6-1-21 鸡兔同笼问题（一）.教师版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：1.57M 资料格式：doc 举报版权申诉

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6-1-9.鸡兔同笼问题（一）教学目标 1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”. 2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象．知识精讲一、鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1500 年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有 35 个头；从下面数，有 94 只脚．求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？二、解鸡兔同笼的基本步骤解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由 94 只变成了 47 只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1．因此，脚的总只数 47 与总头数 35 的差，就是兔子的只数，即 47 35 12  （只）．显然，鸡的只数就是 35 12  （只）了． 23   这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”．假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到．解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有：鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的 2 倍当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的 2 倍在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法例题精讲模块一、两个量的“鸡兔同笼”问题——鸡兔同笼问题【例 1】鸡兔同笼，头共 46 ，足共128 ，鸡兔各几只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】1 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】假设 46 只都是兔，一共应有 4 46 184  是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多 4 2 脚是我们把 56 2   只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是 28 ，兔的只数是 46 28 18 28   只脚，这和已知的128 只脚相比多了184 128 56  教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 1  只脚，这   （只）脚，那么 56 只  （只）．当 2

然，这里我们也可以假设 46 只全是鸡！鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解假设法．【答案】鸡 28 只，兔18 只【巩固】点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有 35 个头， 94 只脚．问：点点家养的鸡和兔各有多少只？   47   (只)，所以有12 只兔子，有 35 12 【考点】鸡兔同笼问题【难度】1 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】方法一：我们假设，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都是两条后腿，像人一样用 (只)．在 47 这个数中，鸡的两只脚站着．现在，地面上出现的脚是总数的一半，也就是 94 2 头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次，因此从 47 减去总头数 35 ，剩下的就是兔子头数， (只)鸡． 47 35 12 23 (只)脚，比 94 只脚多了140 94 方法二：假设 35 只都是兔子，那么就有 35 4 140 (只) 23 鸡比兔子少 4 2 方法三：还可以假设 35 只都是鸡，那么共有脚 2 35 70     (只)脚，那么共有兔子 24 2 12 每只鸡比兔子少 4 2   方法一可以归结为：总脚数 2  总头数  兔子数．能够这样算，主要是利用了兔和鸡的脚数分别为 4 和 2 ，而且 4 是 2 的 2 倍．方法二说明假设的 35 只兔子中有 23 只不是兔子，而是鸡．由此可以列出公式：鸡数  (兔脚数 总头数  总脚数)  (兔脚数  鸡脚数) 方法三说明假设的 35 只鸡中有12 只是兔．由此可以列出公式：兔数  (总脚数  鸡脚数  总头数)  (兔脚数  鸡脚数) (只)，比 94 只脚少了 94 70 (只)．   (只)脚，那么共有鸡 46 2       (只)．每只 (只)脚， 46 24 2 2     【答案】鸡 23 只，兔12 只【巩固】鸡兔共有 45 只，关在同一个笼子中．每只鸡有两条腿，每只兔子有四条腿，笼中共有100 条腿．试计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】1 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】⑴假设法：若假设所有的 45 只动物都是兔子，那么一共应该有 4 45 180 (条)腿．而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有 80 2    180 100 80 兔子，所以共有 40 只鸡，有 45 40 5    (只)兔子． (条)腿，比实际多算 (只)鸡被当作了 40   注意：假设为兔子时，按照“多算的腿数”计算出的是鸡的数目；假设为鸡时，按照“少算的腿数” 计算出的是兔子的数目．同学们可以自己来做一下当假设为鸡时的算法． ⑵“金鸡独立”法（砍足法）：假设所有的动物都只用一半的腿站立，这样就出现了鸡都变成了“金鸡独立”，而兔子们都只用两条腿站立的“奇观”．这样就有一个好处：鸡的腿数和头数一样多了；而每只兔子的腿数则会比头数多1．因此，在腿的数目都变成原来的一半的时候，腿数比头数多多少，就有多少只兔子．原来有 (条)腿，比头数多 100 只腿，让兔子都抬起两只腿，鸡抬起一只腿，则此时笼中有100 2 50 50 45 5  ，所以有 5 只兔子，另外 40 只是鸡．    【答案】鸡 40 只，兔 5 只【巩固】老虎和鸡共 l0 只，脚共 26 只．鸡（）只．【考点】鸡兔同笼问题【难度】1 星【题型】填空【关键词】走美杯，3 年级，初赛【解析】这属于鸡兔同笼问题，每只老虎有 4 只腿，每只鸡有 2 只腿。假设 10 只都是鸡，那么老虎的只数是：（26－2×10）÷（4-2）=3 只，鸡有 10-3=7（只）。【答案】鸡 7 只【例 2】动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有 36 只眼睛和 52 只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？【考点】鸡兔同笼问题【难度】1 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象的总数为：36 2 18 一样也有 4 只脚，则应该有 (4 18 )72 则鸵鸟数为 20 2 10   （只），大象数为18 10 8    （头）．  只脚，多了 (72 52 )20  只脚，由假设引起的差值：4 2    ，假设鸵鸟和大象   ， 2 教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 2

【答案】鸵鸟10 只，大象 8 头【例 3】一队猎手一队狗，两队并着一起走。数头一共一百六，数脚一共三百九，则有名猎手，只狗。【考点】鸡兔同笼问题【难度】1 星【题型】填空【关键词】希望杯，4 年级，1 试【解析】如果全是猎手则有脚 320 个，多出的 390-320=70 个脚是狗多出来的，所以狗有 70÷2=35 条，猎手有 160-35=125 个. 【答案】125 个【例 4】动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚 208 只，鸵鸟比梅花鹿多 20 只，梅花鹿和鸵鸟各有多少只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的 20 只的脚数得： 208 20 2 168 (只)．这168 只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数(注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同)脚数的和，一只 (只)，从而鸵鸟的梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是： 2 4 6 (只) （本题也可给学生讲成“捆绑法”，一鸡一兔一组，这个怎么分组时有倍数只数是：28 20  关系得到的）   (只)，所以梅花鹿的只数是：168 6     28 48   【答案】梅花鹿 28 只，鸵鸟 48 只【巩固】一个养殖园内，鸡比兔多 36 只，共有脚 792 只，鸡兔各几只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】已知鸡比兔多 36 只，如果把多的 36 只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的 36 只鸡有 2 36 72  （只）脚，一只鸡与一只兔有 6 只脚，那么兔有 720 6 120     （只）脚，可知现在剩下 792 72 720 （只），鸡有120 36 156 【答案】兔有120 只，鸡有156 只。  （只）．   【巩固】鸡、兔同笼，鸡比兔多 26 只，足数共 274 只，问鸡、兔各几只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】这道例题是已知鸡、兔的脚数和，鸡比兔多的只数，求鸡、兔各几只．我们假设鸡与兔只数一样多，   （只），鸡兔  （只），每一对鸡、兔共有足： 2 4 6 222 那么现在它们的足数一共有： 274 2 26 共有对数（也就是兔子的只数）： 222 6 37     （只），则鸡有 37 26 63  （只）．  【答案】兔子 37 只，鸡有 63 只【例 5】鸡兔同笼，鸡、兔共有107 只，兔的脚数比鸡的脚数多 56 只，问鸡、兔各多少只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】这道例题和前面的例题有所不同，前面的题是已知头数之和和脚数之和求各有几只，而这道题是已   （只），这时鸡脚、兔脚一样多．知头数之和和脚数之差，这样就比前面的例题增加了一点难度．我们用两种方法来解这道题．（方法一）考虑如果补上鸡脚少的 56 只的话，那么就要增加 56 2 兔共有107 28 135 已知一只鸡的脚数是一只兔的一半，而现在鸡脚、兔脚相同，可知鸡的只数是兔的 2 倍，根据和倍问题有：兔有：135 (2 1) （方法二）不妨假设107 只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：107 4   （只），而鸡的脚数为零．这样兔脚比鸡脚多 428 只，而实际上只多 56 只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多： 428 56 372  （只）．现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少 4 只，鸡脚增加 2 只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少 4 2 6   （只），鸡有：135 45 28 62   （只）．鸡的只数： 372 6 62   （只）兔的只数：107 62   （只）鸡．这样一来，鸡、  （只）或者107 45 62  （只）  （只） 428 28 45 45       【答案】兔有 45 只，鸡有 62 只。【巩固】鸡、兔共 100 只，鸡脚比兔脚多 20 只.问：鸡、兔各多少只? 【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 3

【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】假设 100 只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 200 只，而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多 200 只，而 (只).现在以兔换鸡，每   (只)，而实际上只多 20 只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多 200 20 180 换一只，鸡脚减少 2 只，兔脚增加 4 只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少 4 2 6 180 6 30   ，因此有兔子 30 只，鸡100 30 70 (只).     【答案】兔子 30 只，鸡 70 只. 【巩固】鸡、兔共 60 只，鸡脚比兔脚多 60 只．问：鸡、兔各多少只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】假设 60 只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120 只，而兔的脚数为零．这样鸡脚比兔脚多120 只，而 (只)．现在以兔换鸡，   (只)，而实际上只多 60 只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多120 60 60 每换一只，鸡脚减少 2 只，兔脚增加 4 只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少 4 2 6 60 6 10   ，因此有兔子10 只，鸡 60 10 50 (只)．     【答案】兔子10 只，鸡 50 只. 【巩固】鸡、兔共有 27 只，兔的脚比鸡的脚多 18 只。兔有【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】填空【关键词】假设思想方法，整体思想，2004 年，第 2 届，走美杯，3 年级，决赛【解析】如果 27 只都是兔，那么有 108 只脚，兔脚比鸡脚多 108 只，每用 1 只兔换 1 只鸡，兔脚与鸡脚的差只。将减少 6 只，所以有鸡 90 6 15   只，兔子 12 只。【答案】12 只【例 6】鸡与兔共 100 只,鸡的脚数比兔的脚数少 28.问鸡与兔各几只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】解一:假如再补上 28 只鸡脚,也就是再有鸡 28÷2=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚 4÷2=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的 2 倍. 兔的只数是 (100+28÷2)÷(2+1)=38(只). 鸡是 100-38=62(只). 当然也可以去掉兔 28÷4=7(只).兔的只数是 (100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只). 也可以用任意假设一个数的办法. 解二:假设有 50 只鸡,就有兔 100-50=50(只).此时脚数之差是 4×50-2×50=100, 比 28 多了 72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是 100, 一只兔换成一只鸡,少了 4 只兔脚,多了 2 只鸡脚,相差为 6 只(千万注意,不是 2). 因此要减少的兔数是 (100-28)÷(4+2)=12(只). 兔只数是 50-12=38(只). 【答案】鸡是 62 只，兔是 38 只. 【例 7】每只完整的螃蟹有 2 只鳌、8 只脚。现有一批螃蟹，共有 25 只鳌，120 只脚。其中可能有多少缺鳌只。少脚的，但每只螃蟹至少保留 1 只鳌、4 只脚。这批螃蟹最多有只，至少有【考点】鸡兔同笼问题【难度】3 星【题型】填空【关键词】走美杯，3 年级，初赛【解析】若要螃蟹尽量多，那么螃蟹的鳌和脚要尽量少，光看鳌的话，鳌最少为 1，螃蟹最多为 25 只，只看   只，所以螃蟹最多为 25 只，同理若要螃蟹尽量少，那   只，只看脚的话，脚最脚的话，脚最少为 4，螃蟹最多为120 4 30 么螃蟹的鳌和脚要尽量多，光看鳌的话，鳌最多为 2，螃蟹最少为12 1 13 多为 8，螃蟹最少为120 8 15   只，所以螃蟹最少为 13 只。【答案】螃蟹最少13 只，最多 25 只模块二、两个量的“鸡兔同笼”问题——变例【例 8】在一个停车场上，现有车辆 41 辆，其中汽车有 4 个轮子，摩托车有 3 个轮子，这些车共有127 个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 4

【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】假设都是三轮摩托车，应有 3 41 123   三轮摩托车，会减少 4 3 1 者假设都是汽车，应有 4 41 164  (辆)．所以摩托车有 37 (4 3) 37       (个)轮子．汽车有 4 1 4 (个)轮子，少了127 123 4   (辆)；从而求出三轮摩托车有 41 4 37  (个)轮子．每把一辆汽车假设为 (辆)．或    (个)轮子，多了164 127 37   (个)轮子；【答案】 37 辆【巩固】某玩具店新购进飞机和汽车模型共 30 个，其中飞机模型每个有 3 个轮子，汽车模型每个有 4 个轮子，这些玩具模型共有110 个轮子。则新购进的飞机模型有________个。【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第 17 题【解析】假设 30 个模型都是汽车，那么就有 30×4=120 个轮子，少了 120-110=10（个），每个飞机比汽车少 1 个轮子，那么有飞机模型：10÷1=10（个）【答案】10 个【例 9】体育老师买了运动服上衣和裤子共 21 件，共用了 439 元，其中上衣每件 24 元、裤子每件19 元，问老师买上衣和裤子各多少件？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】假设买的都是上衣，那么裤子的件数为：(24 21 439) 【答案】裤子13 件，上衣 8 件.    (24 19) 13  （件），上衣：21 13 8  （件）．   【例 10】 100 名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有 41 组。问：高、低年级学生各多少人? 【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第 8 题【解析】如全为高年级学生，则只需 41×2＝82（人），实际 100 人，100－82＝18（人），所以有 18 组低年级学生，41－18＝23 组高年级学生，高年级学生为 23×2＝46（人），低年级学生为 18×3＝54（人）。【答案】高年级 46 人，低年级 54 人【巩固】三(1)班有象棋、飞行棋共14 副，恰好可供全班 40 名同学同时进行活动．象棋要 2 人下一副，飞行棋要 4 人下一副，则飞行棋和象棋各有几副？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】假设只有飞行棋，那么一共有14 4 56 副象棋，就会少 4 2 【答案】飞行棋 6 副，象棋 8 副   （名）同学参与活动，多出 56 40 16    （名）同学，可知一共有16 2 8   （副）象棋，14 8 6 2  （名）同学，多一   （副）飞行棋．【例 11】某学校有 30 间宿舍，大宿舍每间住 6 人，小宿舍每间住 4 人．已知这些宿舍中共住了 168 人，那么其中有多少间大宿舍？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】如果 30 间都是小宿舍，那么只能住 4 30 120 ）   （人），所以大宿舍有 168 120 多住 6 4 （ 2  【答案】 24 间  （人），而实际上住了 168 人．大宿舍比小宿舍每间   （间）． 24 2 【巩固】王老师带了 41 名同学去北海公园划船，共租了10 条船．每条大船坐 6 人，每条小船坐 4 人，问大船、小船各租几条？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】我们分步来考虑：教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 5

①假设租的10 条船都是大船，那么船上应该坐 6 10  ②假设后的总人数比实际人数多了 60 (41 1) 18   （人）． 60   （人），多的原因是把小船坐的 4 人都假设成坐 6 人． ③一条小船当成大船多出 2 人，多出的18 人是把18 2 9   （条）小船当成大船．所以有 9 条小船，1 条大船．列式为： [6 10 (41 1)]     (6 4) 18 2 9   (条）10 9 1   （条）   【答案】1条大船， 9 条小船【例 12】李明和张亮轮流打一份稿件，李明每天打15 页，张亮每天打10 页，他们一连打了 25 天，平均每天打12 页，问李明、张亮各打了多少天？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】从总数入手，由题意可知他们一共打了 25 12 300   15 25 375 张亮打的天数是： 75 5 15   【答案】李明10 天，张亮15 天  (页)，比实际打的多 375 300 75 (页)，而李明每天比张亮多打：15 10 5 (页)．假设 25 天都是李明打的，那么打的页数是：  (页)，所以     (天)，李明打的天数是： 25 15 10   (天) 【巩固】小伟和小丽计划用 50 天假期练习书法：将 3755 个一级常用汉字练习一遍。小伟每天练 73 个汉字，小丽每天练 80 个汉字，每天只有一人练习，每人每天练习的字各不相同，这样，他们正好在假期结束时完成计划。他们各练习了多少天？【考点】鸡兔同笼问题【难度】 2 星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第 18 题【解析】假如 50 天全是小丽练字，那么能练 80×50=4000 个字，多了 4000-3755=245 个，（2 分）而小伟每多一天就少 80-73=7 个字，所以小伟练了 245÷7=35 天。（6 分）小丽练了 50-35=15 天。（10 分）【答案】小伟 35 天，小丽15 天【例 13】松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采 20 个，雨天每天只能采14 个．它一连几天采了112 个松果，平均每天采14 个．问这几天中有几个雨天？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】首先要根据已知条件计算一共采了多少天，再根据“鸡兔同笼”问题的解法计算．因松鼠妈妈共采松果112 个，平均每天采14 个，所以实际用了112 14 8 晴天，松鼠妈妈应采松果 20 8 160 少采 20 14 6   （个），比实际采的多了160 112  （个），所以共有雨天 48 6 8   （天）．     （天）．假设这 8 天全是  （个），因雨天比晴天 48 【答案】 8 天【巩固】小松鼠采松果，晴天每天可以采10 个，雨天每天只能采 6 个．它一连几天采了 80 个松果，平均每天采 8 个．那么其中有几天是雨天呢？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】小松鼠一共采了 80 8 10 【答案】 5 天上少采了100 80    （天），假设每天都是晴天，那么一共可以采10 10 100 20  （个），少1天晴天，就少采10 6   （个），所以一共有雨天：20 4 5  （个），而实际   （天）． 4  【巩固】松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采 20 个，雨天每天只能采 12 个。它一连几天采了 112 个松子，平均每天采 14 个。问这几天当中有几天有雨? 【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第 6 题【解析】松鼠采了：112÷14＝8(天)，假设这 8 天都是晴天，可以采到的松籽是：20×8＝160(个)，实际只采到 112 个，共少采松籽：160－112＝48(个)，每个下雨天就要少采：20－12＝8(个)，所以有 48÷8＝6（个）雨天。【答案】 6 个雨天教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 6

【例 14】使用甲种农药每千克要兑水 20 千克，使用乙种农药每千克要兑水 40 千克．根据农科院专家的意见，把两种农药混起来用可以提高药效，现有两种农药共 50 千克，要配药水 1400 千克，那么，其中甲种农药用了多少千克？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】迎春杯，高年级，初试，6 题，假设思想方法【解析】方法一：设甲种农药 x 千克，则乙种农药  【解析】 5 x 千克。  x 1 20    5  21 x     1 40 140 x   ， 205 41 140 x   65 20 x  3.25 x  （千克）  140 5   200 方法二：假设全是乙种农药，需要水 5 40 克），每千克甲种农药比每千克乙种农药多用水：40 20 （千克）【答案】 3.25 千克 200    （千克），比实际需要的多：   （千  （千克），所以甲种农药有：65 20 3.25  65  20 【例 15】孙阿姨有贰元人民币和伍元人民币共 62 张，合计 226 元，孙阿姨这两种人民币各有多少张？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】假设思想方法，小学数学奥林匹克，初赛【解析】假设这 62 张人民币全是贰元的，共计 2 62 124 (元)．   (元)，比实际的钱数少了 226 124 102   (元)，那么可知伍元的共有102 3 34     (张)，这是因为伍元的全部假设成贰元的，一张就少了 5 2 3 贰元的有： 62 34 (张)  28 【答案】伍元 34 张，贰元 28 张.  【巩固】小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共17 张，问两种邮票各买多少张？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】二元五角＝ 250 分；1角＝10 分；2 角＝ 20 分.假设都是10 分邮票：10 17 170   （分），每张邮票相差钱数： 20 10 10  （分），有二角邮票：80 10 8   （分），比实际少了：  （张），有一   250 170 80 角邮票张：17 8 9   （张）．【答案】二角邮票 8 张，一角邮票张 9 张. 【巩固】有 1 元和 5 元的人民币共 17 张，合计 49 元，两种面值的人民币各有多少张? 【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】该题求两种面值的人民币各有多少张，已知总张数 17 张，但两种不同面值的人民币张数相差多少难以确定，怎么办?再分析题意，又知两种面值的人民币的总钱数，及各自的票面值，但两种人民币相差的钱数也难以确定，这又怎么办?我们可用“假设法”思考．假设 17 张人民币全是 5 元的，总钱数则为 5×17=85(元)，比实际的 49 元多出 85-49=36(元)，多的原因是把 1 元的人民币假设为 5 元的人民币了，用数量关系式表示为：根据这一数量关系式，可先求 1 元人民币的张数．解法①：(5×17-49)÷(5-1)=9(张)，17-9=8(张)，验算：1×9+5×8=49(元)，也可以假设 17 张人民币全是 1 元的，便可有另一解法．解法②：(49-1×17)÷(5-1)-8(张)，17-8=9(张) 【答案】一元 9 张，五元 8 张. 【巩固】四年级的同学们去春游，按团体购票 120 张，共 432 元，其中单程票每张 2 元，往返票 4 元，那么单程票和往返票相差多少张？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】假设全部买的是往返票，那么共需 4 120   （元），比实际多花了 48 元，这 48 元是因为把每张单程票假设成往返票多出的，每张单程票看成往返票则增加 2 元，可知 48 元中有几个 2 元就有几张 480 教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 7

单程票，即单程票有 24 张，相差 72 张．【答案】 72 张【例 16】从前有座山，山里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，一个小和尚用一根扁担两个桶挑水，共用了 38 根扁担和 58 个桶，那么有多少个小和尚抬水？多少个挑水？【考点】鸡兔同笼问题【难度】3 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】假设全是抬水，38 根扁担应抬 38 个桶，而实际上是 58 个桶，为什么少了 58 38 20 因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算 2 1 1 抬水的扁担数是 38 20 18 【答案】 20 人在抬水， 36 人在挑水.  （根），抬水的人数是18 2 36    （人）．   （个）桶，所以有 20 1 20   （个）桶呢？   （人）在挑水，【巩固】100 个和尚 140 个馍，大和尚 1 人分 3 个馍，小和尚 1 人分 1 个馍．问：大、小和尚各有多少人？【考点】鸡兔同笼问题【难度】3 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得．如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解．假设 100 人全是大和尚，那么共需馍 300 个，比实际多 300 140 160 和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少 3 1 2 和尚有100 80 同样，也可以假设 100 人都是小和尚，这里不再作说明．  （人）．   （个），因为160 2 80 20    （个）．现在以小和尚去换大   ，故小和尚有 80 人，大【答案】故小和尚有 80 人，大和尚有 20 人. 【巩固】100 个和尚160 个馍，大和尚1人分 3 个馍，小和尚1人分1 个馍．问：大、小和尚各有多少人？【考点】鸡兔同笼问题【难度】3 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得．如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解．假设100 人全是大和尚，那么共需馍 300 个，比实际多 300 160 140 尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少 3 1 2 尚有100 70 30   (个)，因为140 2 70 (人)．同样，也可以假设100 人都是小和尚，同学们不妨自己试试． (个)．现在以小和尚去换大和    ，故小和尚有 70 人，大和    【答案】故小和尚有 70 人，大和尚有 30 (人)．【例 17】（中国古代僧粥问题）一百个和尚刚好喝一百碗粥，一个大和尚喝三碗粥，三个小和尚喝一碗粥，那么大和尚有多少个，小和尚有多少个？【考点】鸡兔同笼问题【难度】3 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】我们把大碗换小碗，换小碗盛粥！把一大碗粥分成三小碗粥，则原题变为一百个和尚喝三百碗粥，一个大和尚喝九碗粥，一个小和尚喝一碗粥．然后仍然用假设法：假设都是小和尚，只能喝1 100 100 一共少了 300 100  （碗）粥．所以大和尚有 200 8 25 200    （碗）粥，有一个大和尚被当成小和尚会少 9 1 8   （个）；小和尚有100 25 75   （碗）粥，  （个）．  【答案】大和尚 25 个，小和尚 75 个【例 18】小建和小雷做仰卧起坐，小建先做了 3 分钟，然后两人各做了 5 分钟，一共做仰卧起坐136 次．已知每分钟小建比小雷平均多做 4 次，那么小建比小雷多做了多少次？【考点】鸡兔同笼问题【难度】3 星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】假设小建每分钟做仰卧起坐的次数与小雷一样多，这样两人做仰卧起坐的总次数就减少了  (次)，进而可以分别求出小建 4 ）每分钟做的次数以及两人分别做仰卧起坐的总次数之差．假设小建每分钟做仰卧起坐的次数与小雷 ( 次 ) 小雷每分钟做：一样多，两人做仰卧起坐的总次数就减少： 4 (次)；小雷 3 5 5 136 32    （一共做： 8 5 40    (次)；小建每分钟做：8 4 12   ） (次)小建比小雷多做： 96 40 56 (次)  (次)，由此可知小雷每分钟做了 136 32 (次)小建一共做：12   （）   （）   （） 3 5 5   3 5  3 5  3 5  ）（）（ 32 96 32 （ 8   8   教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 8

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6-1-21 鸡兔同笼问题（一）.教师版.doc

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