3-3-2 行程综合问题.教师版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：1.14M 资料格式：doc 举报版权申诉

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行程综合问题教学目标 1. 运用各种方法解决行程内综合问题。 2. 发现一些综合问题中，行程与其它模块的联系，并解决奥数综合问题。知识精讲行程问题是奥数中的一个难点，内容多而杂。而在行程问题中，还有一些尤其复杂的综合问题。它们大致可以分为两类：一、行程内综合，把行程问题中的一些零散的知识点综合在一道题目中，这就是一道行程内综合题目。例如把环形跑道和猎狗追兔结合在一起，把流水行船和发车间隔结合起来等等。二、学科内综合，这种问题就不只是行程问题了，把行程问题和其它知识模块里的思想方法结合在一起，这种综合性题目的难度也很大，比如行程与策略综合等等。本讲内容主要就是针对这种综合性题目。虽然题目难度偏大，但是这种题目在杯赛和小升初试题中是很受“偏爱”的。所以很重要。模块一、行程内综合【例 1】邮递员早晨 7 时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走 12 千米上坡路，8 千米下坡路。他上坡时每小时走 4 千米，下坡时每小时走 5 千米，到达目的地停留 1 小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局? 【难度】2 星【考点】变速问题与走停问题【解析】法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。①邮递员到达对面山里需时间： 12÷4+8÷5=4.6(小时);②邮递员返回到邮局共用时间：8÷4+12÷5+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时)③ 邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时).邮递员是下午 5 时回到邮局的。法二：从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用时间为：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10(小时)，邮递员是下午 7+10-12=5(时) 回到邮局的。【题型】解答【答案】5 时【例 2】小红上山时每走 30 分钟休息 10 分钟，下山时每走 30 分钟休息 5 分钟．已知小红下山的速度是上山速度的1.5 倍，如果上山用了 3 小时 50 分，那么下山用了多少时间？【考点】变速问题与走停问题【解析】上山用了 3 小时 50 分，即 60 3 50   【难度】2 星  230 (分)，由 230 【题型】解答 30 10 30   ） 5   （，得到上山休息了 5 次，走了 230 10 5 180 (分)．由120 30    4  ( 分) ．因为下山的速度是上山的 1.5 倍，所以下山走了 180 1.5 120    知，下山途中休息了 3 次，所以下山共用120 5 3 135    (分) 2 小时 15 分．【答案】 2 小时 15 分【例 3】已知猫跑 5 步的路程与狗跑 3 步的路程相同；猫跑 7 步的路程与兔跑 5 步的路程相同．而猫跑 3 步的时间与狗跑 5 步的时间相同；猫跑 5 步的时间与兔跑 7 步的时间相同，猫、狗、兔沿着 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版 page 1 of 13

周长为 300 米的圆形跑道，同时同向同地出发．问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？【考点】环形跑道与猎狗追兔【解析】方法一：由题意，猫与狗的速度之比为 9 : 25 ，猫与兔的速度之比为 25: 49 ．【题型】解答【难度】5 星狗追上猫一圈需设单位时间内猫跑 1 米，则狗跑 25 9 675 4 625 2 兔追上猫一圈需 25 9 49 25 300 300             1 1       米，兔跑 49 25 米．单位时间，单位时间．猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是 675 4 的整数倍，又是 625 2 的整数倍． 675 4 与 625 2 的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数，即    675 625 4 2 ,      675,625   4,2   16875 2  8437.5 ．上式表明，经过 8437.5 个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇．此时，猫跑了 8437.5 米，狗跑了 8437.5  25 9  23437.5 米，兔跑了 8437.5  49 25  16537.5 米．方法二：根据题意，猫跑 35 步的路程与狗跑 21 步的路程、兔跑 25 步的路程相等；而猫跑 15 步的时间与狗跑 25 步、兔跑 21 步的时间相同．所以猫、狗、兔的速度比为 15 25 21 35 21 25 ，它们的最大公约数为 : :    15 25 21 35 21 25 , ,      15,25,21  35,21,25    1 3 5 5 7    ，即设猫的速度为 15 35  1 3 5 5 7     225 ，那么狗的速度为 25 21  1 3 5 5 7     625 ，则兔的速度为 21 25  1 3 5 5 7     441 ．于是狗每跑 300 (625 225)    单位时追上猫； 3 4 兔每跑 300 (441 225)    单位时追上猫． 25 18 而    3 25 , 4 18       3,25 4,18    75 2 ，所以猫、狗、兔跑了 75 2 单位时，三者相遇．猫跑了 75 225 8437.5   2 【答案】16537.5 米米，狗跑了 75 625  2  23437.5 米，兔跑了 75 441 16537.5   2 米．【例 4】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 24 秒同时回到原地。求甲原来的速度。【考点】环形跑道与变速问题【解析】因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒，则相遇前两人和跑一圈也用 24 秒。以甲为研究对象，甲以原速 V 跑了 24 秒的路程与以（V +2 ）跑了 24 秒的【难度】3 星【题型】解答 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版 page 2 of 13

路程之和等于 400 米，24V +24（V +2 ）=400 易得 V = 【答案】 17 3 米/秒 17 3 米/秒【例 5】环形跑道周长是 500 米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑 120 米，乙每分跑 100 米，两人都是每跑 200 米停下休息 1 分。甲第一次追上乙需多少分？【考点】环形跑道与变速问题【解析】55 分。解：甲比乙多跑 500 米，应比乙多休息 2 次，即 2 分。在甲多休息的 2 分内，乙又跑了 200 米，所以在与甲跑步的相同时间里，甲比乙多跑 500＋200＝700（米），甲跑步的时间为 700÷ （120－100）＝35（分）。共跑了 120×35＝4200（米），中间休息了 4200÷200－1＝ 20（次），即 20 分。所以甲第一次追上乙需 35＋20＝55（分）。【题型】解答【难度】3 星【答案】55 分【例 6】甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度是甲的 2.5 倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高 25% ，而乙的速度立即减少 20% ，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距 100 米，那么这条环形跑道的周长是米． A C B 【考点】环形跑道与变速问题【解析】如图，设跑道周长为 1，出发时甲速为 2，则乙速为 5．假设甲、乙从 A 点同时出发，按逆时针方向跑．由于出发时两者的速度比为 2 : 5 ，乙追上甲要比甲多跑 1 圈，所以此时甲跑了 1 (5 2) 2   ，乙的速；此时双方速度发生变化，甲的速度变为 2 (1 25%) 【题型】解答   2.5  【难度】2 星度变为 5 (1 20%)  ，此时两者的速度比为 2.5: 4 5:8  ；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑 1 4 2 3   ，乙跑了 5 3     ，这个 5 3 5 3  1 (8 5) 5  圈，则此次甲跑了环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是 5 3 能是 5 3   个周长． 1 3 2 那么，这条环形跑道的周长可能为 100 【答案】 300 米 2 3   米或 150 100   米． 300 1 3 就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程．从 21   个周长，又可 3 【例 7】如图所示，甲、乙两人从长为 400 米的圆形跑道的 A 点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部分）道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒 8 米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒 4 米。两人一直跑下去，问：他们第 99 次迎面相遇的地方距 A 点还有米。 A 【考点】环形跑道与变速问题【解析】本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间【题型】解答【难度】2 星 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版 page 3 of 13

也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到 A 点，即两人在 A 点迎面相遇，然后再从 A 点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期．在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相遇，再回到出发点是第四次相遇……可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是 A 点．本题要求的是第 99 次迎面相遇的地点与 A 点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与 A 点的距离．对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到    米，此时两人相距 100 米，且之间全是泥泞道路，此跑完正常道路时，乙才跑了 200 8 4 100 时两人速度相同，所以再各跑 50 米可以相遇．所以第一次相遇时乙跑了100 50 150   米，这就是第一次相遇点与 A 点的距离，也是第 99 次迎面相遇的地点与 A 点的距离．【答案】150 米【例 8】甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的 2/3.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了 1/3；乙跑第二圈时速度提高了 1/5．已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米，那么这条椭圆形跑道长多少米? 【考点】环形跑道与变速问题【解析】设甲跑第一圈的速度为 3，那么乙跑第一圈的速度为 2，甲跑第二圈的速度为 4，乙跑第二圈的速【题型】解答【难度】3 星度为 12 5 .如下图：第一次相遇地点逆时针方向距出发点 3 5 在乙接下来跑了 1 3 的跑道长度．有甲回到出发点时，乙才跑了 2 3    圈．所以还剩下 1 2 4 3 跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了 1 3 的速度相对而跑，所以乙跑了 1 3 甲以 4 的速度，乙以 12 5 12   5  圈．即第一次相遇点与第二次相遇点相差 3 遇点逆时针方向距出发点 1 8 5 19  40 椭圆形跑道的长度为  米． 12   5  2 3  4     1 8 19 40 190 400 的跑道长度. 的跑道长度，     圈.也就是第二次相 1 8   圈，所以，这条【答案】 400 米【例 9】如图 3-5,正方形 ABCD 是一条环形公路．已知汽车在 AB 上时速是 90 千米，在 BC 上的时速是 120 千米，在 CD 上的时速是 60 千米,在 DA 上的时速是 80 千米．从 CD 上一点 P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在 AB 中点相遇．如果从 PC 的中点 M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在 AB 上一点 N 相遇．问 A 至 N 的距离除以 N 至 B 的距离所得到的商是多少? 【考点】环形跑道与变速问题【解析】如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形 ABCD 的边长为单位“1”. 【题型】解答【难度】2 星 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版 page 4 of 13

 PD DA AO 60 90 有甲从 P 到达 AB 中点 O 所需时间为 1 80 PD 60 乙从 P 到达 AB 中点 O 所需时间为 PD  60 PC BC BO 60 90 120 80     1 120  0.5 90 .  0.5 90 . = 1 80 1 120 PC  60 有甲、乙同时从 P 点出发,则在 AB 的中点 O 相遇,所以有： PD  60 且有 PD=DC-PC=1-PC,代入有 1 所以 PM=MC= 5 16 现在甲、乙同时从 PC 的中点出发,相遇在 N 点,设 AN 的距离为 x . ,解得 PC= 5 8 ,DP= 3 8 PC 60 PC 60 1 120 1 80   . . 有甲从 M 到达 N 点所需时间为 MD DA AN 60 90 80   5 3 8 16  60  1 80  ； x 90  5 16 60 MC CB 60 120   BN 90   1 120  1 x 90 .  1 x 90 ，解得 x  1 32 .即 AN= 1 32 . 乙从 M 到达 N 点所需时间为 3 5 8 16   60 x  有 90 所以 AN÷BN 1  32 1 80   5 16 60 31  32  1 120 1 31 【答案】 1 31 【例 10】一条环形道路，周长为 2 千米．甲、乙、丙 3 人从同一点同时出发，每人环行 2 周．现有自行车 2 辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已知甲步行的速度是每小时 5 千米，乙和丙步行的速度是每小时 4 千米，3 人骑车的速度都是每小时 20 千米．请你设计一种走法，使 3 个人 2 辆车同时到达终点．那么环行 2 周最少要用多少分钟? 【考点】环形跑道与变速问题【解析】如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间 1 20 【题型】解答【难度】4 星；乙、丙情况类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程，耽搁的时间比为：    1 5  1 20   :     1 4  1 20     3: 4 而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等．于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即为 4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为 4:3:3．因为有 3 人，2 辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长．于是，甲步行的距离为 2× 所以甲需要时间为( 0.8 5 环形两周的最短时间为 19.2 分钟． =0.8 千米；则骑车的距离为 2×2-0.8=3.2 千米；   )×60=19.2 分钟 4 3 3 3.2 20 4  3-3-2.比例解行程问题.题库学生版 page 5 of 13

参考方案如下：甲先步行 0.8 千米，再骑车 3.2 千米；乙先骑车 2.8 千米，再步行 0.6 千米，再骑车 0.6 千米(丙留下的自行车) ；丙先骑车 3.4 千米，再步行 0.6 千米．【答案】19.2 分钟【例 11】甲、乙两人在 400 米圆形跑道上进行 10000 米比赛．两人从起点同时同向出发，开始时甲的速度为每秒 8 米，乙的速度为每秒 6 米．当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少 2 米，乙的速度每秒减少 0.5 米．这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速度每秒增加 O.5 米，直到终点．那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米? 【考点】环形跑道与变速问题【解析】对于这道题只能详细的分析逐步推算，以获得解答．【难度】4 星【题型】解答先求出当第一次甲追上乙时的详细情况，因为甲乙同向，所以为追击问题．甲、乙速度差为 8-6=2 米／秒，当甲第一次追上乙时，甲应比乙多跑了一圈 400 米，即甲跑了 400÷2×8=1600 米，乙跑了 400÷2×6=1200 米．相遇后，甲的速度变为 8-2=6 米／秒，乙的速度变为 6-0.5=5．5 米／秒·显然，甲的速度大于乙，所以仍是甲超过乙．当甲第二次追上乙前，甲、乙速度差为 6-5.5=0.5 米／秒，追上乙时，甲应在原基础上再比乙多跑一圈 400 米，于是甲又跑了 400÷0.5×6=4800 米，乙又跑了 400÷0.5×5.5=4400 米．甲第二次追上乙后，甲的速度变为 6-2=4 米／秒，乙的速度变为 5.5-0.5= 5 米／秒．显然，现在乙的速度大于甲，所以变为乙超过甲．当乙追上甲时，甲、乙速度差为 5-4=1 米／秒，乙追上甲时，乙应比甲多跑一圈 400 米，于是甲又跑了 400÷1×4=1600 米，乙又跑了 400÷1×5=2000 米．。这时甲的速度变为 4+0.5=4.5 米／秒，乙的速度变为 5+0.5=5.5 米／秒并以这样的速度跑完剩下的全程．在这过程中甲共跑了 1600+4800+1600=8000 米，乙共跑了 1200+4400+2000=7600 米．甲还剩下 10000-8000=2000 米的路程，乙还剩下 10000-7600=2400 米的路程．显然乙先跑完全程，此时甲还剩下 2000 4.5   2400 5.5  400 11  36 4 11 米的路程．即当领先者到达终点时，另一人距终点 436 11 评注：此题考察了我们的分析问题的能力，也考察了我们对追击这一基本行程问题的熟练程度. 米．【答案】 436 11 米【例 12】某人乘坐观光游船沿河流方向从 A 港前行．发现每隔 40 分钟就有一艘货船从后面追上游船，每隔 20 分钟就会有一艘货船迎面开过．已知 A 、B 两港之间货船发出的间隔时间相同，且船在静水中速度相同，均是水速的 7 倍．那么货船的发出间隔是____________分钟．【考点】流水行船与发车间隔【关键词】数学解题能力展示,高年级组,初试【解析】设水速为 v ，则船速为 7v ，顺水船速为 8v ，逆水船速为 6v ．设货船发出的时间间隔为 t ，则顺【题型】解答【难度】4 星水船距为 8vt ，逆水船距为 6vt ．设游船速度为 w ，则有  40 8  vt ．解得 28t  20 6  w v  w v      8 vt ，  6 v  v     ， 1.4w v    3-3-2.比例解行程问题.题库学生版 page 6 of 13

【答案】28 模块二、学科内综合【例 13】甲、乙两辆车从 A 城开往 B 城，速度是 55 于米／小时，上午 10 点，甲车已行的路程是乙车已行的路程的 5 倍：中午 12 点，甲车已行的路程是乙车已行的路程的 3 倍．问乙车比甲车晚出发多少小时？【考点】行程问题与差倍问题【关键词】希望杯，四年级，二试【解析】行程与和差倍问题路程差不变，画图求解【难度】2 星【题型】解答图中粗线是 10 点到 12 点 2 小时走的路程为 1 份，从图中可以看出甲比乙多走 4 份．则乙车比甲车晚出发 8 小时．（注，此题所求的是时间差，不需要将速度带入．）【答案】8 小时【例 14】张明和李军分别从甲、乙两地同时相向而行。张明平均每小时行 5 千米；而李军第一小时行 1 千米，第二小时行 3 千米，第三小时行 5 千米，……（连续奇数）。两人恰好在甲、乙两地的中点相遇。甲、乙两地相距多少千米? 【难度】2 星【题型】解答    若干个奇数相加，结果为中间数×个数，而张平走的路程为 5×   （小时），      ，那么两个人分别走了 25 5 5 25 【考点】行程问题与数列综合【解析】因为李军走的路程为：1 3 5 小时数，所以知道李军走的路程为：1 3 5 7 9 所以路程为： 25 2 50   （千米）。【答案】 50 千米【巩固】甲、乙两个电动玩具车同时从轨道的两端相对而行，甲车每秒行 5 厘米，乙车第一秒行 1 厘米，第二秒行 2 厘米，第三秒行 3 厘米，……，这样两车相遇时，走的路程相同。则轨道长_____厘米。【考点】行程问题与数列综合【关键词】希望杯，五年级，一试【解析】路程相同，时间相同，甲乙的平均速度是一样的，1、2、3、4、5、6、7、8、9，乙走了 9 秒，【题型】填空【难度】2 星距离为 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 厘米，轨道长 90 厘米。【答案】90 厘米【巩固】龟兔赛跑，全程 5.2 千米，兔子每小时跑 20 千米，乌龟每小时跑 3 千米．乌龟不停地跑；但兔子却边跑边玩，它先跑了 1 分钟然后玩 15 分钟，又跑 2 分钟然后玩 15 分钟，再跑 3 分钟然后玩 15 分钟，……．那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟? 【考点】行程问题之数列综合【解析】乌龟到达终点所需时间为 5.2÷3×60=104 分钟．【难度】3 星【题型】填空兔子如果不休息，则需要时间 5.2÷20×60=15.6 分钟．而兔子休息的规律是跑 1、2、3、…分钟后，休息 15 分钟．因为 15.6=1+2+3+4+5+0.6，所以兔子休息了 5×15=75 分钟，即兔子跑到终点所需时间为 15．6+75=90．6 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版 page 7 of 13

分钟．显然，兔子先到达，先乌龟 104-90.6=13.4 分钟达到终点．【答案】兔子先到达，先乌龟 104-90.6=13.4 分钟达到终点【例 15】科技小组演示自制机器人，若机器人从点 A 向南行走 1.2 米，再向东行走 1 米，接着又向南行）走 1.8 米，再向东行走 2 米，最后又向南行走 1 米到达 B 点，则 B 点与 A 点的距离是（米。（A）3 （D）7 【题型】选择（B）4 （C）5 【难度】2 星【考点】行程问题与几何综合【关键词】华杯赛，初赛【解析】 C 【答案】 C 【例 16】两条公路成十字交叉，甲从十字路口南 1200 米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出发 10 分后，两人与十字路口的距离相等，出发后 100 分，两人与十字路口的距离再次相等，此时他们距十字路口多少米？【难度】2 星【考点】行程问题与几何综合【关键词】希望杯，六年级，二试【解析】5400 米。解：如右图所示，出发后 10 分两人与十字路口距离相等，相当于两人相距 1200 米，10 分后相遇，两人的速度和为 1200÷10=120（米）.出发后 100 分两人再次与十字路口距离相等，相当于两人相距 1200 米，100 分后甲追上乙。由此推知两人的速度差为 1200÷100＝12（米）。乙每分行（120－12）÷2=54（米），出发 100 分后距十字路口 5400 米。【题型】解答【答案】5400 米【例 17】如图 6，迷宫的两个入口处各有一个正方形（甲）机器人和一个圆形机器人（乙），甲的边长和乙的直径都等于迷宫入口的宽度。甲和乙的速度相同，同时出发，则首先到达迷宫中心（☆）处的是。入口乙 ☆ 甲入口【考点】行程问题与几何综合【关键词】希望杯，六年级，一试【难度】2 星【题型】解答【解析】甲、乙两机器人走的路程就是正方形，和圆的中心所走的路程，他们走的直线路程都相等，只是在拐弯时圆能滚动，如左下图可以由实线位置滚动到虚线位置，这样正方形中心在拐弯时走的是折线部分，圆的中心在拐弯时走的是弧线部分，如右下图，所以是乙先到达 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版 page 8 of 13

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