5-3-1 质数与合数（一）.教师版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：1.01M 资料格式：doc 举报版权申诉

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5-3-1.质数与合数（一）知识框架 1. 掌握质数与合数的定义 2. 能够用特殊的偶质数 2 与质数 5 解题 3. 能够利用质数个位数的特点解题 4. 质数、合数综合运用知识点拨一、质数与合数一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数。常用的 100 以内的质数：2、3、5、 7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计 25 个；除了 2 其余的质数都是奇数；除了 2 和 5，其余的质数个位数字只能是 1，3，7 或 9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数 2 的特殊性为考点. ⑵ 除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是 1，3，7 或 9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于 p 的质数 q(均为整数)，使得 q 能够整除 p，那么 p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于 p 的质数去除 p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的 p，我们可以先找一个大于且接近 p 的平方数 2K ，再列出所有不大于 K 的质数，用这些质数去除 p，如没有能够除尽的那么 p 就为质数.例如：149 很接近144 12 12  ，根据整除的性质 149 不能被 2、3、5、7、11 整除，所以 149 是质数.  例题精讲模块一、判断质数合数【例 1】下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中 56 个字第 1 行左边第一字起逐行逐字编为 1—56 号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【考点】判断质数合数【难度】1 星【题型】填空【解析】按要求编号排序，并画出质数号码： 6 7 8 4 5 2 3 9 17 18 16 10 11 12 美少年华朋会友，幼长相亲同切磋； 14 1 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多； 15 九天九霄志凌云，九七共庆手相握； 29 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌． 43 将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山． 13 31 45 32 46 33 47 34 48 35 49 30 44 36 50 37 51 38 52 39 53 40 54 41 55 22 28 42 56 23 24 25 26 27 19 20 21 【答案】少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山 5-3-1.质数与合数（一）.题库教师版 page 1 of 6

【例 2】著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于 4 的偶数都可以表示为两个质数的和”。如 6=3+3，12=5+7，等。那么，自然数 100 可以写成多少种两个不同质数的和的形式？请分别写出来（100=3+97 和 100=97+3 算作同一种形式）。【考点】判断质数合数【难度】2 星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 13 题，15 分【解析】逐一试验，可知：100 3 97 11 89 17 83 29 71 41 59            47 53  为所有符合条件的情况，所以共 6 种。【答案】 6 【例 3】在 19、197、2009 这三个数中，质数的个数是（）. （A） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【考点】判断质数合数【难度】2 星【题型】选择【关键词】华杯赛初赛第 4 题【解析】19 是常见的质数，197 容易检验知也是质数，本题主要是考查 2009 这个数是否是质数。实际上， 2009=7×41，是个合数，所以在 19，197，2009 这三个数中有 2 个质数。正确答案为 C。【答案】 C 【例 4】大约 1500 年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出 π 的值在 3.1415926 和 3.1415927 之间，成为世界上第一个把 π 的值精确到 7 位小数的人．现代人利用计算机已经将 π 的值计算到了小数点后 515 亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位 3 是质数，31 也是质数，但 314 不是质数，那么在 3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927 中，哪些是质数？．【考点】判断质数合数【难度】2 星【题型】填空【关键词】祖冲之杯【解析】注意到 3141，31415，3141592，31415926，31415927 依次能被 3，5，2，2，31 整除，所以，质数是 314159．【答案】质数是 314159 【例 5】用 L 表示所有被 3 除余 1 的全体正整数．如果 L 中的数(1 不算)除 1 及它本身以外，不能被 L 的任何数整除，称此数为“L—质数”．问：第 8 个“L—质数”是什么？【考点】判断质数合数【难度】2 星【题型】填空【关键词】保良局亚洲区城市小学数学邀请赛【解析】“L 数”为 1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，…．“L—质数”应为上列数中去掉 1，16， 28，…，即为 4，7，10，13，19，22，25，31，34，…．所以，第 8 个“L—质数”是 31．【答案】31 【例 6】 9 个连续的自然数，每个数都大于 80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组【考点】判断质数合数【难度】2 星【题型】解答【解析】我们知道任意连续 9 个自然数中最多有 4 个质数，本题考察对 100 以外的质数的熟练情况，有 101， 103，107，109 是 4 个质数。【答案】101，103，107，109 是 4 个质数【例 7】从 20 以内的质数中选出 6 个，然后把这 6 个数分别写在正方体木块的 6 个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？【考点】判断质数合数【难度】2 星【题型】解答【解析】小于 20 的质数有 2 ，3 ，5 ， 7 ，11，13 ，17 ，19 ，其中 5 19 7 17 11 13 【解析】      后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是 5 5 5 15 经试验，三个数的和可以是从15 到 57 的所有奇数，所有可能的不同值共有 22 个。    ，最大是19 19 19 57  .每个木块掷在地上  ，  【答案】22 【例 8】自然数 N 是一个两位数，它是一个质数，而且 N 的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？ 5-3-1.质数与合数（一）.题库教师版 page 2 of 6

【考点】判断质数合数【难度】2 星【题型】解答【关键词】全国小学奥林匹克【解析】这样的自然数有 4 个：23，37，53，73．【答案】4 【例 9】小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易 b ，而且 ab 和 ba 都是质数( a 和 b 是两个数字)．具有这种形记住，因为它的形式为 abba ，其中 a 式的数共有多少个？【考点】判断质数合数【难度】2 星【题型】解答【解析】若两位数 ab 、ba 均为质数，则 a 、b 均为奇数且不为 5，故有 1331，3113，1771，7117，7337，3773， 9779，7997 共 8 个数．【答案】8 【例 10】炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励 40 岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于 1982 年、2006 年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数 k，存在无穷多组含有 k 个等间隔质数(素数) k  时，3，5，7 是间隔为 2 的 3 个质数；5，11，17 是间隔为 6 的 3 个质数：的数组．例如， 3 是间隔为 12 的 3 个质数(由小到大排列，只写一组 3 个质数即可)．而，，【考点】判断质数合数【难度】3 星【题型】填空【关键词】南京市青少年“科学小博士”思维训练【解析】最小的质数从 2 开始，现要求每两个质数间隔 12，所以 2 不能在所要求的数组中．而且由于个位是 5 的质数只有一个 5，所以个位是 3 的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：【答案】5、17、29 答案不唯一【例 11】图中圆圈内依次写出了前 25 个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．甲填“和数” 5 8 12 ... ... ... ... ... 质数列 2 3 5 7 11 13 ... 89 97 ... 问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么? 乙填“积数” 35 15 ... 6 ... ... ... 【考点】判断质数合数【难度】3 星【题型】解答【关键词】华杯赛，口试【解析】质数中只有一个偶数 2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数 5 外，其余的均为不小于 8 的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数 6 外，其余所填的全是不小于 15 的奇数．所以甲填的数与乙填的数都不相同．【答案】质数中只有一个偶数 2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数 5 外，其余的均为不小于 8 的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数 6 外，其余所填的全是不小于 15 的奇数．所以甲填的数与乙填的数都不相同．【例 12】从 1～9 中选出 8 个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？【考点】判断质数合数【难度】3 星【题型】解答 5-3-1.质数与合数（一）.题库教师版 page 3 of 6

【关键词】全国小学数学奥林匹克【解析】由于质数除了2 以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列．切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选 9，第二位选 8，第三位最大可以选 7，但 7 与 8 之和不是质数，再改选 5，8 与 5 之和是质数，符合要求．第四位可选剩余的最大数字 6，如此类推……十位可选 3，个位选 2．所以，可以读到的最大数是 98567432．数字排列如下图． 3 2 4 9 7 8 6 5 【答案】98567432 【例 13】九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘 32 人的大巴前去参观兵马俑．如果打算每辆车坐 22 个人，就会有 1 个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人？原有多少辆大巴？【考点】判断质数合数【难度】3 星【题型】解答【关键词】祖冲之杯【解析】仍按每车坐 22 人计算，少开一辆车将有 23 人无座位，这些人刚好平均分乘余下的车，23 是质数，【解析】所以余下 23 辆车，原有 24 辆车，原有老人【答案】24 辆车，529 位老人 22 23 23 23    2  529 (个)．【例 14】一个两位数，数字和是质数．而且，这个两位数分别乘以 3，5，7 之后，得到的数的数字和都仍为质数．满足条件的两位数为【考点】判断质数合数【难度】4 星【题型】填空【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 4 题，8 分【解析】两位数乘以 3 之后，数字和一定被 3 整除。又因为是质数，所以只能是 3。有 102，111，120， 201， 5 倍 170 335 350 数字和 8（合） 7 倍数字和 11（质）469 8（合） 19（质） 210 这五种情况。依次分析： 3 倍数字和 7（质） 102 10（合） 111 4（合） 120 201 13（质） 210 7（质）所以，满足条件的两位数为 67 原数 34 37 40 67 70 【答案】 67 【例 15】三位数 A 满足：它的所有质因数之和是 26 。这样的三位数 A 有【考点】判断质数合数【难度】4 星【题型】填空【关键词】学而思杯，6 年级，1 试，第 6 题【解析】 26 以内的质数有 2 、 3 、 5 、 7 、11、13 、17 、19 、 23 ，所以这样的三位数有13 个。【答案】13 个。模块二、质数个位性质【例 16】哥德巴赫猜想是说：“每个大于 2 的偶数都可以袤示成两个质数之和”。问：168 是哪两个两位数的质数之和，并且其中的一个的个位数宇是 1? 【难度】2 星【题型】填空【考点】偶质数 2 【关键词】华杯赛初赛第 8 题【解析】个位数字是 1 的两位质数有：11，31，41，61，71，其中 168－11＝157，168－31＝137，168－41 ＝127 168－61＝107，都不是两位数，只有 168－71＝97 是两位数．而且是质数．所以 168＝71＋97 是唯一的解【答案】 71与 97 【例 17】有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数最小是______，最大是______。 5-3-1.质数与合数（一）.题库教师版 page 4 of 6

【考点】判断质数合数【难度】3 星【题型】解答【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 7 题【解析】数要最小，首先位数高的要尽可能的小，则最小的为 112，最大的为 711. 【关键词】最小的为 112，最大的为 711 【例 18】万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【考点】质数个位性质【难度】2 星【题型】解答【关键词】俄罗斯数学奥林匹克【解析】因为是质数所以个位数不可能为偶数 0，2，4，6，8 也不可能是奇数 5．如果末位数字是 3 或 9，那么数字和就将是 3 或 9 的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了．所以个位数只能是 7．这个三位质数可以是 167，257，347，527 或 617 中间的任一个．【答案】可以是 167，257，347，527 或 617 中间的任一个【例 19】从小到大写出 5 个质数，使后面数都比前面的数大 12.这样的数有几组？【考点】质数个位性质【难度】2 星【题型】解答【解析】考虑到质数中除了 2 以外其余都是奇数，因此这 5 个质数中不可能有 2；又质数中除了 2 和 5，其余质数的个位数字只能是 1、3、7、9.若这 5 个质数中最小的数其个位数字为 1，则比它大 24 的数个位即为 5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为 3，则比它大 12 的数个位即为 5，也不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是 7 和 9，因此最小的数只能是 5，这 5 个数依次是 5， 17，29，41，53.这样的数只有一组. 【答案】1 组【例 20】若 A 、1A 、 2A 都是质数，则 A  __________（1A 是指十位数字为 1，个位数字为 A 的两位数) 【考点】质数个位性质【难度】2 星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 2 题【解析】 A 是质数，只能为 2、3、5、7，但是 12、15、27 都不是质数，所以 A =3 【答案】 3 【例 21】已知 n ， 6n  ， 84 【考点】质数个位性质【难度】2 星【题型】填空【关键词】学而思杯，6 年级【解析】由于 6 ，84 ，102 ，218 除以 5 的余数分别为1，4 ，2 ，3 所以 n ， 6n  ， 84 n  都是质数，那么 n  n  ， 218 n  ， 102 。 n  ， 218 这 5 个数除以 5 的余数互不相同，那么其中必然有除以 5 余 0 的，也就是有 5 的倍数，而这 5 个数都是质数，那么只能是 5 。由于 6n  ， 84 n  都比 5 大，所以 n 为 5 。 n  ， 218 n  ， 102 n  ， 102 n  【答案】5 【例 22】某质数加 6 或减 6 得到的数仍是质数，在 50 以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来. 【考点】质数个位性质【难度】2 星【题型】解答【解析】有六个这样的数，分别是 11，13，17，23，37，47. 【答案】6 个，11，13，17，23，37，47. 【例 23】有三张卡片，它们上面各写着数字 1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来. 【考点】质数个位性质【难度】3 星【题型】解答【解析】抽一张卡片，可写出一位数 1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数 12，13，21，23，31，32；抽三张卡片，可写出三位数 123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为 6，都能被 3 整除，所以都是合数.这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31. 【答案】2，3，13，23，31 【例 24】用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数. 【考点】质数个位性质【难度】3 星【题型】解答【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有 2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下 1、4、6、 5-3-1.质数与合数（一）.题库教师版 page 5 of 6

8、9 这 5 个不是质数的数字未用．有 1、4、8、9 可以组成质数 41、89，而 6 可以与 7 组合成质数 67．所以这 9 个数字最多可以组成 6 个质数。【答案】6 【巩固】用 0-9 这 10 个数字组成若干个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和最小是【巩固】【考点】质数个位性质【难度】3 星【题型】填空【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 4 题，10 分【解析】 2+3+5+67+89+401=567. 【答案】 567 。【例 25】用 0～9 这 10 个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是 ________．【考点】质数个位性质【难度】3 星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初试，第 5 题）【解析】根据题意，这些合数之和要尽量的小，首先要选择这些合数中是本身是合数的，有 4、68、9，还剩【解析】下 0、1、2、3、5、7 这六个数构成两位数为合数，让十位上的数尽量的小，则为 1、2、3，个位上的数有 0、5、7，根据题意，10、27、35 或 15、27、30 均为合数，所以合数的最小值为： 4+6+8+9+10+27+35=99。【答案】 99 【例 26】用数字卡片 1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，7，9，9（不允许把 6 倒过来当作 9，也不许把 9 倒过来当作 6）组成七个不同的两位质数，这七个质数之和等于________．【考点】质数个位性质【难度】3 星【题型】填空【关键词】学而思杯，5 年级，第 2 题【解析】 23,29 ； 53,59 ； 41,47 ； 61 和为 23 29 53 59 41 47 61 313 【答案】 313        【例 27】如果一些不同质数的平均数是 21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？【考点】质数个位性质【难度】3 星【题型】解答【解析】如果想使得这些质数中最大的一个尽可能大，那么一定要求这些质数在满足平均数为 21 的条件下数【解析】量尽可能多，且比 21 大的质数只能有一个。21 以下的质数有 2，3，5，7，11，13，17，19，则说明这些质数最多可能有 8+1=9 个，则大于 21 的那个数为 21+19+18+16+14+10+8+4+2=112 ，但 112 不是质数。分析原因，发现在上面算式中有一个除了 21 以外的奇数 19，使得结果为偶数，说明在原来的一组质数中不能有 2，否则无法使得比 21 大的数是质数。去掉 2 再次求和为 112-19=93，仍然不是质数，则可以做微调 93-4=89，即在原来的一组质数中再去掉一个 17 即可，这组数为 3，5， 7，11，13，19，89，最大的一个是 89。【答案】89 【例 28】如果某整数同时具备如下三条性质：① 这个数与 1 的差是质数，②这个数除以 2 所得的商也是质数，③这个数除以 9 所得的余数是 5，那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数【考点】质数个位性质【难度】3 星【题型】解答【解析】由条件②可知，所求的数是偶数，因此可设所求的幸运数是质数 p 的两倍，即此幸运数为 2 p ，则 p 的所有可能取值为 5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。于是 2 p -1 的所有可能取值为 9，13，21，25，33，37，45，57，61，73，81，85，93。根据题目条件①，2 p -1 应为质数，因此 2 p -1 只可能为 13，37，61 或 73。再由条件③知 2 p -1 除以 9 所得的余数应为 4，于是 2 p -1 只可能是 13，从而这个幸运数只能是 2 p =14。【答案】14 5-3-1.质数与合数（一）.题库教师版 page 6 of 6

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