7-3-1 加乘原理之综合运用.教师版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：0.57M 资料格式：doc 举报版权申诉

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7-3-1.加乘原理之综合运用教学目标 1.复习乘法原理和加法原理； 2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力． 3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题．在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合．知识要点一、加乘原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点： ⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和． ⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积． ⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．例题精讲【例 1】商店里有 2 种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有 2 种水果糖：苹果味、梨味、橙味．小明想买一些糖送给他的小朋友． ⑴如果小明只买一种糖，他有几种选法？ ⑵如果小明想买水果糖、巧克力糖各1 种，他有几种选法？【考点】加乘原理之综合运用【解析】⑴小明只买一种糖，完成这件事一步即可完成，有两类办法：第一类是从 2 种巧克力糖中选一种【题型】解答【难度】1 星有 2 种办法；第二类是从 3 种水果糖中选一种，有 3 种办法．因此，小明有 2 3 5   种方法． ⑵小明完成这件事要分两步，每步分别有 2 种、 3 种方法，因此有 3 2 6   种选糖的方法．【答案】⑴ 5 【例 2】从 2，3，5，7，11 这五个数中，任取两个不同的数分别当作一个分数的分子与分母，这样的分数有 ⑵ 6 7-3-1.加乘原理之综合应用.题库教师版 page 1 of 6

_______________个，其中的真分数有________________个。【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第 7 题【解析】第一问要用乘法原理，当分子有 5 种可能时，分母有 4 种可能，即 5×4=20 种，所以这样的分数有 20 个。第二问中，分母为 3 的真分数有 1 个，分母为 5 的真分数有 2 个，分母为 7 的真分数有 3 个，分母为 11 的真分数有 4 个，所以真分数共有 1+2+3+4=10 个。【答案】10 个【例 3】从北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海或者武汉作停留，已知北京到上海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车．问，从北京到广州一共有多少种交通方式供选择？【考点】加乘原理之综合运用【解析】从北京转道上海到广州一共有 3 3 9 【难度】1 星   种方法，从北京转道武汉到广州一共也有 3 3 9 【题型】解答   种方法供选择，从北京直接去广州有 2 种方法，所以一共有 9 9 2    种方法． 20 【答案】 20 【例 4】从学而思学校到王明家有 3 条路可走，从王明家到张老师家有 2 条路可走，从学而思学校到张老师家有 3 条路可走，那么从学而思学校到张老师家共有多少种走法？学而思学校张老师家王明家【考点】加乘原理之综合运用【解析】根据乘法原理，经过王明家到张老师家的走法一共有 3 2 【难度】1 星一共有 3 条路可走，根据加法原理，一共有 6 3 9 【题型】解答 6   种走法．   种方法，从学而思学校直接去张老师家【答案】 9 【巩固】如下图，从甲地到乙地有 2 条路，从乙地到丙地有 4 条路，从甲地到丁地有 3 条路可走，从丁地到丙地也有 3 条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？甲乙丙丁【难度】1 星【考点】加乘原理之综合运用【解析】从甲地到丙地有两种方法：第一类，从甲地经过乙地到丙地，根据乘法原理，走法一共有 4 2 8   种方法．根据加法原理，一共有 8 9 17 方法，；第二类，从甲地经过丁地到丙地，一共有 3 3 9 走法．【题型】解答   种   种【答案】17 【巩固】王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武汉到南京．他从重庆到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机，如图．那么王老师从重庆到南京有多少种不同走法呢？重庆南京【考点】加乘原理之综合运用【解析】从重庆到南京的走法有两类：第一类从重庆经过武汉去南京，根据乘法原理，有 2 3 6 【题型】解答   (种)走法；武汉【难度】2 星 7-3-1.加乘原理之综合应用.题库教师版 page 2 of 6

第二类不经过武汉，有 2 种走法．根据加法原理，从重庆到南京一共有 2 6 8   种不同走法．【答案】 8 【例 5】某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有 7 个车站，现在新增了 3 个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？【考点】加乘原理之综合运用【解析】1、新站为起点，旧站为终点有 3×7=21 张，2、旧站为起点，新站为终点有 7×3=21 张，3、起点、【题型】解答【难度】3 星终点均为新站有 3×2=6 张，以上共有 21＋21＋6=48 张．【答案】48 【例 6】如右图所示，每个小正三角形边长为 1，小虫每步走过 1，从 A 出发，走 4 步恰好回到 A 的路有（）条．(途中不再回 A) A 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】填空【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 8 题，五年级，初赛，第 12 题【解析】因为第一、三步到的点一定是以 A 为中心的六边形的六个顶点，根据一定的规则进行计数：（1）第一步与第三步是同一个点的情况有：6×5=30（种）（2）第一步与第三步不是同一个点的情况有：4×6=24（种）所以共有 30+24=54（种）【答案】 54 种【例 7】如下图，八面体有 12 条棱，6 个顶点．一只蚂蚁从顶点 A 出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点一次．问共有多少种不同的走法？ C D F E B A 【题型】解答【难度】3 星【考点】加乘原理之综合运用【解析】走完 6 个顶点，有 5 个步骤，可分为两大类： ①第二次走 C 点：就是意味着从 A 点出发，我们要先走 F ， D ， E ， B 中间的一点，再经过 C 点，但之后只能走 D ， B 点，最后选择后面两点．有 4 1 2 1 1 8 ②第二次不走 C ：有 4 2 2 2 1 32 共计： 8 32      种(从 F 到 C 的话，是不能到 E 的)；      种(同理， F 不能到 E )；  种． 40  【答案】 40 【例 8】有 3 所学校共订 300 份中国少年报，每所学校订了至少 98 份，至多 102 份．问：一共有多少种不同的订法？【考点】加乘原理之综合运用【解析】可以分三种情况来考虑：【难度】3 星【题型】解答 ⑴3 所学校订的报纸数量互不相同，有 98，100，102；99，100，101 两种组合，每种组各有 3 P  种 3 6 7-3-1.加乘原理之综合应用.题库教师版 page 3 of 6

  种订法．不同的排列，此时有 6 2 12 ⑵3 所学校订的报纸数量有 2 所相同，有 98，101，101；99，99，102 两种组合，每种组各有 3 种不同的排列，此时有 3 2 6 ⑶3 所学校订的报纸数量都相同，只有 100，100，100 一种订法．由加法原理，不同的订法一共有12 6 1 19   种订法．    种．【答案】19 【例 9】玩具厂生产一种玩具棒，共 4 节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色。这家玩具厂共可生产种颜色不同的玩具棒。【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 10 题【解析】总共有 45 种，分三类：只有一种颜色的有：3 种；有两种颜色的有： 3 8 24 有 3 种颜色的有： 6 3 18 所以共有： 3 24 18 45   ；      （种）【答案】 45 种【例 10】如果从 3 本不同的语文书、4 本不同的数学书、5 本不同的外语书中选取 2 本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？【考点】加乘原理之综合运用【解析】因为强调 2 本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学：3×4=12；来自语文、外语：【题型】解答【难度】2 星 3×5=15；来自数学、外语：4×5=20；所以共有 12＋15＋20=47．【答案】47 【例 11】过年了，妈妈买了 7 件不同的礼物，要送给亲朋好友的 5 个孩子每人一件．其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件．那么妈妈送出这 5 件礼物共有____________种方法．【难度】3 星【题型】填空【考点】加乘原理之综合运用【关键词】迎春杯，中年级，决赛，7 题【解析】假如给小强的是智力拼图，则有 2 5 4 3 120 【解析】假如给小强的是遥控汽车，则有1 5 4 3 60 总共有120 60 180  （种）方法．      （种）方法．     （种）方法．【答案】180 种【例 12】某件工作需要钳工 2 人和电工 2 人共同完成．现有钳工 3 人、电工 3 人，另有 1 人钳工、电工都会．从 7 人中挑选 4 人完成这项工作，共有多少种方法？【难度】3 星【题型】解答【考点】加乘原理之综合运用【解析】分两类情况讨论：   种方法； ⑴都会的这 1 人被挑选中，则有： ①如果这人做钳工的话，则再按乘法原理，先选一名钳工有 3 种方法，再选 2 名电工也有 3 种方法；所以有 3 3 9 ②同样，这人做电工，也有 9 种方法． ⑵都会的这一人没有被挑选，则从 3 名钳工中选 2 人，有 3 种方法；从 3 名电工中选 2 人，也有 3 种方法，一共有 3 3 9 所以，根据加法原理，一共有 9 9 9    种方法．   种方法． 27 【答案】 27 【例 13】某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号．每次可挂一面，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号．一共可以表示出多少种不同的信号？【考点】加乘原理之综合运用【解析】由于每次可挂一面、二面或三面旗子，我们可以根据旗杆上旗子的面数分三类考虑：【题型】解答【难度】3 星 7-3-1.加乘原理之综合应用.题库教师版 page 4 of 6

第一类第二类第三类第一类，可以从四种颜色中任选一种，有 4 种表示法；第二类，要分两步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有 4 种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有 3 种选法．根据乘法原理，共有 4 3 12 第三类，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有 4 种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有 3 种选法；第三步，第三面旗子可从剩下的两种颜色中选一种，有 2 种选法．根据乘法原理，共有 4 3 2 根据加法原理，一共可以表示出 4 12 24 40    种表示法．  种不同的信号．   种表示法； 24   【答案】 40 【巩固】五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【考点】加乘原理之综合运用【解析】分 3 种情况：【难度】3 星【题型】解答 ⑴取出一面，有 5 种信号； ⑵取出两面：可以表示 5 4 ⑶取出三面：可以表示： 5 4 3 60    种信号；由加法原理，一共可以表示： 5 20 60 85    种信号； 20   种信号．【答案】 85 【例 14】五种颜色不同的信号旗，各有 5 面，任意取出三面排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【考点】加乘原理之综合运用【解析】方法一：取出的 3 面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类【难度】3 星【题型】解答（） ⑴ 一种颜色： 5 种可能； ⑵ 两种颜色： 5 4 3 60    ⑶ 三种颜色： 5 4 3 60    所以，一共可以表示 5 60 60 125  方法二：每一个位置都有 5 种颜色可选，所以共有 5 5 5 125  种不同的信号     种．【答案】125 【巩固】红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有 2，2，3，3 面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？【考点】加乘原理之综合运用【解析】 (一)取出的 3 面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类【题型】解答【难度】3 星第一类，一种颜色：都是蓝色的或者都是白色的，2 种可能；第二类，两种颜色： (4 3) 3 36    第三类，三种颜色： 4 3 2 24    所以，根据加法原理，一共可以表示 2 36 24 62 (二)白棋打头的信号，后两面旗有 4 4 16    种不同的信号．   种情况．所以白棋不打头的信号有 62 16   种． 46 【答案】 46 【例 15】小红和小明举行象棋比赛，按比赛规定，谁先胜头两局谁赢，如果没有胜头两局，谁先胜三局谁赢．共有种可能的情况．【难度】1 星【考点】加乘原理之综合运用【关键词】清华附中【解析】小红和小明如果有谁胜了头两局，则胜者赢，此时共 2 种情况；如果没有人胜头两局，即头两局中两人各胜一局，则最少再进行两局、最多再进行三局，必有一人胜三局，如果只需再进行两局，则这两局的胜者为同一人，对此共有 2 2   种情况；如果还需进行三局，则后三局中有一人胜两局，另一人只胜一局，且这一局不能为最后一局，只能为第三局或第四局，此时共有 2 2 2 8    种情况，【题型】解答 4 7-3-1.加乘原理之综合应用.题库教师版 page 5 of 6

所以共有 2 4 8 14    种情况．【答案】14 【例 16】玩具厂生产一种玩具棒，共 4 节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色．这家厂共可生产________ 种颜色不同的玩具棒．【考点】加乘原理之综合运用【解析】每节有 3 种涂法，共有涂法 3 3 3 3 81     【难度】4 星【题型】解答 (种)．但上述81 种涂法中，有些涂法属于重复计算，这是因为有些游戏棒倒过来放时的颜色与顺着放时的颜色一样，却被我们当做两种颜色计算了两次．可以发现只有游戏棒的颜色关于中点对称时才没有被重复计算，关于中点对称的游戏棒有     (种)．故玩具棒最多有 (81 9) 2 3 3 1 1 9   种不同的颜色． 45  【答案】 45 【例 17】奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特，他们文字的每个单词都由 5 个字母 a 、b 、c 、d 、e 组成，并且所有的单词都有着如下的规律，⑴字母 e 不打头，⑵单词中每个字母 a 后边必然紧跟着字母 b ，⑶ c 和 d 不会出现在同一个字母之中，那么由四个字母构成的单词一共有多少种？【难度】4 星【题型】解答【考点】加乘原理之综合运用【解析】分为三种：第一种：有两个 a 的情况只有 abab 1 种第二种，有一个 a 的情况，又分 3 类第一类，在第一个位置，则 b 在第二个位置，后边的排列有 4 4 16 两种，总共有 14 种，第二类，在第二个位置，则 b 在第三个位置，总共有 3 4 2 10 第三类，在第三个位置，则 b 在第四个位置，总共有 3 4 2 10    种.    种.   种，减去 c 、 d 同时出现的第三种，没有 a 的情况:     种. 分别计算没有 c 的情况: 2 3 3 3 54     种. 没有 d 的情况： 2 3 3 3 54     种. 没有 c 、 d 的情况：1 2 2 2 8 由容斥原理得到一共有 54 54 8 100    种.   所以，根据加法原理，一共有1 14 10 10 100 135  种．   【答案】135 【例 18】从 6 名运动员中选出 4 人参加 4 100 接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种： ⑴甲不能跑第一棒和第四棒； ⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒【难度】3 星【题型】解答【考点】加乘原理之综合运用【解析】⑴先确定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外的任何人，有 5 种选择，第四棒有 4 种选择，剩下的  种参赛   种，由乘法原理，共有：5 4 12 四人中随意选择 2 个人跑第二、第三棒，有 4 3 12 方案 ⑵先不考虑甲乙的特殊要求，从 6 名队员中随意选择 4 人参赛，有 6 5 4 3 360     种选择.考虑若甲跑第一棒，其余 5 人随意选择 3 人参赛，对应 5 4 3 60    种选择，考虑若乙跑第二棒，也对应    种选择，但是从 360 种中减去两个 60 种的时候，重复减了一次甲跑第一棒且乙跑第 5 4 3 60 二棒的情况，这种情况下，对应于第一棒第二棒已确定只需从剩下的 4 人选择 2 人参赛的 4 3 12 种方案，所以，一共有 360 60 2 12  种不同参赛方案．       252 240  【答案】 252 7-3-1.加乘原理之综合应用.题库教师版 page 6 of 6

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