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数学思维训练导引（六年级）.doc
关
第 1 讲 分数数列计算
内容概述
建立抵消的思想，特别是灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题．
典型问题
1
76
1
87
1
98
1
10
9
1
54
1
65
2
99
1
100
1
72
97
98
1
56
1
1
42
1
90
.
1
43
2
75
1
86
1
30
1
130
87
87
11
30
兴趣篇
5．计算：
4．计算：
3．计算：
2．计算：
1．计算：
1
32
2
53
1
64
1
20
1
70
76
76
7
12
1
21
2
31
1
42
1
1
6
12
1
1
4
28
65
65
3
5
6
2
2
321
1
5
6
2
11(
10．计算：
2
6．计算：
7．计算：
8．计算：
9．计算：
)
10
10
17
72
9700
9
98
98
9
13
15
56
42
2
543
209
239
210
240
11(
11(
)
)
3
3
9
20
2
432
19
11
20
12
11(
)
2
19
90
2
99
98
100
11(
9
)
11(
9
)
2008
1
1
21
3
52
4
31
11)1(
2
6
42
1
32
3
85
8
53
13
6
8
53
1
43
3
11
11
8
16
12
75
97
15
17
12
20
10
12
64
75
1
1
65
54
3
14
20
11
9
11
19
111
30
42
14
16
86
97
2007
3
101
24
13
113
56
18
10
98
8
115
72
20
11
9
117
90
;
76
37
39
78
38
40
80
39
41
82
40
42
拓展篇
1．计算：
2．计算：
3．计算：
4．计算：
4)2(
31
5．计算：
2
)21(1
3
2
6．计算：
1
)21(
11
23
6
12
3
)321(
39
20
)321(
759
839
380
420
4
)4321(
21(
)9
10
21(
9
)10
关
7.计算：
32
41
65
74
98
7
10
98
99
100
97
8.计算：
1
2
1
42
1
642
1
8642
1
642
20
9.计算：
1
321
1
432
1
543
1
49
50
48
10.计算：
4
321
5
432
6
543
11
98
10
11.计算：
1(
1
2
2
)
1(
1
2
3
)
1(
1
99
)
2
12.计算：
1(
1
31
)
1(
1
42
)
1(
1
53
)
1(
1
)
2009
2007
超越篇
1.计算：
2
2
1
2
21
2
2
2
3
32
2
18
2
19
19
18
2
19
2
20
20
19
2.计算：
2
2
2
2
1
1
2
2
4
4
1
1
2
2
18
18
1
1
2
2
20
20
1
1
.
3.已知算式
21(
3
)
42(
5
)
8(
16
17
)
9(
18
19
)
的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？
4.计算：
3
321
5
432
7
543
37
19
20
18
5.计算：
1
!2
2
!3
3
!4
99
!100
（最后结果可以用阶乘表示）
6.已知
A
1
8
,
B
1
2
8
1
2
9
1
10
2
1
64
2
，请比较 A 和 B 的大小。
7.计算：
1!3
3
2!4
2
3
3!5
3
3
100
!102
1000
3
（结果可以用阶乘和乘方表示）
8.计算：
100
97
100
99
96
97
100
99
98
95
97
96
100
99
98
96
95
97
45
12
关
第 2 讲比例解应用题
内容概述
涉及两个或多个量之闻比例的应用题．熟练掌握比的转化和运算；对条件较多的应用题，学会通过列
表的方法逐步分析求解；了解正比例与反比例的概念，掌握行程问题和工程问题中的正反比例关系．
典型问题
兴趣篇
1．圆珠笔和铅笔的价格比是 4:3，20 支圆珠笔和 21 支铅笔共用 71.5 元．问：圆珠笔的单价是每支多少
元？
2．一段路程分为上坡和下坡两段，这两段的长度之比是 4：3．已知阿奇在上坡时每小时走 3 千米，下坡
时每小时走 4.5 千米．如果阿奇走完全程用了半小时．请问：这段路程一共有多少千米？
3．加工一个零件，甲要 2 分钟，乙要 3 分钟，丙要 4 分钟，现有 1170 个零件，甲、乙、丙三人各加工几
个零件，才能使得他们同时完成任务？
4．有两块重量相同的铜锌合金．第一块合金中铜与锌的重量比是 2:5，第二块合金中铜与锌的重量比是 1：
3．现在把这两块合金合铸成一块大的．求合铸所成的合金中铜与锌的重量之比．
5．已知甲、乙、丙三个班总人数的比为 3:4:2，甲班男、女生的比为 5:4，丙班男、女生的比为 2:1，而
且三个班所有男生和所有女生的比为 13:14.请问： (1)乙班男、女生人数的比是多少？
(2)如果甲班男生比乙班女生少 12 人，那么甲、乙、丙三个班各有多少人？
6．甲、乙两包糖的重量比是 5:3，如果从甲包取出 10 克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为 7：5．请
问：这两包糖重量的总和是多少克？
7．小明从甲地到乙地，去时每小时走 5 千米，回来时每小时走 7 千米，来回共用了 4 小时．问：小明去
时用了多长时间？
8．冬冬从家去学校，平时总是 7:50 到校，有一天他起晚了，结果晚出发了 10 分钟，为了不至于迟到，
他将速度提高了五分之一，跑步前往学校，最后在 7:55 到校，请问：冬冬这天是几点出发的？
9．一项工程，由若干台机器在规定时间内完成．如果增加 2 台机器，只需用规定时间的
果减少 2 台机器，就要推迟
2
3
小时才能完成．请问：
(1)在规定时间内完成需几台机器？(2)由 1 台机器去完成这工程，需要多少小时？
7
8
就可完成；如
10.康师傅加工一批零件，加工 720 个之后，他的工作效率提高了 20%，结果提前 4 天完成任务；如果康师
傅从一开始就把工作效率提高 12.5%，那么也可以提前 4 天完成任务．这批零件共有多少个？
拓展篇
1．学校组织体检，收费标准如下：老师每人 3 元，女生每人 2 元，男生每人 1 元，已知老师和女生的人
数比为 2:9，女生和男生的人数比为 3:7，共收体检费 945 元．那么老师、女生和男生各有多少人？
关
2．徐福记的巧克力糖每 6 块包成一小袋，水果糖每 15 块包成一大袋．现有巧克力糖和水果糖各若干袋，
而且巧克力糖比水果糖多 30 袋．如果巧克力糖的总块数与水果糖的总块数之比为 7:10，那么它们各有多
少块？
3．甲、乙、丙三人合买一台电视机，甲付的钱数等于乙付的钱数的 2 倍，也等于丙付的钱数的 3 倍．已
知甲比丙多付了 680 元，请问：
(1)甲、乙、丙三人所付的钱数之比是多少？ (2)这台电视机售价多少钱？
4．一把小刀售价 3 元，如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是 2:5；如果小强买了这
把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为 8:13.小明原来有多少钱？
5．两根粗细相同、材料相同的蜡烛，长度比为 29:26，燃烧 50 分钟后，长蜡烛与短蜡烛的长度比为 11:9，
那么较长的那根还能燃烧多少分钟？
6．某俱乐部男、女会员的人数比是 3:2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是 10:8:7，
甲组中男、女会员的人数比是 3:1，乙组中男、女会员的人数比是 5：3．求丙组中男、女会员的人数比．
7．某次数学竞赛设一、二、三等奖，已知：
①甲、乙两校获一等奖的人数比为 1: 2，但它们一等奖人数占各自获奖总人数的百分数之比为 2:5；
②甲、乙两校获二等奖人数占两校获奖人数总和的 25%，其中乙校是甲校的 3.5 倍；
③甲校三等奖获奖人数占该校获奖人数的 80%．
请问：乙校获三等奖人数占该校获奖人数的百分比是多少？
8．如果单独完成某项工作，甲需 24 天，乙需 36 天，丙需 48 天，现在甲先做，乙后做，最后由丙完成．甲、
乙工作的天数比为 1：2，乙、丙工作的天数比为 3：5．问：完成这项工作一共用了多少天？
9．已知猫跑 5 步的路程与狗跑 3 步的路程相同，猫跑 7 步的路程与兔跑 5 步的路程相同．而猫跑 3 步的
时间与狗跑 5 步的时间相同，猫跑 5 步的时间与兔跑 7 步的时间相同，求猫、狗和兔的速度之比.
10．星期天早晨，哥哥和弟弟都要到奶奶家去，弟弟先走 5 分钟，哥哥出发 25 分钟后追上了弟弟，如果
哥哥每分钟多走 5 米，出发 20 分钟后就可以追上弟弟．问：弟弟每分钟走多少米？
11．一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险，如果行驶 1 个小时后，将车速提高五分之一，就可比
预定时间提前 20 分钟赶到；如果先按原速度行驶 72 千米，再将车速提高三分之一，就可比预定时间提前
30 分钟赶到，问：这支解放军部队一共需要行多少千米？
12．一项工作由甲、乙两人合作，恰可在规定时间内完成，如果甲效率提高三分之一，则只需用规定时间
的
5
6
即可完成；如果乙效率降低四分之一，那么就要推迟 75 分钟才能完成，请问：规定时间是多少小时？
超越篇
1．甲、乙两人分别同时从 A、B 两地开始，修建一条连接 A、B 两地的公路，并按修路的距离分配 240 万
元工程款．如果按原计划，甲应分得 100 万元．而在实际施工的时候，乙每天比原计划多修 l 千米，结果乙
实际分得了 150 万元，那么乙队实际施工时，每天修多少千米？
关
2．孙悟空有仙桃、机器猫有甜饼、米老鼠有泡泡糖，他们按下面比例互换：仙桃与甜饼为 3:5，仙桃与泡
泡糖为 3:8，甜饼与泡泡糖为 5：8．现在孙悟空共拿出 39 个仙桃分别与其他两位互换，机器猫共拿出甜饼
90 个与其他两位互换，米老鼠共拿出 88 个泡泡糖与其他两位互换．请问：米老鼠与孙悟空和机器猫各交
换泡泡糖多少个？
3．有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖．已知：
①第一包糖的粒数是第二包糖的
2
3
；②在第一包糖中，奶糖占 25%，在第二包糖中，水果糖占 50%；
③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的两倍，当两包糖混合在一起时，巧
克力糖占 28%．求第一包与第二包中水果糖占所有糖的百分比．
4．某工地用三种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为 10:7:6，速度比为 3:4:5，
运送土方的路程之比为 15:14:14，三种车的辆数之比为 10:5:7.工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，
但甲种车只有一半投入，直到 10 天后，另一半甲种车才投人工作，又干了 15 天才完成任务．求甲种车完
成的工作量与总工作量之比．
5．在一个 490 米长的圆形跑道上，甲、乙两人从相距 50 米的 A、B 两地，相背出发，相遇后，乙返回，
甲方向不变，继续前进，甲的速度提高五分之一，乙的速度提高四分之一．当乙回到 B 地时，甲刚好回到
A 地，此时他们都按现有速度与方向前进．请问：当甲再次追上乙时，甲（从开始出发算起）一共走了多
少米？
6．将 A、B 两种细菌分别放在两个容器里．在光线亮时 A 细菌需 12 小时分裂完毕，B 细菌需 15 小时分
裂完毕；在光线暗时，A 细菌的分裂速度要下降 40%，B 细菌的分裂速度反而提高 10%．现在两种细菌同
时开始分裂并同时分裂完毕，试问：在分裂过程中，光线暗的时间有多少小时？
7．某大学本科共有四个年级，男生总人数和女生总人数的比为 7：5．又已知：
①一年级男生和二年级女生的比是 3：2，二年级男生和一年级女生的比也是 3：2；
②三年级和四年级的人数相等，且三年级男生比四年级女生多 100 人；
③三、四年级男生与女生的比为 6：5；
④二年级的男生占学生总数的 24%．
请问：一年级男生和女生的人数分别是多少？
8．如图 2-1 所示，A、B、C、D、E、F 是六个齿轮．其中 A 和 B 相互咬合，B 和 C 相互咬合，D 和 E、
E 和 F 也都相互咬合；而 C 和 D 是同轴的两个齿轮，也就是说 C 和 D 转动的圈数始终相同．当 A 转了 7
圈时，B 恰好转了 5 圈；当 E 转了 8 圈时，F 恰好转了 9 圈；当 C 转了 5 圈时，B 和 E 恰好共转了 28 圈．请
问：(1)如果 A、E 转的总圈数总是和 B、F 转的总圈数相同，那么当 A、F 共转了 100 圈时，D 转了多少
圈？（注：图片只是示意图，并不代表实际齿数）
(2)如果 A、E 的总齿数和 B、F 的总齿数相等，D 的齿数是 C 的齿数的 2 倍，那么当 A 转了 210 圈时，D
和 F 分别转了多少圈？
关
第 3 讲方程解应用题
内容概述
掌握一元一次方程的解法，多元一次方程组的解法，以及具有对称性的多元一次方程的特殊解法．能
从已知条件中寻找出等量关系，列出方程或方程组并求解。
典型问题
2
;
兴趣篇
1. 解下列方程：
1)2(
3
21(
5
)
x
)1(
5
6
x
;
x
1
x
2
)3(
x
x
x
5
1
3
2
11
23
2．在一次选举中，有甲、乙、丙三位候选人，乙的选票比甲的 2 倍还多 5 张，丙的选票比甲的一半还少 4
张．如果甲、乙、丙三人的选票一共有 36 张，请问：甲得了多少张选票？．
3．有若干名学生上体育课，体育老师规定每两人合用一个排球，每三人合用一个足球，每四人合用一个
篮球，已知排球、足球、篮球共用了 26 个．问：有多少名学生上体育课？
3
4．唐老师给幼儿园大班的小朋友每人发 17 张画片，小班每人发 13 张画片．已知大班人数是小班的
5
小班比大班总共多发 126 张画片，求小班的人数．
，
5．明知小学六年级一班男生的人数占全班总人数的 70%，六年级二班的男生比一班男生少 2 名，而女生
人数为一班女生的 2 倍．如果两班合在一起，则男生所占的比例为 60%．请问：二班有多少名女生？
6．甲、乙两车同时从 A、B 两地出发，相向而行，在 A、B 之间不断往返行驶．甲车到达 B 地后，在 B
地停留了 2 个小时，然后返回 A 地；乙车到达 A 地后，马上返回 B 地；两车在返回的途中又相遇了，相
遇的地点距离 B 地 288 千米．已知甲车的速度是每小时 60 千米，乙车的速度是每小时 40 千米．请问：A、
B 两地相距多少千米？
7．解下面的方程组：
)1(
,22
2
4
y
x
17
7
;80
x
y
)2(
,144
7
4
y
x
12
8
.24
y
x
8．冬冬与小悦一起在水果店买水果，冬冬买了 3 千克苹果和 2 千克梨，共花了 18.8 元．小悦买了 2 千克
苹果和 3 千克梨，共花了 18.2 元，你能算出 1 千克苹果多少元，1 千克梨多少元吗？
9.2 个蟹将和 4 个虾兵能打扫龙宫的
3
10
，8 个蟹将和 10 个虾兵就能把龙官全部打扫完．如果只让蟹将打
扫龙宫，需要多少个？只让虾兵打扫龙宫，需要多少个？
10.如图 3-1，小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，一种是长方形的．正方形纸板的总数与长方
形纸板的总数之比是 1：2．她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完．那么在小玲
关
所做纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？
x
3
拓展篇
1．解下列方程：
x
6
)(4(
)1(
x
3)3(
x
4
x
4
5
1
5
2
1
;
7
x
12
)(1
x
3)2(
2
)7
;1
x
7]2)1
2
2
3
;
x
2[
3
x
1(
4
2
(
x
)2
.5
2．一个分数，分子与分母的和是 122.如果分子、分母都减去 19，得到的分数约分后是
1
5
，那么原来的分
数是多少？
3. 130 克含盐 5%的盐水，与若干含盐 9%的盐水混合，配成含盐 6.4%的盐水．请问：最后配成的盐水有多
少克？
4．如图 3-2 中的短除式所示，一个自然数被 8 除余 1，所得的商被 8 除也余 1，再把第二次所得的商被 8
除后余 7，最后得到的商是以．图 3-3 中的短除式表明：这个自然数被 17 除余 4，所得的商被 17 除余 15，
最后得到的商是 a 的 2 倍，求这个自然数．
5．给六年级五班的同学分苹果，第一组每人 3 个，第二组每人 4 个，第三组每人 5 个，第四组每人 6 个．已
知第二组和第三组共有 22 人，第一组人数是第二组的 2 倍，第三组和第四组人数相等，总共分出去 230
个苹果，问：该班一共有多少名学生？
6．解下面的方程组：
)1(
11
x
13
x
9
3
y
y
,49
;17
)2(
2
x
y
13
8
x
y
,1
;59
)3(
18
16
x
x
29
28
y
y
,
307
284
.
7．商店里有大盒、中盒、小盒共 27 盒筷子，其中大盒中装有 18 双筷子，中盒中装有 12 双筷子，小盒中
装有 8 双筷子，一共装有 330 双筷子，其中小盒数是中盒数的 2 倍，问：三种包装的筷子各有多少盒？
8．甲、乙两人从相距 36 千米的两地相向而行．如果甲比乙先出发 2 小时，那么他们在乙出发 2.5 小时后
相遇；如果乙比甲先出发 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇．问：甲、乙两人每小时各走多少千米？
9．一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡．如果从右
盘中取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加 20 克砝码，这时两边也
平衡．如果从右盘移两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球到右盘上，那么需要再给右盘加 50 克砝码，
两边才能平衡．问：白球、黑球每个各重多少克？
关
10.奥运指定商品零售店里的福娃有大号、中号和小号三种．小悦买了一个大号的、三个中号的和两个小号
的，共花了 360 元；冬冬买了两个大号的、一个中号的和一个小号的，共花了 270 元；阿奇买了一个大号
的、两个中号的和两个小号的，共花了 300 元．请问：商店里的大号、中号和小号福娃的单价各是多少？
11.如图 3-4，墙边放着一块木板，一只猫淘气，爬了上去，使得木板向下滑动了
一段距离，现在已知图中的三段长度（单位：厘米），你能求出这块木板的长度吗？
12.甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为 29，
23，21 和 17.这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？
超越篇
1．丙看到甲、乙两人正在解下面这个方程组：
□
□
x
x
□
□
y
y
,
2536
704
.
其中未知数前面的系数被甲和乙遮住了．甲计算得出方程的解是 x=7，y=3；而乙误把“2536”看作“1536”，得
到的解是 x=4，y=4．试问：方程组四个被遮住的系数中最小的一个是多少？
2．幼儿园有三个班，甲班比乙班多 4 人，乙班比丙班多 4 人．老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每
个小孩少分 3 个枣；乙班每个小孩比丙班每个小孩少分 5 个枣，结果甲班比乙班总共多分 3 个枣，乙班比
丙班总共多分 5 个枣．问：三个班总共分了多少个枣？
3．下表显示了一次钓鱼比赛的结果：
n
钓了n条鱼的人数
O
9
1
5
2
7
已知：①冠军钓到 15 条鱼；
…
3
23 …
13
5
14
2
15
1
②钓到 3 条或 3 条以上的选手平均每人钓到了 6 条鱼；
③钓到 12 条或者 12 条以下的选手平均每人钓到了 5 条鱼．
请问：一共有多少名选手参赛？这些选手一共钓到了多少条鱼？
4．A、B 两地相距 2400 米，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，两人在途中某处相遇后，
甲又继续行进 18 分钟到达 B 地，乙又继续行进 50 分钟到达 A 地，请问：甲比乙每分钟多走多少米？
5．甲、乙两车运一堆货物，甲车单独运比乙车单独运要少运 5 次；如果一起运，各运 6 次就刚好运完．问：
甲车单独运要几次运完？
6．一个从小到大排列的等差数列，如果把这个数列的首项除以 2，末项乘以 2，这些数的平均数就增加了
7；如果把首项乘以 2，末项除以 2，平均数就少了 2．已知这个等差数列中所有数的和等于 245，求这个
数列的末项．
7．一个水池，顶部有一个进水管，底部有一个出水管．如果只打开进水管，50 分钟可以把水池灌满；如
果只打开出水管，60 分钟可以把一池水放完，现在水池在中间的某个位置出现了一条与池底平行的裂缝，
如果只打开进水管，需要 80 分钟才能放满一池水，而只打开出水管只需 46.5 分钟即可放完一池水，请问：
裂缝出现在离池底几分之几高度的地方？
8．“太平洋号”和“北冰洋号”两艘潜艇在海下沿直线同向潜航，“北冰洋号”在前，“太平洋号”在后．在某个
时刻，“太平洋号”发出声波，间隔 2 秒后，再次发出声波，当声波传到“北冰洋号”时，“北冰洋号”会反射
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