3-1-4 多次相遇和追及问题.教师版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：1.58M 资料格式：doc 举报版权申诉

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3-1-4 多次相遇和追及问题教学目标 1. 学会画图解行程题 2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题 3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题知识精讲板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“ 路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复   杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．【例 1】甲、乙两名同学在周长为 300 米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑 3.5 米，乙每秒钟跑 4 米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【难度】1 星【考点】行程问题【解析】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的 10 倍，为 300 10 3000 米，因为甲的速度为每秒钟跑 3.5 米，乙的速度为每秒钟跑 4 米，所以这段时间内甲共行了米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了 200 米，可知甲还需行 3000 【题型】解答     3.5 4 1400 3.5   米才能回到出发点．  【答案】100 米 300 200 100 【巩固】甲乙两人在相距 90 米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒 3 米，乙的速度是每秒 2 米．如果他们同时分别从直路两端出发，10 分钟内共相遇几次？【难度】1 星【题型】解答【考点】行程问题【解析】17 【答案】17 【考点】行程问题【解析】176 【答案】176 【巩固】甲、乙两人从 400 米的环形跑道上一点 A 背向同时出发，8 分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走 0.1 米，那么两人第五次相遇的地点与点 A 沿跑道上的最短路程是多少米? 【难度】2 星【题型】解答【例 2】甲、乙二人从相距 60 千米的两地同时相向而行，6 时后相遇。如果二人的速度各增加 1 千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点 1 千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？【考点】行程问题【解析】甲、乙两人的速度和第一次为 60÷6=10（千米／时），第二次为 12（千米/时），故第二次出发后 5 时相遇。设甲第一次的速度为 x 千米／时，由两次相遇的地点相距 1 千米，有 6x－5（x＋1）＝ ±1，解得 x＝6 或 x＝4，即甲、乙二人的速度分别为 6 千米／时和 4 千米／时。【题型】解答【难度】3 星【答案】甲、乙二人的速度分别为 6 千米／时和 4 千米／时板块二、运用倍比关系解多次相遇问题【例 3】上午 8 点 8 分，小明骑自行车从家里出发，8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好 3-1-4.多次相遇与追及问题.题库教师版 page 1 of 17

是 8 千米，这时是几点几分？【考点】行程问题【解析】画一张简单的示意图：【难度】2 星【题型】解答图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是 4 ＋ 8＝ 12（千米）. 这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑 8 千米，爸爸可以骑行 8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了 8 分钟，骑行了 4＋12＝16 （千米）. 少骑行 24-16＝8（千米）.摩托车的速度是 8÷8=1（千米/分），爸爸骑行 16 千米需要 16 分钟. 8＋8＋16＝32.所以这时是 8 点 32 分。【答案】8 点 32 分【例 4】甲、乙两车同时从 A 地出发，不停的往返行驶于 A，B 两地之间。已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中 C 地。问：甲车的速度是乙车的多少倍？【考点】行程问题【解析】2 倍。解：如下图所示，因为每次相遇都共行一个来回，所用时间相等，所以乙车两次相遇走的 , 乙走了 . 第一次相遇时，甲走了路程相等，即【题型】解答 AB BC AC AB AB  【难度】3 星  4 3  2 CB 2 3 ,所以甲车速度是乙车的 2 倍。 , 推知 AC  AC  2 3 AB 【答案】 2 倍【例 5】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了 100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【考点】行程问题【解析】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完 1 2 【难度】3 星【题型】解答圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙＝ 3 2 圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为 1：3，因而第二次相共走完 1+ 1 2 遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的 3 倍，即 100×3=300 米．有甲、乙第二次相遇时，共行走(1 圈－60)+300，为 3 2 圈，所以此圆形场地的周长为 480 米．【答案】480 米 3-1-4.多次相遇与追及问题.题库教师版 page 2 of 17

【巩固】 A、B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在 C 点第一次相遇，在 D 点第二次相遇．已知 C 离 A 有 75 米，D 离 B 有 55 米，求这个圆的周长是多少米？【难度】3 星【题型】解答【考点】行程问题【解析】340 【答案】340 【巩固】如右图，A，B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在 C 点第一次相遇，在 D 点第二次相遇。已知 C 离 A 有 80 米，D 离 B 有 60 米，求这个圆的周长。【难度】3 星【考点】行程问题【解析】第一次相遇，两人共走了 0.5 圈；第二次相遇，两人共走了 1.5 圈。因为 1.5÷0.5＝3，所以第二次 ( 米) ，推知相遇时甲走的路程是第一次相遇时甲走的路程的 3 倍，即   3 240  AB (米)，圆周长为180 2 360   （米）。【题型】解答 240 BD  ACD AC    180  【答案】360 米【巩固】在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过 4 分甲到达 B 点，又过 8 分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分？【考点】行程问题【解析】由题意知，甲行 4 分相当于乙行 6 分。从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，【题型】解答【难度】3 星而乙行 12 分相当于甲行 8 分，所以甲环行一周需 12＋8＝20（分），乙需 20÷4×6＝30（分）。【答案】20 分，30 分板块三、多次相遇与全程的关系 1. 两地相向出发：第 1 次相遇，共走 1 个全程；第 2 次相遇，共走 3 个全程；第 3 次相遇，共走 5 个全程； …………， ………………；第 N 次相遇，共走 2N-1 个全程；注意：除了第 1 次，剩下的次与次之间都是 2 个全程。即甲第 1 次如果走了 N 米，以后每次都走 2N 米。 2. 同地同向出发：第 1 次相遇，共走 2 个全程；第 2 次相遇，共走 4 个全程；第 3 次相遇，共走 6 个全程； …………， ………………；第 N 次相遇，共走 2N 个全程； 3-1-4.多次相遇与追及问题.题库教师版 page 3 of 17

3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差【例 6】甲、乙两车分别同时从 A、B 两地相对开出，第一次在离 A 地 95 千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离 B 地 25 千米处相遇．求 A、B 两地间的距离是多少千米？【考点】行程问题【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：【题型】解答【难度】2 星 95千米甲车 A 25千米 B 乙车第1次相遇第2次相遇可以发现第一次相遇意味着两车行了一个 A、B 两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个 A、B 两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个 A、B 两地间的距离时，甲车行了 95 千米，当它们共行三个 A、B 两地间的距离时，甲车就行了 3 个 95 千米，即 95×3=285（千米），而这 285 千米比一个 A、B 两地间的距离多 25 千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．【答案】260 千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 4 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 3 千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离. 【考点】行程问题【解析】4×3=12 千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距 B 地的 3 千米，所【题型】解答【难度】2 星以全程是 12-3=9 千米，所以两次相遇点相距 9-（3+4）=2 千米。【答案】2 千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 7 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 5 千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离. 【难度】2 星【题型】解答【考点】行程问题【解析】4 千米【答案】4 千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 6 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 4 千米处第二次相遇，求两人第 5 次相遇地点距 B 多远. 【难度】2 星【题型】解答【考点】行程问题【解析】12 千米【答案】12 千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 7 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 3 千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米. 【难度】2 星【题型】解答【考点】行程问题【解析】90 千米【答案】90 千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 3 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 2 千米处第二次相遇，求第 2000 次相遇地点与第 2001 次相遇地点之间的距离. 【考点】行程问题【难度】2 星【题型】解答 3-1-4.多次相遇与追及问题.题库教师版 page 4 of 17

【解析】4 千米【答案】4 千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 18 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 13 千米处第二次相遇，求 AB 两地之间的距离. 【难度】2 星【题型】解答【考点】行程问题【解析】41 千米【答案】41 千米【巩固】甲、乙两车同时从 A，B 两地相向而行，在距 B 地 54 千米处相遇。他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距 A 地 42 千米处相遇。求两次相遇地点的距离。【考点】行程问题【解析】24 千米。提示：第一次相遇两车共行了 A， B 间的一个单程，其中乙行了 54 千米；第二次相遇两车共行了 A，B 间的 3 个单程，乙行了 54×3＝162（千米），乙行的路程又等于一个单程加 42 千米。故 A，B 间的距离为 162－42＝120（千米）。【题型】解答【难度】2 星【巩固】湖中有 A，B 两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从 A，B 两岛同时出发，他们第一次相遇时距 A 岛 700 米，第二次相遇时距 B 岛 400 米。问：两岛相距多远？【难度】2 星【题型】解答【答案】120 千米【考点】行程问题【解析】1700 米。【答案】1700 米【例 7】 A、B 两地相距 2400 米，甲从 A 地、乙从 B 地同时出发，在 A、B 间往返长跑。甲每分钟跑 300 米，乙每分钟跑 240 米，在 30 分钟后停止运动。甲、乙两人在第几次相遇时 A 地最近？最近距离是多少米？【难度】3 星【考点】行程问题【关键词】希望杯，五年级，二试【解析】30×(300+240)÷2400=6.75 个全程，相遇 3 次，把全程分成 9 份，第一次相遇，甲跑 5 份，第二次相遇甲跑 15 份，距离 A3 份，第三次相遇甲跑 25 份距离 A7 份，所以第二次相遇距离 A 最近，最近为 2400÷9×3=800 米。【题型】解答【答案】800 米【巩固】 A、B 两地相距 950 米。甲、乙两人同时由 A 地出发往返锻炼半小时。甲步行，每分钟走 40 米；乙跑步，每分钟行 150 米。则甲、乙二人第___ __次迎面相遇时距 B 地最近。【难度】3 星【题型】填空【考点】行程问题【关键词】希望杯，六年级，二试【解析】半小时，两人一共行走 40 150    30 5700  米，相当于 6 个全程，两人行程每 2 个全程就会有一次相遇，而两人的速度比 15：4，所以相同时间内两人的行程比为 15：4，那么第一次相遇甲走个全程，第三次 24 了全程的 4 15 4 19  个全程，第二次相遇甲总行程 16 19 ，距离 B 11 19 距离 B 3 19 8 19   2 距离 5 19 【答案】第二次个全程，所以甲、乙两人第二次迎面相遇时距离 B 地最近。【例 8】如图 8，甲、乙两艘快船不断往返于 A、B 两港之间。若甲、乙同时从 A 港出发，它们能否同时到达下列地点？若能，请推出它们何时到达该地点；若不能，请说明理由：（1）A 港口； 3-1-4.多次相遇与追及问题.题库教师版 page 5 of 17

（2）B 港口；（3）在两港口之间且距离 B 港 30 千米的大桥。【考点】行程问题【关键词】希望杯。五年级。二试【解析】（1）甲往返一次的时间是【难度】4 星 180  30 10  180  30 0  13 5  . h  ，乙往返一次的时间是【题型】解答 180   180     . h 5  ， 0 50 50 10 13.5 和 7.5 的最小公倍数是 67.5， , , 1 2 所以，在甲、乙出发后的 . 67 5  a a   小时，它们又同时回到 A 港。（5 分）  （2 ）设甲、乙能同时到达 B 港，此时，甲、乙各完成了 ,m n 次往返（ ,m n 是自然数），则有 180  30 10 即  . 13 5 m 9 m   180  50 10 n   。 1 5 . 7 5 n 当 m 的个位数是 6 或 1 时，有满足上式的自然数 n 。，最小的=1,最少需要 4.5+13.5=18 小时。则在甲、乙出发后 18+67.5 小时，它们同时到达港口。（10 分）（3）设甲、乙能同时到达大桥，且分别完成了 ,m n 次往返（ ,m n 是自然数）。 ①若此时甲、乙向下游行驶，则  . 13 5 m  150  50 10  . 7 5 n ， 150  30 10 m  135 n 即 75 没有满足上式的自然数 ,m n 。 ②若此时甲、乙向上游行驶，则 . 12 5  ，  30   ，即没有满足上式的自然数 ,m n 。 180  30 10 m  135 30 10 . 22 5 75  n . 13 5 m  180  50 10  30  50 10  . 7 5 n ， ③若此时甲向上游行驶，乙向下游行驶，则 150  . 13 5 50 10 m    180  27 30 10 m 30  30 10 n 7 15 即没有满足上式的自然数 ,m n 。    . 7 5 n ④若此时甲向下游行驶，乙向上游行驶，则 . 13 5 m  180  50 10  30  50 10  . 7 5 n  150  30 10 5m n 9 即当 m 的个位数是 0 或 5 时，有满足上式的自然数 n ，所以在甲、乙出发后的 150  30 10  c 13 5 5  .  . . 3 75 67 5   c c  , , , 0 1 2   小时，它们同时到达大桥。 3-1-4.多次相遇与追及问题.题库教师版 page 6 of 17

【答案】（1）  a a   小时  . 67 5 , , 1 2 （2）18+67.5 小时（3） .  150  30 10 c 13 5 5   . . 3 75 67 5   c c  , , , 0 1 2  小时  【例 9】甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池 50 米泳道的两端同时开始游，直到一方追上另一方为止，追上者为胜。已知甲、乙的速度分别为 1.0 米／秒和 0.8 米／秒。问：（1）比赛开始后多长时间甲追上乙？（2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？【考点】行程问题【解析】（1）250 秒；（2）4 次。提示：（2）甲、乙分别游了 5 个和 14 个单程，故迎面相遇 4 次。【答案】（1）250 秒；（2）4 次【题型】解答【难度】3 星【例 10】甲、乙两车分别从 A，B 两地出发，并在 A，B 两地间不断往返行驶。已知甲车的速度是 15 千米／时，乙车的速度是 25 千米／时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差 100 千米。求 A，B 两地的距离。【考点】行程问题【解析】200 千米。第一次相遇时，两车共走1 个单程，其中乙车占 15 15 25  【题型】解答【难度】3 星  3 8 。第三次相遇时，两车共   （个）单程；第四次相遇时，两车共走 7 个单程，乙车走了 3 走 5 个单程，乙车走了 3   8 8 （个）单程；因为第三次、四次相遇地点相差 7 8 5 8    （个）单程，所以 A ， B 两地相距 11 2 5 8 7 8 7 5 1 2 100 1 2 【答案】200 千米   （千米）。 200 【例 11】欢欢和乐乐在操场上的 A、B 两点之间练习往返跑，欢欢的速度是每秒 8 米，乐乐的速度是每秒 5 米。两人同时从 A 点出发，到达 B 点后返回，已知他们第二次迎面相遇的地点距离 AB 的中点 5 米， AB 之间的距离是________。【难度】3 星【题型】填空【考点】行程问题【关键词】学而思杯，4 年级【解析】130 米。第二次应面相遇，两人合计跑了 4 个全程，速度比试 8:5 ，所以欢欢跑了 8  13 4  32 13  2 6 13 全程为 5     1 6 2 13      130 米【答案】130 米【例 12】甲、乙两车同时从 A、B 两地相对亦开出，两车第一次距 A 地 32 千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自达到 B、A 两地后，立即沿原路返回，第二次在距 A 地 64 千米处相遇，则 A、B 两地间的距离是__________千米。【难度】3 星【题型】填空【考点】行程问题【关键词】希望杯，6 年级，二试【解析】第一次相遇，两车行驶的距离总和等于 AB 两地距离；第二次相遇，两车行驶的距离总和等于 AB 两地距离的三倍。所以，第二次相遇时，两车各自行驶的距离也分别等于第一次相遇时行驶的距离的三倍。第一次相遇时，甲车行驶 32 千米；第二次相遇时，甲车行驶全程的二倍减 64 千米。所以，全程的二倍减 64 千米等于 96 千米，全程为 80 千米。【答案】 80 3-1-4.多次相遇与追及问题.题库教师版 page 7 of 17

【例 13】小明和小红两人在长 100 米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为 6 米/秒，小红的速度为 4 米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了 12 分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？【难度】3 星【题型】解答【考点】行程问题（） (秒)．此后，两人每相遇【解析】第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：100  一次，就要合跑 2 倍的跑道长，也就是每 20 秒相遇一次，除去第一次的 10 秒，两人共跑了 (秒)．求出 710 秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总次数．列 12 60 10 710 （） (秒)， 12 60 10 (次)。注：解式计算为：100 6 4  决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．，共相遇 35 1 36  ）（） 35 10   10 2    6 4  10 10 （         【答案】36 次【例 14】 A 、 B 两地间有条公路，甲从 A 地出发，步行到 B 地，乙骑摩托车从 B 地出发，不停地往返于 A 、B 两地之间，他们同时出发，80 分钟后两人第一次相遇，100 分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达 B 地时，乙追上甲几次？【难度】3 星【题型】解答【考点】行程问题【解析】甲 A F E 第一次相遇第一次追上 B 乙  (分钟)内所走的路程恰等于由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100 80  )分钟内所走的路程，因此，乙的速线段 FA 的长度再加上线段 AE 的长度，即等于甲在( 80 100 度是甲的 9 倍( 180 20 (分钟)乙第一次追上甲时，所用的时间为 100 分钟，且与甲的路程差为一个 AB 全程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个 AB 全程，因此，追及时间也变为 200 分钟( 100 2  )，所以，在甲从 A 到 B 的 800 分钟内，乙共有 4 次追上甲，即在第 100 分钟，300 分钟，500 分钟和 700 分钟． )，则 BF 的长为 AF 的 9 倍，所以，甲从 A 到 B ，共需走80 (1 9) 800   20     【答案】第 100 分钟，300 分钟，500 分钟和 700 分钟【例 15】甲、乙两人分别从 A 、 B 两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的 2 3 ，二人相遇后继续行进，甲到 B 地、乙到 A 地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是 100 千米，那么， A 、 B 两地相距千米．【难度】4 星【考点】行程问题【解析】由于甲、乙的速度比是 2 : 3 ，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是 2 : 3 ．第一次相遇时，两人共走了一个 AB 的长，所以可以把 AB 的长看作 5 份，甲、乙分别走了 2 份和 3 份；第二次相遇时，甲、乙共走了三个 AB ，乙走了 2 3 6   份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个 AB ，   份．乙第二次和第三次相距 10－6=4（份）所以一份距离为：100÷4=25（千米），乙走了 2 5 10 那么 A 、 B 两地距离为：5×25＝125（千米）【题型】填空【答案】125 千米【巩固】小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地 3 千米处相遇，第二次在距甲地 6 千米处相遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为千米．【考点】行程问题【解析】由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以【题型】填空【难度】3 星两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及． ①如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在 A 处相遇，第二次在 B 处相遇．由于第一次相遇时两人合走 1 个全程，小王走了 3 千米；从第一次相遇到第二次相遇，两人合走 2 个   千米，由于 A 、 B 之间的距离也是 3 千米，所以 B 与乙地的全程，所以这期间小王走了 3 2 6 距离为 (6 3) 2 1.5   千米，甲、乙两地的距离为 6 1.5 7.5  千米；   3-1-4.多次相遇与追及问题.题库教师版 page 8 of 17

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