7-3-2 加乘原理之数字问题（一）.学生版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：0.59M 资料格式：doc 举报版权申诉

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7-3-2.加乘原理之数字问题（一）教学目标 1.复习乘法原理和加法原理； 2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力． 3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题．在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合．知识要点一、加乘原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点： ⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和． ⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积． ⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．来完成，这几步是完成这件任务缺一不．．．可的．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．例题精讲【例 1】由数字 1，2，3 可以组成多少个没有重复数字的数？【考点】加乘原理之综合运用【解析】因为有 1，2，3 共 3 个数字，因此组成的数有 3 类：组成一位数；组成二位数；组成三位数．它们【难度】2 星【题型】解答的和就是问题所求． ⑴组成一位数：有 3 个； ⑵组成二位数：由于数字可以重复使用，组成二位数分两步完成；第一步排十位数，有 3 种方法；第二步排个位数也有 3 种方法，因此由乘法原理，有 3 2   个； 6   个三位数； ⑶组成三位数：与组成二位数道理相同，有 3 2 所以，根据加法原理，一共可组成 3 6 6 15    个数． 6 【答案】15 7-3-2.加乘原理之数字问题（一）.题库教师版 page 1 of 6

【例 2】用数字 1，2，3 可以组成 6 个没有重复数字的三位数，这 6 个数的和是【考点】加乘原理之综合运用【难度】2 星【题型】填空【关键词】希望杯，4 年级，1 试【解析】（1+2+3)×2×111=1332. 【答案】1332 。【巩固】由数字 0，3，6 组成的所有三位数的和是__________。【考点】加乘原理之综合运用【难度】2 星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第 6 题【解析】由数字 0 ， 3 ， 6 组成的所有三位数有 306 ， 360 ， 603 ， 630 ，它们的和为： 306 360 603 630 1899     。【答案】1899 【例 3】由数字 0，1，3，9 可以组成多少个无重复数字的自然数？【考点】加乘原理之综合运用【解析】满足条件的数可以分为 4 类：一位、二位、三位、四位数．【难度】2 星【题型】解答第一类，组成 0 和一位数，有 4 个（0 不是一位数，最小的一位数是 1）；第二类，组成二位数，有 3 3 9   个；    个; 第三类，组成三位数，有 3 3 2 18 第四类，组成四位数，有 3 3 2 1 18     个．由加法原理，一共可以组成 4 9 18 18 49   个数．   【答案】 49 【例 4】用数字 0，1，2，3，4 可以组成多少个小于 1000 的自然数？【考点】加乘原理之综合运用【解析】小于 1000 的自然数有三类．第一类是 0 和一位数，有 5 个；第二类是两位数，有 4 5 20 【难度】3 星【题型】解答   个；第三类是三位数，有 4 5 5 100    个，共有 5 20 100 125  个．   【答案】125 【例 5】用数码 0，1，2，3，4，可以组成多少个小于 1000 的没有重复数字的自然数？【考点】加乘原理之综合运用【解析】分为三类，一位数时，0 和一位数共有 5 个；二位数时，为 4 4 16 【难度】3 星【题型】解答   个，三位数时，为：4 4 3 48    个，由加法原理，一共可以组成 5 16 48 69  个小于 1000 的没有重复数字的自然数．   【答案】 69 【题型】解答【难度】3 星【例 6】用 0～9 这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数．【考点】加乘原理之综合运用【解析】无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排 0，或说千位上只能排 1～ 9 这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法.（方法一）分两步完成：第一步：从 1～9 这九个数中任选一个占据千位，有 9 种方法；第二步：从余下的 9 个数（包括数字 0）中任选 3 个占据百位、十位、个位，百位有 9 种.十位有 8 种，个位有 7 种方法；由乘法原理，共有满足条件的四位数 9×9×8×7=4536 个．（方法二）组成的四位数分为两类：第一类：不含 0 的四位数有 9×8×7×6=3024 个；第二类：含 0 的四位数的组成分为两步：第一步让 0 占一个位有 3 种占法，（让 0 占位只能在百、十、个位上，所以有 3 种）第二步让其余 9 个数占位有 9×8×7 种占法.所以含 0 的四位数有 3×9×8×7=1512 个．由加法原理，共有满足条件的四位数 3024+1512=4536 个．【答案】4536 【巩固】用 0，1，2，3 四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】解答 7-3-2.加乘原理之数字问题（一）.题库教师版 page 2 of 6

【解析】分为两类：个位数字为 0 的有 3 2 6   个没有重复数字的四位偶数． 6 4 10 【答案】10   个，个位数字为 2 的有 2 2   个，由加法原理，一共有： 4 【例 7】在 2000 到 2999 这 1000 个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？【考点】加乘原理之综合运用【解析】若相同的数是 2，则另一个 2 可以出现在个、十、百位中的任一个位置上，剩下的两个位置分别有 9 个和 8 个数可选，有 3×9×8=216（个）；若相同的数是 1，有 3×8＝24（个）；同理，相同的数是 0， 3，4，5，6，7，8，9 时，各有 24 个，所以，符合题意的数共有 216＋9×24=432（个）．【难度】3 星【题型】解答【答案】432 【难度】3 星【例 8】在 1000 至 1999 这些自然数中个位数大于百位数的有多少个? 【考点】加乘原理之综合运用【解析】 (方法一)解决计数问题常用分类讨论的方法．设在 1000 至 1999 这些自然数中满足条件的数为1 abc a  时， c 可取 1～9 中的任一个数字， b 可取 0～9 中的任一个数字，于是一  个． (2)当 1a  时， c 可取 2～9 中的任一个数字， b 仍可取 0～9 中的任一个数字，  个．(3)类似地，当 a 依次取 2，3，4，5，6，7，8 时分别有 70，60，50，40， (其中 c a )； (1)当 0 共有 9 10 90  于是一共有 8 10 80  30，20，10 个符合条件的自然数．所以，符合条件的自然数有 90 80 70 (方法二)1000 至 1999 这 1000 个自然数中，每 10 个中有一个个位数等于百位数，共有 100 个；剩余的数中，根据对称性，个位数大于百位数的和百位数大于个位数的一样多，所以总数为 (1000 100) 2 【题型】解答 20 10   个． 450 450 个.         【答案】 450 【例 9】某人忘记了自己的密码数字，只记得是由四个非 0 数码组成，且四个数码之和是 9．为确保打开保险柜至少要试多少次？【考点】加乘原理之综合运用【解析】四个非 0 数码之和等于 9 的组合有 1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，【题型】解答【难度】3 星 3；2，2，2，3 六种．第一种中，只要考虑 6 的位置即可，6 可以随意选择四个位置，其余位置方 1，共有 4 种选择．第二种中，先考虑放 2，有 4 种选择，再考虑 5 的位置，有 3 种选择，剩下的位置放 1，共有 4×3=12 种选择，同理，第三、第四、第五种都有 12 种选择，最后一种与第一种相似，3 的位置有四种选择，其余位置放 2，共有 4 种选择.由加法原理，一共可以组成 4+12+12+12+12+4=56 个不同的四位数，即为确保打开保险柜至少要试 56 次．【答案】 56 【例 10】将 1 到 35 这 35 个自然数连续地写在一起，够成了一个大数：1234567891011……333435，则这个大数的位数是。【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】填空【关键词】希望杯，4 年级，1 试【解析】这个数的位数与数码的总共个数有关系，从 1 到 9 都是一位数，则共有 9 个数码，从 10 到 35 全市两位数，则共有 26 2 52   （个）数码，那么位数就共有 9 52 61  （位）。  【答案】 61 【例 11】如图，《希望杯数学能力培训教程（四年级）》一书有 160 页，在它的页码中，数字“2”共出现了次。【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】填空【关键词】希望杯，4 年级，1 试【解析】十位上是 2 的有 20 个（含有 22 和 122），个位上是 2 的有 14 个（除了 22 和 122），所以共有 34 个 7-3-2.加乘原理之数字问题（一）.题库教师版 page 3 of 6

数。【答案】 34 个【例 12】按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是 0～55 号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过 5. 那么，可供每支球队选择的号码共（）个 . （A） 34 (B) 35 (D) (C) 40 56 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛，第 3 题【解析】根据题意，可供选择的号码可以分为一位数和两位数两大类，其中一位数可以为 0~9，有 10 种选择；两位数的十位可以为 1~5，个位可以为 0~5，根据乘法原理，两位数号码有 5×6=30 种选择。所以可供选择的号码共有 10+30=40 种。【答案】 C 种【例 13】从 1 到 100 的所有自然数中，不含有数字 4 的自然数有多少个? 【考点】加乘原理之综合运用【题型】解答【解析】从 1 到 100 的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．【难度】3 星一位数中，不含 4 的有 8 个，它们是 1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含 4 的可以这样考虑：十位上，不含 4 的有 1、2、3、5、6、7、8、9 这八种情况．个位上，不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8 9 72 三位数只有 100．所以一共有 8 8 9 1 81     个不含 4 的自然数．   个数不含 4．【答案】 81 【巩固】从 1 到 500 的所有自然数中，不含有数字 4 的自然数有多少个? 【考点】加乘原理之综合运用【题型】解答【解析】从 1 到 500 的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．【难度】3 星一位数中，不含 4 的有 8 个，它们是 1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含 4 的可以这样考虑：十位上，不含 4 的有 1、2、3、5、6、7、8、9 这八种情况．个位上，不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有 8×9=72 个数不含 4．三位数中，小于 500 并且不含数字 4 的可以这样考虑：百位上，不含 4 的有 1、2、3、这三种情况．十位上，不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种情况，个位上，不含 4 的也有九种情况．要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理，这时共有    个三位数．由于 500 也是一个不含 4 的三位数．所以，1～500 中，不含 4 的三位数共 3 9 9 有 3 9 9 1 244 所以一共有 8 8 9 3 9 9 1 324        个不含 4 的自然数． 243     个．【答案】 324 【巩固】从 1 到 300 的所有自然数中，不含有数字 2 的自然数有多少个? 【考点】加乘原理之综合运用【题型】解答【解析】从 1 到 300 的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．【难度】3 星一位数中，不含 2 的有 8 个，它们是 1、3、4、5、6、7、8、9；两位数中，不含 2 的可以这样考虑：十位上，不含 2 的有 1、3、4、5、6、7、8、9 这八种情况．个位上，不含 2 的有 0、1、3、4、5、6、7、8、9 这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有 8 9 72 三位数中，除去 300 外，百位数只有 1 一种取法，十位与个位均有 0，1，3，4，5，6，7，8，9 九种取法，根据乘法原理，不含数字 2 的三位数有：1 9 9 81 根据加法原理，从 1 到 300 的所有自然数中，不含有数字 2 的自然数一共有 8 72 82 162    个，还要加上 300；    个数不含 2；  个．  【答案】162 【例 14】将各位数字的和是 10 的不同的三位数按从大到小的顺序排列，第 10 个数是【考点】加法原理之分类枚举【难度】3 星【题型】填空【关键词】希望杯，4 年级，1 试【解析】百位是 9 的有 2 个，百位是 8 的有 3 个，百位是 7 的有 4 个，这一共是 9 个，接下来应该是百位是。 7-3-2.加乘原理之数字问题（一）.题库教师版 page 4 of 6

6 的，其中最大的是 640，所以第 10 个数是 640。【答案】 640 【例 15】把所有不含重复数字的四位偶数从小到大排成一列，则从前往后数第 364 个数是多少？【考点】加乘原理之综合运用【关键词】学而思杯，5 年级，第 9 题【解析】1 打头的数中，个位有 5 种取法，剩下的两位分别有 8 种取法和 7 种取法，总共有 5 8 7 【难度】3 星【题型】填空    个数。 364-280=84，所以第 364 个数是 2 打头的第 84 个数。2 打头的数中，百位是奇数时，个位有 4 种取法，十位有 7 种取法，总共有 28 个数；百位是偶数时，个位有 3 种取法，十位有 7 种取法，总共有 21 个数。前两位是 20，21，23，24 的分别有 21，28，28，21 个，84-21-28-28=7，所以 2 打头的第 84 个数是 24 打头的第 7 个数。列举可得前 7 个数是 2406，2408，2410，2416，2418，2430，2436，所以是 2436。 280 【答案】 2436 【例 16】由数字 1，2，3，4 组成的所有四位数中（数字不重复使用），从小到大排列，第 7 个数是 ______________．【考点】加乘原理之综合运用【难度】4 星【题型】填空【关键词】学而思杯，3 年级，第 2 题【解析】1 开头的数有 6 个，所以第 7 个数应该是 2 开头的最小的数，那么应该是 2134 【答案】 2134 【巩固】由 1，2，3，4，5 五个数字组成的不同的五位数有 120 个，将他们从大到小排列起来，第 95 个数是___________。【考点】加乘原理之综合运用【难度】4 星【题型】填空【关键词】希望杯,4 年级,1 试【解析】1 打头的有 24 个，2 打头 24 个，3 打头 24 个，4 打头 24 个，正好 96 个，第 96 个数是 45321，第 95 个是 45312。【答案】 45312 【例 17】由数字 0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008 排在第个．【考点】加乘原理之综合运用【关键词】第二届，华杯赛【解析】比 2008 小的 4 位数有 2000 和 2002 ，比 2008 小的 3 位数有 2 3 3 18 【题型】解答【难度】4 星    （种），比 2008 小的 2 位数有 2 3 6   （种），比 2008 小的1位数有 2 （种），所以 2008 排在第 2 18 6 2 1 29     （个）．  【答案】 29 【例 18】从分别写有 2、4、6、8 的四张卡片中任取两张，做两个一位数乘法.如果其中的 6 可以看成 9，那么共有多少种不同的乘积？【考点】加乘原理之综合运用【解析】取 2 有 8、12、16、18 四种，取 4 增加 24、32、36 三种，取 6 增加 48、72 两种，一共有 9 种【答案】 9 种【题型】解答【难度】3 星【巩固】有七张卡片： 1 、 1 、 2 、 3 、 9 、 9 、 9 ，从中任取 3 张可排列成三位数。若其中卡片 9 旋转后可看作 6 ，则排成的偶数有_______个。【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第 19 题【解析】当个位是 2 时，有 15 种，当个位是 6 时有 23 种，一共有 15+23=38 种【答案】 38 种【例 19】自然数 8336，8545，8782 有一些共同特征，每个数都是以 8 开头的四位数，且每个数中恰好有两个数字相同．这样的数共有多少个？【考点】加乘原理之综合运用【解析】两个相同的数字是 8 时，另一个 8 有 3 个位置可选，其余两个位置有 9 8 【题型】解答【难度】3 星   种填法，有 3 9 8 216    72 7-3-2.加乘原理之数字问题（一）.题库教师版 page 5 of 6

个数；两个相同的数字不是 8 时，相同的数字有 9 种选法，不同的数字有 8 种选法，并有 3 个位置可放，有 9 8 3 216 由加法原理，共有 3 9 8 9 8 3 432    个数．       个数．【答案】 432 【巩固】在 1000 到 1999 这 1000 个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？【考点】加乘原理之综合运用【解析】若相同的数是 1，则另一个 1 可以出现在个、十、百位中的任一个位置上，剩下的两个位置分别有 9    个；若相同的数是 2，有 3×8＝24 个；同理，相同的数是 0，3，4，个和 8 个数可选，有 3 9 8 216 5，6，7，8，9 时，各有 24 个，所以，符合题意的数共有 216 9 24 【难度】3 星【题型】解答  个   432 【答案】 432 【例 20】如果一个三位数 ABC 满足 A B ， B C ，那么把这个三位数称为“凹数”，求所有“凹数”的个数．【考点】加乘原理之综合运用【解析】当 B 为 0 时， A 、 C 可以为 1～9 中的任何一个，此时有 9 9 种；当 B 为1时， A 、 C 可以为 2～9 【难度】4 星【题型】解答中的任何一个，此时有 8 8 种；……；当 B 为 8 时，有1 1 种；所以共有 9 9 8 8     1 1      9 10 19 (个)． 285    1 6 【答案】 285 7-3-2.加乘原理之数字问题（一）.题库教师版 page 6 of 6

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