5-2-1.数的整除之四大判断法 综合运用 教学目标 1. 了解整除的性质； 2. 运用整除的性质解题； 3. 整除性质的综合运用. 知识点拨 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除； 一个数的末两位能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除； 一个数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除； 2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除； 一个数各位数数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11 整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11 或 13 整除. 5.如果一个数能被 99 整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个 数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是 99 的倍数，这个数一定 是 99 的倍数。 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质 性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除．即如果 c︱a， c︱b，那么 c︱(a±b)． 性质 2 如果数 a 能被数 b 整除，b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除．即如果 b∣a， c∣b，那么 c∣a． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质 3 如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么 a 也能被 b 或 c 整除．即如果 bc∣a，那 么 b∣a，c∣a． 性质 4 如果数 a 能被数 b 整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么 a 一定能被 b 与 c 的乘积整除．即如果 b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么 bc∣a． 例如：如果 3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性质 5 如果数 a 能被数 b 整除，那么 am 也能被 bm 整除．如果 b｜a，那么 bm｜am（m 为非 0 整数）； 性质 6 如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除．如果 b｜a ，且 d｜c ，那 5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用.题库 学生版 page 1 of 5 

么 bd｜ac； 例题精讲 综合系列 【例 1】 甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为 1031．如果甲数的数字和为 10， 乙数的数字和为 8，那么甲乙两数之和是_________． 【例 2】 有 5 个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是 12 的倍数，那么这 5 个数之和的最小值是 ________． 【例 3】 173□ 是个四位数字。数学老师说：“我在这个 □ 中先后填入 3 个数字，所得到的 3 个四位数，依 次可被 9、11、6 整除。”问：数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少？ 【例 4】 1 87 2 a 是 2008 的倍数． a  _________ a 【例 5】 使得10 1n  是 63 的倍数的最小正整数 n 是 。 【例 6】 如果六位数1992□□ 能被 105 整除，那么它的最后两位数是多少？ 【例 7】 六位数 20 □□ 08 能被 49 整除， □□ 中的数是多少？ 5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用.题库 学生版 page 2 of 5 

【例 8】 在六位数 11□□ 11 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被 17 和 19 整除，那么方框中的两 位数是多少? 【例 9】 某个七位数 1993□□□能够同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整除，那么它的最后三位数字依次是多 少？ 【例 10】在 523 后面写出三个数字，使所得的六位数被 7、8、9 整除．那么这三个数字的和是多少? 【例 11】用数字 6，7，8 各两个，组成一个六位数，使它能被 168 整除。这个六位数是多少？ 【例 12】一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160 就是一个十 全数．现已知一个十全数能被 1，2，3，…，18 整除，并且它的前四位数是 4876，那么这个十全 数是多少？ 【例 13】将数字 4，5，6，7，8，9 各使用一次，组成一个被 667 整除的 6 位数，那么，这个 6 位数除以 667 的结果是多少？ 【例 14】某住宅区有 12 家住户，他们的门牌号分别是 1，2，…，12．他们的电话号码依次是 12 个连续的 六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小 于 6，并且门牌号是 9 的这一家的电话号码也能被 13 整除，问：这一家的电话号码是什么数？ 5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用.题库 学生版 page 3 of 5 

【例 15】在六位数 ABCDEF 中，不同的字母表示不同的数字，且满足 A ， AB ， ABC ， ABCD ， ABCDE ， ABCDEF 依次能被 2，3，5，7，11，13 整除．则 ABCDEF 的最小值是 取得最大值时 0C  ， 6F  ，那么 ABCDEF 的最大值是________． ；已知当 ABCDEF 【例 16】有一个九位数 abcdefghi 的各位数字都不相同且全都不为 0，并且二位数 ab 可被 2 整除，三位数 abc 可被 3 整除，四位数 abcd 可被 4 整除，……依此类推，九位数 abcdefghi 可被 9 整除．请问这个 九位数 abcdefghi 是多少？ 【例 17】用数字 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 拼成一个十位数。要求前 1 位数能被 2 整除，前 2 位数能 被 3 整除，……，前 9 位数能被 10 整除．已知最高位数为 8．这个十位数是 【例 18】N 是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除．N 的最大值是 ． 【例 19】 a ，b ，c ，d 各代表一个不同的非零数字，如果 abcd 是13 的倍数，bcda 是11的倍数，cdab 是 9 的倍数， dabc 是 7 的倍数，那么 abcd 是 。 【例 20】利用数字 0，1，2，3，4， ，8，9(每个数字可以重复)构造一个 6 位数，满足要求：前 k 位能被 k  ，2， ，6)．这样的 6 位数最小是 1 k 整除( ，最大是 ． 5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用.题库 学生版 page 4 of 5 

【例 21】有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 1 号到 15 号，1 号同学写了一个自然数，其余各位同学 都说这个数能被自己的编号数整除．1 号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学 都对，问：⑴说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你 1 号写的数 是五位数，请找出这个数． 【例 22】已知： 23! 258 20 67388849766 D C  AB 000 ．则 DCB A  ？ 【例 23】为了打开银箱，需要先输入密码，密码由 7 个数字组成，它们不是 1、2 就是 3．在密码中 1 的数 目比 2 多，2 的数目比 3 多，而且密码能被 3 和 16 所整除．试问密码是多少？ 【巩固】为了打开银箱，需要先输入密码，密码由 7 个数字组成，它们不是 2 就是 3．在密码中 2 的数目比 3 【巩固】 多，而且密码能被 3 和 4 所整除．试求出这个密码． 【例 24】盒子里放有编号为 1 到 10 的十个球，小明先后三次从盒中共取出九个球，如果从第二次开始，每 次取出的球的编号之和是前一次的 2 倍，那么未取出的球的编号是___________. 【例 25】六位自然数，1082□□ 能被 12 整除，末两位数有 种情况。 5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用.题库 学生版 page 5 of 5