独立事件，那么 A 和 B 都发生的概率等于事件 A 发生的概率与事件 B 发生的概率之
积，即：
P A B
P A P B
．
例题精讲
模块一、概率的意义
【例 1】 气象台预报“本市明天降雨概率是 80%”．对此信息，下列说法中正确的是________．
①本市明天将有 80%的地区降水． ②本市明天将有 80%的时间降水．
③明天肯定下雨．
④明天降水的可能性比较大．
【考点】概率的意义 【难度】1 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，决赛
【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定
下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．
【答案】④
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【例 2】 约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连
续两次掷得的结果相同，则记 1 分，否则记 0 分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有 1 次硬币的
正面向上，则记 1 分，否则记 0 分．谁先记满 10 分谁就赢．
赢的可能性较大（请填汤
姆或约翰）．
【考点】概率的意义 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 7 题
【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。约翰
扔的话，两种情况记 1 分，两种情况记 0 分；汤姆扔的话三种情况记 1 分，一种情况记 0 分。所以
汤姆赢得的可能性大。
【答案】汤姆
【例 3】 在某个池塘中随机捕捞100 条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞
200 尾，发现其中有 25 条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么
请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？
【考点】概率的意义 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】 200 尾鱼中有 25 条鱼被标记过，没所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为 25 200 0.125
【解析】
，
所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是 0.125 ，池塘中鱼的数量约为100 0.125 800
尾．
【答案】 800
【例 4】 一个小方木块的六个面上分别写有数字 2 、 3 、 5 、 6 、 7 、 9 ，小光、小亮两人随意往桌面上扔
放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1 分．当小亮扔时，如果朝上的
一面写的是奇数，得1分．每人扔100 次，______得分高的可能性比较大．
【考点】概率的意义 【难度】2 星 【题型】填空
【解析】因为 2 、 3 、 5 、 6 、 7 、 9 中奇数有 4 个，偶数只有 2 个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较
【解析】
大，即小亮得分高的可能性较大．
【答案】小亮得分高的可能性较大
【例 5】 一个骰子六个面上的数字分别为 0 ，1 ， 2 ，3 ，4 ，5 ，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依
次求和，当总点数超过12 时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿.
【考点】概率的意义 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】掷的总点数在 8 至12 之间时，再掷一次，总点数才有可能超过12 （至多是17 ）．当总点数是 8 时，
【解析】
再掷一次，总点数是13 的可能性比总点数超过13 的可能性大．当总点数在 9 至12 之间时，再掷一次，
总点数是13 的可能性不比总点数是14 ，15 ，16 ，17 的可能性小．
例如，总点数是11时，再掷一次，出现 0 5 的可能性相同，所以总点数是11 16 的可能性相同，即
总数是13 的可能性不比总数点数分别是14 ，15 ，16 的可能性小，综上所述，总点数是13 的可能性
最大．
【答案】总点数是13 的可能性最大．
【例 6】 从小红家门口的车站到学校，有1 路、9 路两种公共汽车可乘，它们都是每隔10 分中开来一辆．小
红到车站后，只要看见1路或 9 路，马上就上车，据有人观察发现：总有1 路车过去以后 3 分钟就来
9 路车，而 9 路车过去以后 7 分钟才来1 路车．小红乘坐______路车的可能性较大．
【考点】概率的意义 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】首先某一时刻开来1路车，从此时起，分析乘坐汽车如下表所示：
【解析】
6
1
5
1
4
9
3
9
2
9
分钟 1
11
车号 1
1
显然由上表可知每10 分钟乘坐1路车的几率均为 7
10
车的可能性较大．
10
1
8
1
9
1
7
1
15
1
14
9
13
9
17
12
9
1
，乘坐 9 路车的几率均为 3
10
16
1
18
1
19
1
，因此小红乘坐1 路
【答案】1 路车的可能性较大
模块二、计数求概率
【例 7】如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落到底部的从左至右的概率依次是_______．
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【考点】计数求概率 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】每到一个岔口，球落入两边的机会是均等的，因此，故从左至右落到底部的概率依次为 1
【解析】
16
、1
4
、3
8
、
1
4
、 1
16
．
【答案】左至右落到底部的概率依次为 1
16
、 1
4
、 3
8
、 1
4
、 1
16
．
【例 8】 一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由 2 、3 、5 、7 、9
五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五
个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是______．
【考点】计数求概率 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】警察在调查过程中，在电脑上输入第一个数字可能是 2 、3 、5 、7 、9 中的任何一个，有 5 种可能，
【解析】
种可能，则
第二位数字有 4 种可能，……，第五位数字有1种可能，所以一共有 5 4 3 2 1 120
输入正确车牌号的可能性是 1
120
1
120
．
【答案】
【例 9】分别先后掷 2 次骰子，点数之和为 6 的概率为多少?点数之积为 6 的概率为多少?
【考点】计数求概率 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有 6 6 36
【解析】
．
3,3
2,4
将点数为 6 的情况全部枚举出来有：
1,5
4,2
5,1
点数之积为 6 的情况为：
1,6 2,3 3,2 6,1
两个数相加和为 6 的有 5 组，一共是 36 组，所以点数之和为 6 的概率是 5
36
；
点数之积为 6 的概率为
【答案】（1） 5
36
，（2） 1
9
4
36
．
1
9
【例 10】甲、乙两个学生各从 0 9 这10 个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：⑴这两个数字的
差不超过 2 的概率，⑵两个数字的差不超过 6 的概率．
【考点】计数求概率 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】⑴两个数相同（差为 0）的情况有10 种，
【解析】
种，
两个数差为1有 2 9 18
两个数的差为 2 的情况有 2 8 16
所以两个数的差不超过 2 的概率有
种，
10 10
10 18 16
4
⑵两个数的差为 7 的情况有 2 3 种．
两个数的差为 8 的情况有 2 2
种．
两个数的差为 9 的情况有 2 种．
所以两个数字的差超过 6 的概率有 6 4 2
10 10
22
3
25
25
两个数字的差不超过 6 的概率有
1
3
25
.
.
11
25
．
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【答案】（1） 11
25
，（2） 22
25
【例 11】工厂质量检测部门对某一批次的10 件产品进行抽样检测，如果这10 件产品中有两件产品是次品，
那么质检人员随机抽取 2 件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是
次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？
【考点】计数求概率 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】从10 件产品中选择 2 件一共有 2
C 种情况.
【解析】
10
45
所以这两件产品恰好都是次品的概率为 1
45
种情况，所以两件产品中有一件次品的概率为 16
16
45
两件产品中有一件次品的情况有 1
2
1
C C
8
．
.
两件产品中都不是次品的概率有 2
C 种情况，所以两件产品都不是次品的概率为
8
28
【答案】（1） 1
45
，（2） 16
45
，（3） 28
45
28
45
.
【例 12】一个班有女生 25 人,男生 27 人,任意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几?
【考点】计数求概率 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】从 25 名女生中任意抽出两个人有 25 24
300
【解析】
52 51 1326
从全体学生中任意抽出两个人有
种不同的方法．计算概率：
种不同的方法．
2
300
1326
50
221
．
2
【答案】 50
221
【例 13】从 6 名学生中选 4 人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？
【考点】计数求概率 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】法一：从 6 名学生中选 4 人的不同组合有 6 5 4 3
【解析】
4 3 2 1
种．
15
2
3
种．
．
3 2 1
其中， 4 人中包括甲的不同组合相当于在 5 名学生中选 3 人所以一共有 5 4 3 10
所以甲被选择上的概率为 10
15
法二：显然这 6 个人入选的概率是均等的．
即每个人作为一号选手入选的概率为 1
6
作为四号入选的概率为 1
6
互斥事件，所以他被入选的概率为 1
6
，作为三号入选的概率为 1
6
，对于单个人“甲”来说，他以头号、二号、三号、四号入选的情况是
，作为二号入选的概率为 1
6
．
1
6
1
6
1
6
2
3
，
【答案】 2
3
【例 14】一块电子手表，显示时与分，使用12 小时计时制，例如中午12 点和半夜12 点都显示为12 : 00 ．如
果在一天（24 小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是______．
【考点】计数求概率 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6 年级，1 试，第 8 题
【解析】一天当中，手表上显示的时刻一共有12 60 720
【解析】
种．
其中冒号之前不出现1的情况有 2、3、4、5、6、7、8、9 八种，
冒号之后不出现1的情况有
6 1
所以不出现1的情况有 45 8 360
10 1
种．
种，
45
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所以至少看到一个数字“1”的情况有 720 360 360
所以至少看到一个数字“1”的概率为 360
720
种．
1
2
种，
【答案】 1
2
【例 15】从立方体的八个顶点中选 3 个顶点，你能算出：
⑴它们能构成多少个三角形？
⑵这些三角形中有多少个直角三角形？
⑶随机取三个顶点，这三个点构成直角三角形的可能性有多少？
【考点】计数求概率 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】从 8 个顶点中任取 3 个顶点都能构成三角形，所以应该有
【解析】
8 7 6
3 2 1
个．
56
如果三角形的三个顶点中任两个都不在正方体的一条棱上，则该三角形不是直角三角形，共有 8 个
不是直角三角形．
所以直角三角形共有 56 8 48
构成直角三角形的可能性有 48
56
个．
．
6
7
【答案】（1） 56 ，（2） 48 ，（3） 6
7
【例 16】一个标准的五角星（如图）由10 个点连接而成，从这10 个点随机选取 3 个点，则这三个点在同一
条直线上的概率为多少，这三个点能构成三角形的概率为多少？如果选取 4 个点，则这四个点恰好
构成平行四边形的概率为多少？
【考点】计数求概率 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】 10 个点中任意取 3 个的情况为 10 9 8
120
【解析】
3 2 1
种，
其中涉及到 5 条直线，每条直线上各有 4 个点，其中任意 3 点都共线，所以取这 3 点不能够成三
,所以 3 点构成三角形的概率为 1
6
1
．
5
6
3
4
5
C
120
角形，这样的概率是
1
6
10 个点中取 4 个点的情形为 4
C
10
成平行四边形的概率为 10
1
21
210
，（3） 1
21
，（2） 5
6
．
【答案】（1） 1
6
10 9 8 7
4 3 2 1
210
种，10 个点中平行四边形有10 个，所以构
【例 17】如图 9 个点分布成边长为 2 厘米的方阵（相邻点与点之间的距离为1 厘米），在这 9 个点中任取
3 个点，则这三个点构成三角形的概率为多少？这三个点构成面积为 1
2
率为多少？构成面积为1 平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积为 3
2
多少？构成面积为 2 平方厘米的三角形的概率为多少？
平方厘米的三角形的概
平方厘米的概率为
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【考点】计数求概率 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】从 9 个点中任取 3 个点一共有 3
84
C
【解析】
9
9 8 7
3 2 1
三个点共线一共有 3 3 2 8
种情况．
所以三个点能够成三角形的概率为 8
84
1
种情况．
．
19
21
种情况．
1
2
的三角形一共有 4 4 4 4 32
平方厘米的三角形的概率为 32
84
9 个点中能构成面积为
8
所以三个点能够成面积为 1
21
2
9 个点中能够成面积为1平方厘米的三角形的情况有 4 6 8 32
所以三个点能够成面积为1平方厘米的三角形的概率为 32
．
84
9 个点中能够成面积为 3
2
平方厘米的三角形的情况有 4 种情况．
8
21
．
3
2
所以三个点能够成面积为
平方厘米的三角形的概率为
1
21
9 个点中能够成面积为 2 平方厘米的三角形的情况有 8 种情况．
2
所以三个点能够成面积为 2 平方厘米的三角形的概率为 8
84
21
4
84
．
．
种情况．
【答案】（1）
，（2）
，（3）
，（4）
，（6）
19
21
8
21
8
21
1
21
2
21
【例 18】甲、乙、丙、丁四人互相传球，由甲开始第一次传球，每个人接到球后，都随机从其他人中
选择一个人将球传出，那么第四次传球恰好传回甲手里的概率是多少？
【考点】计数求概率 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】对每一个接到球的人来说，下一次传球的方向有 3 种可能，
【解析】
所以四次传球的总路线有 43
而恰好传回到甲的情况，以第一步为 甲 乙 为例有如下 7 种情况：
81 种可能，每一种之间都是互斥的等概率事件.
甲 乙
乙 甲
丁 甲
甲 丙 甲
丙
丁
乙 甲
丁 甲
乙 甲
丙 甲
所以第 4 次传回甲的概率为
【答案】 7
27
3 7
81
．
7
27
模块三、对立事件与相互独立事件
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【例 19】一张圆桌旁有四个座位， A 、 B 、C 、 D 四人随机坐到四个座位上，求 A 与 B 不相邻而坐的概率．
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】四人入座的不同情况有 4 3 2 1 24
【解析】
种．
A 、B 相邻的不同情况，首先固定 A 的座位，有 4 种，安排 B 的座位有 2 种，安排 C 、D 的座位有 2
种，一共有 4 2 2 16
，那么 A 、 B 不相邻而座的概
种，所以 A 、 B 相邻而座的概率为
16 24
2
3
2
3
．
1
3
率为
1
【答案】 1
3
【例 20】某小学六年级有 6 个班，每个班各有 40 名学生，现要在六年级的 6 个班中随机抽取 2 个班，参加电
视台的现场娱乐活动，活动中有1 次抽奖活动，将抽取 4 名幸运观众，那么六年级学生小宝成为幸
运观众的概率为多少？
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】小宝所在班级被抽中参加娱乐活动的概率为
【解析】
幸运观众的概率为 4
40 2
【答案】 1
60
1
20
1
C
5
2
C
6
5
15
，如果小宝参加了娱乐活动，那么小宝成为
1
3
，所以小宝成为幸运观众的概率为 1
1
3 20
1
60
.
【例 21】从装有 3 个白球，2 个黑球的口袋中任意摸出两球，全是白球的概率．
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】法一：5 个球任意取出两个有 2
C
【解析】
5
10
种情况，互相之间都是互斥事件，且出现概率均等，而
两个球都是白球有 2
C
3
3 2
2 1
3
5 4
2 1
种情况，全是白球的概率为 3
10
．
法二：将摸出两个球视作两次行为，摸出第一个球是白球的概率为
3
5
，再摸出一个白球的概率为
，所以两次摸出两个白球的概率为 3 1
2
5
3
10
．（建议讲完独立事件再讲这一方法）
1
2
3 1
5 1
【答案】 3
10
【例 22】 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只
有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代表，
那么这六人被抽中的概率分别为多少？
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】 A 抽中的概率为 1
【解析】
6
，没抽到的概率为 5
6
，如果 A 没抽中，那么 B 有 1
5
的概率抽中，如果 A 抽中，那
5 1
5
6
1
6
么 B 抽中的概率为 0 ，所以 B 抽中的概率为
， D 抽中的概率为 5
4
同理， C 抽中的概率为 5
5
6
6
， F 抽中的概率为 5
4
2
E 抽中的概率为 5
3
5
3
4
6
6
由此可见六人抽中的概率相等，与抽签的先后顺序无关.
1
4
1
2
1
6
1
6
.
，
4
5
4
5
3 1
3
4
3
2
3
4
11
6
.
1
6
1
2
【答案】六个人抽中的概率相同为 1
6
【巩固】如果例题中每个人抽完都放回，任意一个人如果抽中，则后边的人不再抽取，那么每个人抽中的概
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率为多少？
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】抽中的概率依次为： 1
【解析】
6
、 5
1
6
6
、 5
1
6
6
、 5
1
6
6
在这种情况下先抽者，抽中的概率大．
1
、 5
6
6
在这种情况下先抽者，抽中的概率大．
1
、 5
6
6
【答案】抽中的概率依次为： 1
6
1
、 5
6
6
、 5
6
、 5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
、 5
1
6
6
1
6
1
6
1
6
1
、 5
6
6
1
6
1
6
1
6
，
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
，
【例 23】在某次的考试中，甲、乙、丙三人优秀（互不影响）的概率为 0.5，0.4，0.2，考试结束后，最容易
出现几个人优秀？
，（或 0.5 0.4 0.04 0.16
0.16
，
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】注意他们的优秀率是互不影响的．
【解析】
三人都优秀的概率是 0.5 0.4 0.2 0.04
，
1 0.2
0.5 0.4
只有甲乙两人优秀的概率为
0.5
1 0.4
1 0.5
0.5
1 0.4
0.24
1 0.2
0.4
0.16
1 0.5
1 0.2
0.2 0.06
1 0.4
1 0.5
0.2 0.06
只有甲丙二人优秀的概率
只有乙丙二人优秀的概率
0.4 0.2 0.04
所以有两人优秀的概率为 0.16 0.06 0.04 0.26
甲一人优秀的概率
，
乙一人优秀的概率
丙一人优秀的概率
，
所以只有一人优秀的概率为 0.24 0.16 0.06 0.46
全都不优秀的概率为
0.24
最容易出现只有一人优秀的情况．
1 0.5 1 0.4 1 0.2
，
，
，
，
）．
【答案】1个人优秀
【巩固】在某次的考试中，甲、乙两人优秀（互不影响）的概率为 0.5，0.4，考试结束后，只有乙优秀的概
率为多少？
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】只有乙优秀的概率为
【解析】
【答案】 0.2
1 0.5
．
0.2
0.4
【例 24】某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为 40% ，如果该射手在百步之外连射三箭，三箭全部
射中靶心的概率为多少？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少?
第二箭射中，其他两箭射空的概率为
0.4
⑵第一箭射中，其他两箭射空的概率为
0.4
0.4
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】⑴全部射中靶心的概率为 0.4 0.4 0.4 0.064
．
【解析】
1 0.4
1 0.4
1 0.4
第三箭射中，其他两箭射空的概率为
有一箭射中的概率为 0.144 0.144 0.144 0.432
⑶第一箭射空，其他两箭射中的概率为
1 0.4
第二箭射空，其他两箭射中的概率为
1 0.4
第三箭射空，其他两箭射中的概率为
1 0.4
有两箭射空的概率为 0.96 0.96 0.96 0.288
【答案】（1） 0.064 ，（2） 0.432 ，（3） 0.288
1 0.4
1 0.4
1 0.4
0.4 0.4 0.096
0.4 0.4 0.096
0.4 0.4 0.096
.
.
．
．
．
0.144
0.144
0.144
．
．
．
【例 25】设每门高射炮击中敌机的概率为 0.6 ,今欲以 99% 的把握击中敌机,则至少应配备几门高射炮同时射
击？
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3 星 【题型】解答
7-9-1.概率.题库
教师版
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