整数裂项 知识点拨 整数裂项基本公式 (1) 1 2 2 3 3 4 ...        ( n 1)   n  1 ( 3 n 1)    n ( n  1) (2) 1 2 3 2 3 4 3 4 5 ...           ( n  2)  ( n 1)    n 1 4 ( n  2)( n  1) ( n n  1) 例题精讲        【例 1】 1 2 2 3 3 4 【考点】整数裂项 【解析】这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。 【解析】  【难度】3 星 =_________ 49 50 【题型】计算  49 50        设 S＝1 2 2 3 3 4 1×2×3＝1×2×3 2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3 3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4…… 49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50 3S＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51 S＝49×50×51÷3＝41650 【答案】 41650                  【巩固】1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 【巩固】 【考点】整数裂项 【解析】本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然 【解析】 【难度】3 星  ________ 【题型】计算 n       1  1  n n 不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：  n n 所以原式 1 3 1 2 3        1 3 9 10 11  3 1   3  2 3 4  1 3  n n  n n      n 1 3 1 3  n       1 1 2 1 2 1    n            n n 1  ，      8 9 10 1 3           1 2 3 1 9 10 11 330    3  另解：由于  1 n n n   原式     2 2 1 2 1 2       2 1 2 9 2 1          2 2 2 n  ，所以 9     2  9    9 1 6 1 2 2 3         采用此种方法也可以得到 【答案】 330 9 10 19     9 10  330  n    n  1   n n  1  n  2  这一结论． 1 3 1 2       【例 2】 1 4 4 7 7 10 【考点】整数裂项 【解析】设 S＝1 4 4 7 7 10 【解析】       【难度】3 星  49 52     49 52 =_________ 【题型】计算 1-2-2-2.整数裂项.题库 教师版 page 1 of 4 

1×4×9＝1×4×7＋1×4×2 4×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7 7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10 …………. 49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×52 9S＝49×52×55＋1×4×2 S=（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572 【答案】15572    【难度】3 星  n    n 1 2   n   2          【例 3】 1 2 3 2 3 4 3 4 5 【考点】整数裂项 【解析】   1 n n 【解析】 原式 1         4  1 9 10 11 12    4 1 2 3 4  n n 1 4 1 4     2970 9 10 11   3    n  1 4 1 4 【题型】计算   n n  n 1  1  ，所以， 2  1 4                   2 3 4 5 1 2 3 4   9 10 11 12       8 9 10 11  1 4     n n  1  n  2  n  3  1 4 从中还可以看出， 1 2 3 2 3 4 3 4 5           n    n  1    n  2   【答案】 2970 【例 4】 计算：1 3 5 3 5 7 【考点】整数裂项 【解析】可以进行整数裂项．          【难度】3 星 17 19 21   ． 【题型】计算 3 5 7    5 7 9    3 5 7 9 1 3 5 7        8 5 7 9 11 3 5 7 9        8 ， ， 17 19 21    17 19 21 23 15 17 19 21        8 ， 所以原式     1 3 5     1 3 5 3 5 7 9 1 3 5 7        17 19 21 23 1 3 5 7       8  8        17 19 21 23 15 17 19 21  8 17 19 21 23 1 3 5         19503  8 也可适用公式． 原式   3 2  3     3 2     5 2   5    5 2       19 2    19   19 2       2 3  2 2    3  2 5  2 2    5    19 2  2 2   19 3 3  3 5    3 19  4    3 5     19    3 1  3 3  3 5    3 19        1 3 5 4   19   3 而 3 1  3 3  3 5    3 19   3 1  3 2  3 3    3 20   3  2  3 4  3 6    3 20  2 20   1 4 1 3 5    8    1 4 19 10   2 21   2 10  2 11  19900 ， 2  100 ，所以原式 19900 4 100 3      19503 ． 1-2-2-2.整数裂项.题库 教师版 page 2 of 4 

  70 76 82 76 82 88   【题型】计算           16 22 28 34 10 16 22 28    76 82 88 94 70 76 82 88               10 16 22 28      24  24    24   24     16 22 28 34       24  24  70 76 82 88   64 70 76 82   76 82 88 94   70 76 82 88  【答案】19503     【巩固】计算：10 16 22 16 22 28 【巩固】 【考点】整数裂项 【解析】可进行整数裂项：   【难度】3 星     = 原式 10 16 22 28 4 10 16 22    70 76 82 88 64 70 76 82            10 16 22 28        24  24 4 10 16 22    = =  24  24  24   24  24  24       24 76 82 88 94   4 10 16 22   76 82 88 94 4 10 16 22    = =2147376 【答案】 2147376             【巩固】计算：1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 【巩固】 【考点】整数裂项 【解析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上， 【解析】 97 98 99 100   【题型】计算 【难度】3 星     再进行计算． 记原式为 A ，再设 2 3 4 5 4 5 6 7 6 7 8 9 则 B                97 98 99 100    A B  1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6                1 97 98 99 100 101 1901009880   5      ， 96 97 98 99   ， 现在知道 A 与 B 的和了，如果能再求出 A 与 B 的差，那么 A 、 B 的值就都可以求出来了． A B                      97 98 99 100      1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 4 (1 2 3 3 4 5 5 6 7 ... 97 98 99)              2  98 (98 4       4 (2 98)      1)   98 ) 4 (2 4 6    1) 4 (4    3 6    1) 6 (6    3   1)     2 2 2 3 2 (2  3 4  1 4 4 8 所以，  A  【答案】 974510040     2 49 2  50    4  48010200 1901009880 48010200  2 974510040 ． 1 2  100 49        【例 5】 2004 2003 2003 2002 2002 2001 2001 2000   【难度】3 星 【考点】整数裂项 【解析】原式 2003 2 2001 2      【解析】  1 3 5          1002 2 1 2003      2001 2003  2 2 2008008      3 2 1 2    2 1    【题型】计算 其中也可以直接根据公式 1 3 5    【答案】 2008008   2001 2003 1002  1 3 5 7      2    2 1n    2 n 得出 【例 6】 1 1! 2 2! 3 3!       【考点】整数裂项   2008 2008!  【难度】4 星  【题型】计算 1-2-2-2.整数裂项.题库 教师版 page 3 of 4 

【解析】观察发现 2 2! 2 2 1 (3 1) 2 1 3! 2! 【解析】           ，       ，……  3 3! 3 3 2 1 (4 1) 3 2 1 4! 3!       2 1 2008 2008! 2008 2008 2007     可见，原式 1!      (2009 1) 2008 2007       (3! 2!) (2! 1!)           2 1 2009! 2008! ， (2009! 2008!)   2009! 【答案】 2009! 【例 7】 计算： 1 2 3 4 5 6       2 3 4 5      99 100      98 99 【难度】5 星       99 100 101 98 99 100         【题型】计算   A B 【考点】整数裂项 【解析】设原式= B A 1 2 2 3 3 4 98 99 99 100         1 1 2 3 0 1 2          3 1 99 100 101 333300   3 1 2 3 2 B A        333300 5000 B 333300 5000 A 99 2 50 100 5000  3383 3283 2 3 4 1 2 3                     【答案】 3383 3283 1-2-2-2.整数裂项.题库 教师版 page 4 of 4