1-3-4 比较与估算.教师版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：2.72M 资料格式：doc 举报版权申诉

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比较与估算教学目标本讲是在分数计算方面技巧的基础上，进一步认识小数、分数，只是从比较大小方面认识它们，这一讲主要介绍一些比较较为复杂的小数、分数大小的方法，主要有通分子、通分母、倒数法、放缩法等。知识点拨一、小数的大小比较常用方法为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式) 二、分数的大小比较常用方法 ⑴通分母：分子小的分数小. ⑵通分子：分母小的分数大. ⑶比倒数：倒数大的分数小. ⑷与 1 相减比较法：分别与 1 相减，差大的分数小．(适用于真分数) ⑸重要结论： ①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大； ②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大． ⑹放缩法在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！三、数的估算时常用方法（1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小．使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果．（2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式．例题精讲模块一、两个数的大小比较【例 1】如果 a  2005 2006 【考点】两个数的大小比较【关键词】希望杯，五年级，一试【解析】方法一：<与 1 相减比较法> 【解析】，b  2006 2007 ，那么 a，b 中较大的数是【难度】2 星【题型】填空  1 2006 ；1  2006 1  2005 2006 2007 方法二：<比倒数法>因为 1 2005 方法三：两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，分子和分母都大的分数比较大，所以 b 大．因为 1 2006 ，所以 2006  2005 2007 ，进而 2005 2006 ，所以 b 较大；  2006 2007 ，即 a b ； 2007 2006 1 2007 1 1    2006 1-3-4.比较与估算.题库教师版 page 1 of 20

【答案】 b 【巩固】试比较 1995 【巩固】 1998 和 1946 1949 【考点】两个数的大小比较的大小 1995 【解析】【解析】 1998 【答案】 1995 1998 > 1946 1949 > 1946 1949 【巩固】比较 444443 【巩固】 444445 和 555554 555556 的大小【考点】两个数的大小比较【解析】因为 444443 【解析】 444445 1   2 444445 越大差越小的道理，有： 444443 555554 555556 444445  【答案】 444443 444445  555554 555556 【难度】2 星【题型】填空【难度】2 星 2 ， 555554 555556 1   555556 ，显然 2 【题型】填空 2  444445 555556 ，根据被减数一定，减数，B  444444443 888888887 【例 2】如果 A  111111110 222222221 【考点】两个数的大小比较【关键词】迎春杯，决赛【解析】方法一：观察可以发现 A、B 都很接近 1 【解析】 2 1 1 【难度】3 星 2 222222221  2 888888887  , 1 2  B   A  1 2 B  A . ,A 与 B 中哪个数较大？【题型】填空，且比它小．我们不防与 1 2 比较． , 1 2  B  1 2  A，即 B 比 A 更接近 1 2 ，换句话说  方法二： 111111110 A 222222221 方法三： 1 2 A 111111110 1   111111110 4  222222221 4  ， 1 1 B 2   444444440 888888884 显然 1  444444443 888888887 1 A B  ，则 A B 444444443  B ，即 A B . 【答案】 B 【巩固】如果 222221 【巩固】 222223 A  , B  333331 333334 【考点】两个数的大小比较【关键词】祖冲之杯 222221 222223 【解析】【解析】 666663 666669 A   【答案】 A 【巩固】试比较 111 【巩固】 1111 和 1111 11111 的大小，那么 A 和 B 中较大的数是 . 【难度】2 星【题型】填空  666662 666668  333331 333334  ，即 A 大 B 【考点】两个数的大小比较【解析】方法一：观察可知，这两个分数的分母都比分子的 10 倍多 1．对于这样的分数，可以利用它们的【解析】【题型】填空【难度】3 星倒数比较大小． 111 1111 我们很容易看出 10 的倒数是 1  1 111  10 1 1111  111 10 1111 ，所以 111 1111 1 111  ， 1111 11111 1111 11111 ；的倒数是１  1111 11111 10 1 1111 ， 1-3-4.比较与估算.题库教师版 page 2 of 20

 111 10 1111 1111 10 方法二： 111 1110 11110 都大的分数比较大，所以 1110  11110    【答案】 111 1111 . 1111 11111  ，两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母 1111 , 11111 1111 . 1111 11111 即 111  【例 3】在 a=20032003×2002 和 b=20022003×2003 中，较大的数是______ ，比较小的数大______ 。【考点】两个数的大小比较【关键词】希望杯，4 年级，1 试【解析】b-a=20022003×2003-20032003×2002=20020000×2003+2003×2003-20030000×2002-2003×2002=200 【难度】3 星【题型】填空 3×(2003-2002)=2003 所以 a 比 b 大 2003 【答案】a 比 b 大 2003  ，b= 1 1 4 5 【例 4】设 a= 1 3 【考点】两个数的大小比较【解析】可采用放缩法。因为 1 【解析】 3 1 6 1 7   , 则在 a 与 b 中，较大的数是______。【难度】3 星， 1 ＞ 1 6 4 + 1 7 + 1 6 【题型】填空  ＞ 1 1 4 5 。所以 1 3 1 6 ＞ 1 5 = 1 6 1 7   ，即 a 是较大的数。当然这道题目我们也可采用通分求结果的一般方法。【答案】a  1 【例 5】比较 2 8 1 10 【考点】两个数的大小比较【解析】如果直接放缩：【解析】 1 2 9  2   1 64 2 的大小．与 1 8 【难度】3 星【题型】填空 1 8 9   1  9 10    1  63 64 【答案】 1 8 较大【巩固】 1 【巩固】 3 5 7 2 4 6 8      99 100 与 1 10 相比，哪个更大，为什么？ 1-3-4.比较与估算.题库教师版 page 3 of 20 2         1 9 1 7 8  1 64 1 2 64 1  63 1 2 8      1 1 2 9 10 1 1 8 8 1   ， 64 但是 1 1   ，所以不能确定 2 8 8 1 64 1 7 1 7 1 7    1 10 同样如果如下进行放缩： 1 2 8 1   ，也不能确定． 8 1 2 9 1 65 1 64     2 2   1 2 9   1 但是如果保留 2 8 1 1   2 2 10 8 1 1  64 8 可见两者中 1 8 1 64 1 8  ，较大．  1 2 9  1 10 2   1 64 2 与 1 8 的大小关系， 1 8 9   1   9 10 10 11 1     1  64 65 1 ，将 2 9   1 64 2 2  1 10 1  2 8   1 8 9   1 2 64 1  9 10 进行放缩，则有：    1  63 64

【考点】两个数的大小比较 3 5 7 【解析】记 1 【解析】 2 4 6 8 a      【难度】3 星【题型】填空，显然有： a b      2 4 6 8 3 5 7 9  100 101 ， 1 1 101 100  ，有 2 1 100 ，所以原分式比 1 10 小 .  99 100 a  而【答案】 1 10 ab  更大【例 6】试比较: 2 2 2 2      2 296 个【考点】两个数的大小比较与 3 3 3 3      3 185 个哪一个大? 【解析】296=37×8，185=37×5，因为【解析】【答案】 2 2 2 2      2 296 个个【难度】3 星  8 2 2 2 2 2      3 3 3 3       5 3 个  【题型】填空 256 243  1 所以 2 2 2 2      2 296 个＞ 3 3 3 3      3 185 个【例 7】图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形，它们的面积已在图中标出(单位：厘米 2 )．黑色的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面积大?请说明理由． 1993 2 1992 2 【考点】两个数的大小比较【关键词】华杯赛，口试【解析】此题利用到平方差公式： 2 a 【解析】 1996 2 1997 2 【难度】3 星【题型】填空  2 b  ( a b  )  ( a b  ) 1997 2  1996 2  (1997  1996) (1997  1996)  1997  1996  3993 1993 2  1992 2  1993  1992  3985 所以 1997 2  1996 2  1993 2  1992 2 即 1997 2  1992 2  1996 2  1993 2 ，两个白色正方形的面积大．【答案】两个白色正方形的面积大【例 8】在 1 1 1 , , 2 3 4 1, ,  , 1 1 99 100 , 中选出若干个数使它们的和大于 3，最少要选多少个数? 【考点】两个数的大小比较【解析】为了使选出的数最少，那么必须尽可能选择较大的数．【解析】【难度】3 星【题型】填空依次减小，所以我们选择时应从左至右的选择． , , , 1 1, 有 1 1 1 , , 2 3 4 1 1 1 有 1          9 10 3 2 1 1 1 而 1 1 9 10 11 3 2 所以最少选择 11 个即可使它们的和大于 3. 1 1 99 100 1 6 1 6           1 4 1 4 1 5 1 5 1 7 1 7 1 8 1 8 1   2.925  3.015 【答案】11 个【例 9】已知： 2 5 8 A     3 6 9  998 999 ，那么 A 与 0.1 中比较大，说明原因； 1-3-4.比较与估算.题库教师版 page 4 of 20

【考点】两个数的大小比较  【解析】 3 n 3 n   3 2 n 1 3 n    1  3 1 n    2 3 n 【难度】4 星   2 3 1 n    2 3 n 1  2   1 【题型】填空 997 998 999 998 999 1000    1 1000 3 A     2 5 8 3 6 9      3 998 999        1 2 3 2 3 4   A  1 10 ,即 A 比 0.1 大【答案】 A 比较大模块二、多个数的大小比较    ，1.121， 1.12 【例 10】⑴比较以下小数，找到最大的数：1.121 ， 3   ⑵比较以下 5 个数，排列大小：1 ， 0.42 7 1.667 ，  ，1.12121 ，1.12 5 ，　. 3 【考点】多个数的大小比较【解析】⑴题目中存在循环小数，将所有小数位数补至相同的位数，如下所示：【解析】【题型】填空【难度】3 星   → 1.12112112l 1.121 1.121 → 1.121000000   →1.121212121 1.12 1.12121→1.121210000 1.12 →1.120000000   于是可以得出结果，1.12 得足够的信息，然后按照小数比较原则判断，不处理而一味的观察是没有意义的． ⑵题目中出现了整数、小数、假分数，可以先把数分为两个部分，一部分为小于 1 的数，一部分为大于等于 1 的数，然后两部分内部比较，无须两部分间重复比较．是最大的数．对于循环小数的问题，首先考虑的就是将其展开，从中获   ①小于 l 的部分为 0.42 和 3 7 ，将小数展开，并把 3 7  化为小数得：0.428571   ，显然 0.428571     0.42 ，即 3 7    0.42 ； ②大于等于 1 的部分中，有整数、小数、假分数：1，1.667， 5 3 ，先将假分数化为带分数 21 3 ，比较三数整数部分，发现都为 1 ，然后比较其他部分： 21 3  1.666666…<1.667，所以得到 1<   <1.667．即得： 0.42 21 3  3 7   ⑵ 0.42  1   3 7 21 3  1.667 .  1  21 3  1.667 .   【答案】⑴1.12 【巩固】在 1 【巩固】 3 ， 2 7 ， 3 11 中，最小的数是______。【考点】多个数的大小比较【关键词】希望杯，五年级，一试【解析】 1 3 【答案】 3 11    21 77 22 77 2 7 2 6  3  所以最小的是 3 11 11 【难度】2 星【题型】填空 1-3-4.比较与估算.题库教师版 page 5 of 20

四个小数中，第二小的数是____ 【难度】2 星【题型】填空  ，可以看出，其中第二小的数为 13 3 。中最大的一个是。【难度】3 星【题型】填空【巩固】在 17 【巩固】 5 、 3.04 、 13 3 【考点】多个数的大小比较【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】由于 17 5  ， 13 3.4 3  3.333333 【答案】 13 3 【巩固】分数 3 4 17 101 151 【巩固】 7 9 35 203 301 , , , , 【考点】多个数的大小比较【关键词】走美杯，初赛，六年级【解析】 151 301 【答案】 151 301 【巩固】有 8 个数， 0.51 ， 2 【巩固】 3 , 5 9 , 0.51 , 24 13, 47 25 是 0.51 ，那么按从大到小排列时，第 4 个数是哪一个数? 是其中 6 个，如果按从小到大的顺序排列时，第 4 个数【解析】【解析】 2 =0.6  , 3 24 47 【考点】多个数的大小比较 24 5 =0.5  , 9 47 13 5 2  <051<0.51< < < 25 9 3 24 47 < < □ □ 所以有  第 4 个数是 0.51 ．【答案】 0.51 【难度】3 星 13 =0.52 25 ,  0.5106 【题型】填空  ，显然有 0.5106<0.51<0.51<0.52<0.5<0.6     ，即，8 个数从小到大排列第 4 个是 0.51 ，  <0.51<0.51<  13 5 2 25 9 3 < < ．(“□”表示未知的那 2 个数).所以，这 8 个数从大到小排列【巩固】在 19981998 【巩固】 19991999 　， 19991999 20002000 ， 20002000 20012001 中，最小的分数是__________. 【难度】3 星【题型】填空【考点】多个数的大小比较【关键词】数学爱好者夏令营 1998 【解析】因为 19981998 【解析】 19991999 1999  　，19991999 20002000  1999 2000 ，20002000 20012001  2000 2001 根据重要结论——对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；而且： 1998 1999 ，所以，最小的是 19981998 19991999 1999 2000 2000 2001 ．   【答案】 19981998 19991999 【例 11】（1）把下列各数按照从小到大的顺序排列： 3 7 ， 9 16 （2）(幼苗杯数学邀请赛)把下列分数用“  ”号连接起来： 10 17 　， 5 13 【考点】多个数的大小比较【解析】⑴我们可以用通分子的方法，可得：【解析】 45 80 5 9  ，　 13 9  9 5  ，　 16 5  3 15  7 15  45 105 45 117    【难度】3 星，　 15 3  28 3   45 84 ，， 15 28 ， 12 19 【题型】填空， 15 23 ， 20 33 ， 60 91 1-3-4.比较与估算.题库教师版 page 6 of 20

3 7 9 16 15 28 ＜＜＜．分母大的反而小，所以 5 13 ⑵这五个分数的分母都不相同，要通分变成同分母的分数比较麻烦．再看分子，60 正好是 10、 12、15、20、60 五个数的公倍数．利用分数的基本性质，可以将题中的各分数化为分子都是 60 的分数．我们称之为“通分子比大小”的方法． 60 10 60 = ， 17 102 91 也就是 10 17 3 7 15 60 20  ， 23 92 33  60  15 23 91 12 60 19 95  20 33 15 28 = ，  12 19 9 16 . ⑵ 10 17  ；可见  60 91  60 91  20 33  15 23  60 95  60 92  60 99  12 19 ＜＜＜ 60 102  ， 60 91 60 99 ；【答案】⑴ 5 13 、 0.523  、 0.523 、 0.52 从小到大排列，第三个数是________. 【巩固】将 131 【巩固】 250 、 21 40 【考点】多个数的大小比较【关键词】华杯赛，六年级，决赛【解析】 131 250 0.524 0.525   ， 21 40    0.52 0.523 0.523    所以：【答案】 0.523  【难度】3 星【题型】填空  131 250  21 40 ，第三小的数是 0.523  【巩固】这里有五个分数： 2 5 15 10 12 , 【巩固】 3 8 23 17 19 , , , , 如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数? 【难度】3 星【题型】填空【考点】多个数的大小比较【解析】 12 【解析】 19 【答案】 12 19 【巩固】将下列乘式结果按从小到大排序： 661 669 【巩固】【难度】3 星【考点】多个数的大小比较【解析】看式子前两位相同，于是我们想到可不可以变成“前面部分一样  一个简单算式”的形式．【解析】  ， 664 666  ， 663 667  ， 662 668  ， 665 665 【题型】填空  ．  ）（   660 1  ，我们的目标是把十位和百位的 6 提取出来，转化算式： 660 660 1 660 9 660 1 9 660 看 661 669 661 669  （可以看到，这 5 个乘式的前两项结果是一样的，即我们只要比较1 9 ，2 8 ，3 7 ，4 6 ，5 5 的大小，就可以得出： 661 669  ＜ 663 667  ＜ 663 667  ＜ 665 665  ＜ 662 668  ＜ 664 666  ＜ 664 666   ＜ 665 665  ＜ 662 668 660 1 9   1 9    （）  ． 660 9         ）   2 【答案】 661 669 【巩固】编号为 1、2、3 的三只蚂蚁分别举起重量为 115 【巩固】 127 ， 302 333 ， 439 488 克的重物．问：金、银、铜牌应分别发给几号蚂蚁? 【考点】多个数的大小比较【关键词】华杯赛，初赛【解析】 115 【解析】 127 12 127 1   1   302 333 1   31 333 1   1 127 12 1 333 31 【难度】3 星【题型】填空 1   1 10.5 ,  1   1 10.7 ,  1-3-4.比较与估算.题库教师版 page 7 of 20

、 1 2680 【题型】填空 ,显然有 1 1 1 2680 657 53 9 < < < 1 、 1 9 ,被减数相同, ，在上式的方框内填入一个整数，使两端的不等号成立，那么要填的整数是多少? 【考点】多个数的大小比较【解析】将不等式中的三个数同时除以 80，不等号的方向不改变，有 3 【解析】 310 【题型】填空 1 7 720口【难度】3 星 < < ，而 3 310 、 7 720 的倒数分别为 310 3 将其小数点后保留 2 位数字)，其中的整数只有 103，所以□内所填的整数为 103．，而□应该在 310 3 、 720 7 720 7 之间，即在 103.33～102.86 之间(在计算循环小数时，  【答案】103 【巩固】⑴比 2 【巩固】 7 大比 1 3 小的分数有无数多个，则分子为 27 的分数是_________.(写出一个即可) 439 488 1   49 488 1   1 9.9  1   1 488 49 439 . 488  所以， 302 333 115 127   115  127 439 . 488 【答案】 302 333 【巩固】请把 656 52 2679 8 , 【巩固】 657 53 2680 9 , , 这 4 个数从大到小排列。【考点】多个数的大小比较【解析】将 1 与这四个分数依次做差，得 1 【解析】 657 2679 656 52 8 > > 2680 657 53 9 【难度】3 星、 1 53 . 差小的数反而大,所以 > 【答案】 2679 656 52 8 > 2680 657 53 9 > > 【例 12】 24 80 7 < 9口 31 < x  ，所以 24 84 14 42 x  ， 28 84 、、等也满足题意． ⑵右面方框里填什么自然数时，不等式成立? 【难度】3 星【考点】多个数的大小比较【解析】⑴设比 2 【解析】 7 x  ，那么大比 1 3 27 84 1 不妨取 3 ⑵分子 5  4  9，可以把 1 看成 4 4 27 84 2 7  小的分数为 x ，则： 2 7 x  ，即 6 21  ，满足题意．再比如 1 3 ，利用加成分数原理得□  13. 5 9  9   １【题型】填空 x  ， 12 42 27 27 27 85 86 83 7 21 ⑵13 小的分数有无穷多个，请写出三个：。【难度】3 星【题型】填空【答案】⑴ 27 84 【巩固】比 2 【巩固】 3 大，比 3 4 【考点】多个数的大小比较【关键词】希望杯，五年级，一试【解析】 81 120 ，【答案】 81 120 ， 83 120 ， 83 120 ， 89 120 89 120 1-3-4.比较与估算.题库教师版 page 8 of 20

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