7-4-1 简单的排列问题.学生版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：0.98M 资料格式：doc 举报版权申诉

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7-4-1.简单的排列问题教学目标 1.使学生正确理解排列的意义； 2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列； 3.掌握排列的计算公式； 4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．知识要点一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从 n 个不同的元素中取出 m ( m n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从 n 个不同的元素中取出 m ( m n )个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同的元素的排列中取出 m 个元素的排列数，我们把它记做 m nP ．根据排列的定义，做一个 m 元素的排列由 m 个步骤完成：步骤1：从 n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有 n 种方法；步骤 2 ：从剩下的( …… 步骤 m ：从剩下的[ 由乘法原理，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数是 n n   （）（）（ 1)]  个元素中任取一个元素排在第 m 个位置，有 2 1n  )个元素中任取一个元素排在第二位，有( n m n m 1    ( 1n  )种方法； 1 ），这里， m n ，且等号右边从 n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共 1 n m     （） n m n n       （）（）（ n m  1 ），即 1    n 1 (种)方法； . n  m 2 nP 有 m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于 m n 的情况，排列数公式变为表示从 n 个不同元素中取 n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种 n 个排列全部取出的排列，叫做 n 个不同元素的全排列．式子右边是从 n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为 !n ，读做 n 的阶乘，则 n n n  （）（） n n  （）（） n ，其中 ! n 3 2 1   3 2 1   1   1        　． n nP ． 2 2   n n !    n nP 还可以写为： nP 例题精讲模块一、排列之计算 3 P ． 7 【难度】1 星 1 .  n n  （）（）（ 2   n n m 【题型】解答  1 ）知： 5P ；⑵ 4 P 7 【例 1】计算：⑴ 2 【考点】简单排列问题 m nP 【解析】由排列数公式 ⑴ 2 5 4 20 P    5 ⑵ 4 7 6 5 4 840 P      7 【答案】⑴ 20  7 6 5 210 , 3 P     7 ⑵ 630 ，所以 4 P 7 3 P 7  840 210 630  ．  7-4-1.简单的排列问题.题库教师版 page 1 of 7

3P ；⑵ 3 P 6 【巩固】计算：⑴ 2 【考点】简单排列问题【解析】⑴ 2 P    3 【答案】⑴ 6 3 2 6 P ． 2 10 【难度】1 星 2 P 10 ⑵ 3 P 6 ⑵ 30     6 5 4 10 9 120 90 30  ．【题型】解答    【巩固】计算：⑴ 3 P 14 【考点】简单排列问题【解析】⑴ 3 P 14 ⑵ 5 3 P 6 【答案】⑴ 2002 2 P 14 3 P 3 3 3 2 14 P ； ⑵ 5 3P P ． 6 【难度】1 星 14 13 12 14 13 2002     3 (6 5 4 3 2) 3 2 1 2154        ；      ⑵ 2154 【题型】解答．模块二、排列之排队问题【例 2】有 4 个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他 3 人拍照，共可能有多少种拍照情况？ (照相时 3 人站成一排) 【难度】2 星【考点】简单排列问题【解析】由于 4 人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有 3 人，可以看成有 3 个位置由这 3 人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选 3 人照相，所以，问题就转化成从四个人中选 3 人，排在 3 个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法． (种)不同的拍照情况．由排列数公式，共可能有： 3 P     4 也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有： 4 P      4 (种)不同的拍照情况． 4 3 2 1 24 【题型】解答 4 3 2 24 【答案】 24 【巩固】 4 名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？【考点】简单排列问题【解析】 4 个人到照相馆照相，那么 4 个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从 4 个元素中选 4 个，【难度】2 星【题型】解答排成一列的问题．这时 4 n  ， 4m  ．由排列数公式知，共有 4 P      4 4 3 2 1 24 (种)不同的排法．【答案】 24 【巩固】 9 名同学站成两排照相，前排 4 人，后排 5 人，共有多少种站法？【考点】简单排列问题【解析】如果问题是 9 名同学站成一排照相，则是 9 个元素的全排列的问题，有 9 【难度】3 星【题型】解答 9P 种不同站法．而问题中，9 个人要站成两排，这时可以这么想，把 9 个人排成一排后，左边 4 个人站在前排，右边 5 个人站在后排，所以实质上，还是 9 个人站 9 个位置的全排列问题．方法一：由全排列公式，共有 9 P           9 方法二：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个． 4 p 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 362880           9 8 7 6 5 4 3 2 1 362880 (种)不同的排法． 5 p 5 【答案】 362880 【巩固】 5 个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【解析】由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列【难度】3 星【题型】解答问题，且 4 n  ．由全排列公式，共有 4 P      4 4 3 2 1 24 (种)不同的站法．【答案】 24 【巩固】丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”， 5 人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【解析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排【题型】解答【难度】3 星列问题，且 n=4． 7-4-1.简单的排列问题.题库教师版 page 2 of 7

由全排列公式，共有 4 P      4 4 3 2 1 24 (种)不同的站法．【答案】 24 【例 3】 5 个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有_______种？【考点】简单排列问题【难度】3 星【题型】填空【关键词】学而思杯，4 年级，第 8 题【解析】 5 个人全排列有 5! 120 【答案】60 种  种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是 60 种【例 4】一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14 个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共需要多少种不同的车票．【考点】简单排列问题【解析】 2 P   14 【答案】182 14 13 182  【难度】3 星【题型】解答 (种)．【例 5】班集体中选出了 5 名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：有多少种不同的分工方式？【考点】简单排列问题 (种)．【解析】 5 P  5 【答案】120 120 【难度】3 星【题型】解答【例 6】有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【难度】3 星【题型】解答【考点】简单排列问题【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中 5 由排列数公式知，共可组成 3 P     5 (种)不同的信号． n  ， 3m  ． 5 4 3 60 【答案】 60 【巩固】有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【解析】 2 3 2 6 P    ． 3 【答案】 6 【难度】3 星【题型】解答【巩固】在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【解析】方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排【题型】解答【难度】3 星法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题．由排列数公式，共可以组成 3 P     (种)不同的信号． 3 3 2 1 6 方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有 3 种方法；其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有 2 种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3 2 1 6    (种)．【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．【答案】 6 模块三、排列之数字问题 7-4-1.简单的排列问题.题库教师版 page 3 of 7

【例 7】用 1、2、3、4、5、6、7、8 可以组成多少个没有重复数字的四位数？【考点】简单排列问题【解析】这是一个从 8 个元素中取 4 个元素的排列问题，已知 8n  ， 4m  ，根据排列数公式，一共可以组成【难度】2 星【题型】解答 4 P      8 8 7 6 5 1680 (个)不同的四位数．【答案】1680 【巩固】由数字1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 可以组成多少没有重复数字的三位数？【考点】简单排列问题【解析】 3 P  ． 6 【答案】120 【难度】2 星【题型】解答 120 【题型】解答【难度】3 星【例 8】用 0 、1、 2 、 3 、 4 可以组成多少个没重复数字的三位数？【考点】简单排列问题【解析】（法1）本题中要注意的是 0 不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2 、3 、4 这四个数字 4P 种中选择一个，有 4 种方法；十位和个位上的数字可以从余下的 4 个数字中任选两个进行排列，有 2 方法．由乘法原理得，此种三位数的个数是：（法 2 ）：从 0 、1、2 、3 、4 中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是 0 的．从 0 、1、 2 、3 、4 这五个数字中任选三个数字的排列数为 3 4P 个．三位数的个数是： 3 P 5 本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素． 5P ，其中首位是 0 的三位数有 2 5 4 3 4 3 48       (个)． (个)． 2 P 4 2 P 4 48 4  【答案】 48 【例 9】用 1、2、3、4、5、6 可以组成多少个没有重复数字的个位是 5 的三位数？【考点】简单排列问题【解析】个位数字已知，问题变成从从 5 个元素中取 2 个元素的排列问题，已知 5 【难度】3 星【题型】解答 n  ， 2m  ，根据排列数公式，一共可以组成 2 P    5 5 4 20 (个)符合题意的三位数．【答案】 20 【巩固】用 1、2、3、4、5、6 六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【考点】简单排列问题【解析】由于组成偶数，个位上的数应从 2 ， 4 ， 6 中选一张，有 3 种选法；十位和百位上的数可以从剩下的 (个)不同的偶数．． (种)选法．由乘法原理，一共可以组成 3 20 60 5 张中选二张，有 2 P    5 【题型】解答 5 4 20   【难度】3 星【答案】 60 【例 10】由 0 ， 2 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 组成无重复数字的数，四位数有多少个？【考点】简单排列问题【解析】方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为 4 P      ，由于 0 不能在千位 6 5 4 3 60 上，而以 0 为千位数的四位数有 3 P     ，它们的差就是由 0 ， 2 ， 5 ， 6 ， 7 ，8 5 组成无重复数字的四位数的个数，即为： 360 60 300 6 5 4 3 360 【难度】3 星【题型】解答  个．  方法二：完成这件事——组成一个四位数，可分为 4 个步骤进行，第一步：确定千位数；第二步：确定百位数；第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确定了，思维过程如下： 7-4-1.简单的排列问题.题库教师版 page 4 of 7

根据乘法原理，所求的四位数的个数是： 5 5 4 3 300     【答案】 300 (个)．【例 11】用1 、 2 、 3 、 4 、 5 这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个 3 的倍数？【考点】简单排列问题【解析】按位数来分类考虑：【难度】4 星【题型】解答 ⑴ 一位数只有1个 3 ； ⑵ 两位数：由1与 2 ，1与 5 ， 2 与 4 ， 4 与 5 四组数字组成，每一组可以组成 2 P    (个)不同 2 2 1 2 的两位数，共可组成 2 4 8   (个)不同的两位数； ⑶ 三位数：由1 ， 2 与 3 ；1 ， 3 与 5 ； 2 ， 3 与 4 ； 3 ， 4 与 5 四组数字组成，每一组可以组成 3 2 1 6 3 P     (个)不同的三位数，共可组成 6 4 3 (个)不同的三位数；   ⑷ 四位数：可由1， 2 ， 4 ， 5 这四个数字组成，有 4 4 3 2 1 24 P      4 ⑸ 五位数：可由1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 组成，共有 5 5 4 3 2 1 120 P       5 由加法原理，一共有1 8 24 24 120 177 (个)能被 3 整除的数，即 3 的倍数．   24   (个)不同的四位数； (个)不同的五位数．【答案】177  【例 12】用 1、2、3、4、5 这五个数字可组成多少个比 20000 大且百位数字不是 3 的无重复数字的五位数？【考点】简单排列问题【解析】可以分两类来看：【难度】4 星【题型】解答 4 3 2 1 24 (种)放法，对应 24 个不同的五位数； ⑴ 把 3 排在最高位上，其余 4 个数可以任意放到其余 4 个数位上，是 4 个元素全排列的问题，有 4 P      4 ⑵ 把 2，4，5 放在最高位上，有 3 种选择，百位上有除已确定的最高位数字和 3 之外的 3 个数字可以选择，有 3 种选择，其余的 3 个数字可以任意放到其余 3 个数位上，有 3 P  种选择．由乘法原 3 理，可以组成 3 3 6 54 由加法原理，可以组成 24 54 78 (个)不同的五位数．  (个)不同的五位数．    6  【答案】 78 【巩固】用 0 到 9 十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则 5687 是第几个数？【考点】简单排列问题【解析】从高位到低位逐层分类：【难度】4 星【题型】解答 ⑴ 千位上排1， 2 ， 3 或 4 时，千位有 4 种选择，而百、十、个位可以从 0 ~ 9 中除千位已确定的数字之外的 9 个数字中选择，因为数字不重复，也就是从 9 个元素中取 3 个的排列问题，所以百、十、个位可有 3 P     9 ⑵ 千位上排 5 ，百位上排 0 ~ 4 时，千位有1种选择，百位有 5 种选择，十、个位可以从剩下的八个 (种)排列方式．由乘法原理，有 4 504 9 8 7 504 (个)． 2016   7-4-1.简单的排列问题.题库教师版 page 5 of 7

数字中选择．也就是从 8 个元素中取 2 个的排列问题，即 2 P    ，由乘法原理，有 8 1 5 56   8 7 56 (个)． 280  ⑶ 千位上排 5 ，百位上排 6 ，十位上排 0 ，1， 2 ，3 ， 4 ，7 时，个位也从剩下的七个数字中选择，有1 1 6 7     42 (个)． ⑷ 千位上排 5 ，百位上排 6 ，十位上排 8 时，比 5687 小的数的个位可以选择 0 ，1，2 ，3 ，4 共 5 个．综上所述，比 5687 小的四位数有 2016 280 42 5 2343 (个)，故 5687 是第 2344 个四位数．     【答案】 2344 【例 13】用数字 l～8 各一个组成 8 位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是 3 的倍数．共有___ 种组成方法．【考点】简单排列问题【难度】4 星【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛，第 7 题【解析】l～8 中被三除余 1 和余 2 的数各有 3 个，被 3 整除的数有两个，根据题目条件可以推导，符合条件的排列，一定符合“被三除所得余数以 3 位周期”，所以 8 个数字，第 1、4、7 位上的数被 3 除同余，第 2、5、8 位上的数被 3 除同余，第 3、6 位上的数被 3 除同余，显然第 3、6 位上的数被 3 整除，第 1、4、7 位上的数被 3 除可以余 1 也可以余 2，第 2、5、8 位上的数被 3 除可以余 2 可以余 1，余数的安排上共有 2 种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有 3！×3！×2！=144 种方法. 【答案】144 种【例 14】由数字 0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列．2008 排在【考点】简单排列问题【解析】比 2008 小的 4 位数有 2000 和 2002 ，比 2008 小的 3 位数有 2 3 3 18 【难度】4 星    （种），比 2008 小的 2 位数有【题型】解答个． 2 3 6   （种），比 2008 小的1位数有 2 （种），所以 2008 排在第 2 18 6 2 1 29     （个）．  【答案】 29 【例 15】千位数字与十位数字之差为 2（大减小)，且不含重复数字的四位数有多少个? 【考点】简单排列问题【解析】千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为 2 【题型】解答 9: ，对应的十位数字取 0 【难度】4 星 7: ，每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的 8 个数字中选出 2 个作百位和个位就 7: ，十位数字行了，因此总共有取 3 【答案】 840 8 P 个这样的四位数．⑵千位数字小于十位数字，千位数字取1 2 8 7 P 个这样的四位数．所以总共有  个这样的四位数． 9: ，共有   840 2 P 8 2 P 8 2 8 8 7  模块四、排列之策略问题【例 16】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非 0 数码组成，且四个数码之和是 9 ，那么确保打开保险柜至少要试几次？【难度】4 星【考点】简单排列问题【解析】四个非 0 数码之和等于 9 的组合有 1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，【题型】解答 3；2，2，2，3 六种．第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑 6 的位置就可以了，6 可以任意选择 4 个位置中的一个，其余位置放1，共有 4 种选择；第二种中，先考虑放 2 ，有 4 种选择，再考虑 5 的位置，可以有 3 种选择，剩下的位置放1 ，共有 (种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12 种选择．最后一种，与第一种的 4 3 12   情形相似， 3 的位置有 4 种选择，其余位置放 2 ，共有 4 种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成 4 12 12 12 12 4 56 保险柜至少要试 56 次． (个)不同的四位数，即确保能打开       【答案】 56 【例 17】幼儿园里的 6 名小朋友去坐 3 把不同的椅子，有多少种坐法？【考点】简单排列问题【题型】解答【解析】在这个问题中，只要把 3 把椅子看成是 3 个位置，而 6 名小朋友作为 6 个不同元素，则问题就可以转【难度】3 星化成从 6 个元素中取 3 个，排在 3 个不同位置的排列问题． 7-4-1.简单的排列问题.题库教师版 page 6 of 7

由排列数公式，共有： 3 P     6 6 5 4 120 (种)不同的坐法．【答案】120 【巩固】幼儿园里 3 名小朋友去坐 6 把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【解析】与例 5 不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把 6 把椅子看成是 6 个元素，而把 3 名小朋友作为 3 个【难度】3 星【题型】解答位置，则问题转化为从 6 把椅子中选出 3 把，排在 3 名小朋友面前的排列问题．由排列公式，共有： 3 P     6 (种)不同的坐法． 6 5 4 120 【答案】120 【巩固】 10 个人走进只有 6 辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【解析】把 6 辆碰碰车看成是 6 个位置，而10 个人作为10 个不同元素，则问题就可以转化成从10 个元素中取【难度】3 星【题型】解答 6 个，排在 6 个不同位置的排列问题．共有 6 P  10 【答案】151200 10 9 8 7 6 5 151200       (种)不同的坐法．【例 18】一个篮球队有五名队员 A ， B ， C ， D ， E ，由于某种原因， E 不能做中锋，而其余 4 个人可以分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？【考点】简单排列问题【解析】方法一：此题先确定做中锋的人选，除 E 以外的四个人任意一个都可以，则有 4 种选择，确定下【题型】解答【难度】3 星来以后，其余 4 个人对应 4 个位置，有 4 P      4 4 24 96  ，故一共有 96 种不同的站位方法．  4 3 2 1 24 (种) 排列．由乘法原理，方法二：五个人分配到五个位置一共有 5 P       5 5 4 3 2 1 120 (种)排列方式，则 E 不能做中锋一共有 5 P 5 4 P 4  (种)排列方式， E 能做中锋一共有  种不同的 120 24 96  4 3 2 1 24 4 P      4 站位方法．【答案】 96 【例 19】小明有 10 块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法? 【考点】简单排列问题【解析】我们将 10 块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中 9 个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将 lO 块【难度】3 星【题型】解答糖分成了两部分．我们记从左至右,第 1 部分是第 1 天吃的,第 2 部分是第 2 天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了 3 粒,第二天吃了剩下的 7 粒： ○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了 4 粒,第二天吃了 3 粒,第三天吃了剩下的 3 粒．不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而 9 个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有 29=512 种不同的插入方法,即 512 种不同的吃法．【答案】512 7-4-1.简单的排列问题.题库教师版 page 7 of 7

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