5-1-2-4 最值的数字谜（一）.教师版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：1.44M 资料格式：doc 举报版权申诉

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5-1-2-4.最值中的数字谜（一）教学目标 1. 掌握最值中的数字谜的技巧 2. 能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题知识点拨数字谜中的最值问题常用分析方法 1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜； 2. 竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等． 3. 数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等． 4. 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的最值的可能值，再验证能否取到这个最值． 5. 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型。例题精讲【例【例 11】】有四个不同的数字，用它们组成最大的四位数和最小的四位数，这两个四位数之和是 11469，那么其中最小的四位数是多少？【考点】加减法的进位与借位【难度】3 星【题型】填空【解析】设这四个数字是 a 【解析】    ，如果 0 b d c d  ，用它们组成的最大数与最小数的和式是  a b c d d c b a 4 6 9 1 1 ，由个位知 a d  ，由于百位最多向千位进 1，所以此时千位的和最多为 10， 9 与题意不符．所以 0 d  ，最大数与最小数的和式为  a b c c 0 b a 1 1 4 6 9 0 ，由此可得 9 a  ，百位没有向千位进位，所以【答案】2049 a c  ， 2 c  ； 6    ．所以最小的四位数 cdba 是 2049． 11 4 b c 【例【例 22】】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，如果新数比原数大 7902，那么所有符合这样条件的四位数中原数最大的是． 5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库教师版 page 1 of 7

 D C B A A B C D 7 2 【考点】加减法的进位与借位【难度】4 星【题型】填空【解析】用 A 、 B 、 C 、 D 分别表示原数的千位、百位、十位、个位数字，按题意列减法算式如上式．从首【解析】 D A  ，所以只能是 1A  ， A D     ． B 最大能取 9，此时 C 为 8，因此， C 位来看 A 只能是 1 或 2，D 是 8 或 9；从末位来看，10 9D  ．被减数的十位数 B ，要被个位借去 1，就有 1B 符合条件的原数中，最大的是 1989．  ，得 9 0 2 8 【答案】1989 【例【例 33】】在下面的算式中， A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 、 G 分别代表 1～9 中的数字，不同的字母代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则三位数 EFG 的最大可能值是．  A B C D E F G 6 0 2 0 【考点】加减法的进位与借位【难度】4 星【题型】填空【解析】可以看出， 1A  ，【解析】  或 16．若 D G D G 6 6 是 C 、F 分别为 3 或 7，此时 B E  ，则 D 、 G 分别为 2 和 4，此时 3,6 、 2,7 、 1,8 、  ，B 、E 只能分别取 9 C F  ，只能 4,5 ，但此时 1、 10 2、3、4 均已取过，不能再取，所以 D G 不能为 6， B E  ，所以它们可以取 9 3,6 、 D G  ， 4,5 两组．要使 EFG 最大，百位、十位、个位都要尽可能大，  ．这时 D 、G 分别为 9 和 7；且 C F 16 9 因此 EFG 的最大可能值为 659．事实上1347 659   2006 ，所以 EFG 最大为 659．【答案】659 【巩固】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么四位数“奥林匹克”最大是【巩固】奥林匹克 + 奥数网 8 【考点】加减法的进位与借位【难度】4 星【题型】填空【关键词】学而思杯，6 年级，1 试，第 2 题【解析】显然“ 1奥或 2 ”，如果“ 2奥 ”，所以“ 2 0 0 1奥 ”，所以“ 件，所以“ 不符合条件，所以“ 林 ”最大只能是 8 ，所以“ 汉字代表不同的数字，“ 匹克 ”最大是 76 ，所以“奥林匹克”最大是1876 。 9林 ”那么“ 匹克数网  9林 ”，如果“     2奥 ”，则四位数与三位数的和超过 2200 ，显然不符合条 0匹=数 ”，  ”，为了保证不同的   匹克数网 2008 1800 100 108 2008 1900 100 8   ”，“ 【答案】1876 【例【例 44】】下面是一个 n 进制中的加法算式，其中不同的字母表示不同的数，求 n 和 ABCDE 的值．  A B C D C B E B C E A B E 【考点】加减法的进位与借位【难度】5 星【题型】填空【解析】由于算式中出现 5 个不同的数字，所以 n 至少为 5．在 n 进制中，就像在 10 进制中一样，两个四位【解析】数相加得到一个五位数，那么这个五位数的首位只能为 1(因为这两个四位数都小于 10000，它们的和小于 20000 ，故首位为 1) ，即 1C  ．由于 A 最大为 1n－，则        ，     ，即两个四位数的首位向上位进1后最多还剩下1，即 E 最大为1，又因为不同的 A C n 1 2 字母表示不同的数，E 不能 C 与相同，所以 E 只能为 0 ．则 D B n   ，  ，末位向上进 1 位； 1 1 1 C E A C 1 1 1 1    n n n 5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库教师版 page 2 of 7

即 2B  ； B B  ，不向上进位，所以 4A  ；A C E n  ，得 5 n  ，则 4   D n B    ．所以 n 为 3 5， ABCDE 为 42130．【答案】 n 为 5， ABCDE 为 42130 【例【例 55】】右式中的 a ，b ，c ， d 分别代表 0～9 中的一个数码，并且满足 a b   2  c d  ，被加数最大是多  少？  a b 5 d c 【考点】加减法的进位与借位【难度】4 星【题型】填空【解析】若 5b  ，则由竖式知 a 【解析】 c ，b d ，不满足 a b   2   ；若 5b  ，则由竖式知 c d  a c  ， b 1 d  ， 5 代入 a b   2  c d  ，得  【答案】35 c d  ．由此推知 cd 最大为 40， ab 最大为 40 5 35   ． 4 【巩固】下式中的 a ， b ， c ， d 分别代表 0～9 中的一个数码，并且满足  【巩固】 2 a b     ，被减数最小是多 c d 少？  a b 3 d c 【考点】加减法的进位与借位【难度】4 星【题型】填空  【解析】若 3b  ，则由竖式知 a 【解析】 d ，不满足  c ， b 2 a b    ；若 2 b  ，则由竖式知 c d a c  ， 1 10 3   ，即 7b d   ，代入  d 2 a b     ，得 c d a b  ．由 2 b  知 4 a  ，所以 ab 最小为 42． 6 b  【答案】42 【例【例 66】】从 1—9 这 9 个数字中选出 8 个不同的数字填入右面的方格中，使得竖式成立．其中的四位数最大可能是．【考点】加减法的进位与借位【难度】3 星【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第 9 题【解析】由题目可知，四位数的千位数字肯定是 1，此时还剩下 2～9 这 8 个数字，再看三个数的个位数字之【解析】和的尾数为 0，可找出三个数的个位数字有以下几种情况，（2，3，5）、（3，8，9）、（4，7，9）、（5， 6，9）、（5，7，8）.经试验，只有两种情况下竖式成立.而题目要求四位数最大，所以答案为 1759. 【答案】1759 5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库教师版 page 3 of 7

【例【例 77】】如图，在加法算式中，八个字母“ QHFZLBDX ”分别代表 0 到 9 中的某个数字，不同的字母代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数“ QHFZ ”的最大值是多少？ 2 9 Q H F Z Q H L B Q H D X 【考点】加减法的进位与借位【难度】5 星【题型】填空【关键词】清华附中，入学测试题 0 0 1  【解析】原式为 2009 【解析】  QHFZ QHLB QHDX   1 ，即 QHFZ QHDX QHLB   1  2009 7991   DX LB  ．为了使 QHFZ 最大，则前两位 QH 先尽量大，由于 DX LB 小于 100，所以 QH 最大可能为 80．若 QH  ， 80 则继续化简为 FZ DX LB    ．现在要使 FZ 尽量大．由于 8 和 0 已经出现，所以此时 9 DX LB  9 最大为 97 12 9 76   ，此时出现重复数字，可见 FZ 小于 76．而 96 12 9 75   符合题意，所以此   时 FZ 最大为 75， QHFZ 的最大值为 8075．【答案】8075 【例【例 88】】把 0 ，1，2 ，…，8 ，9 这十个数字填到下列加法算式中四个加数的方格内，要求每个数字各用一次，那么加数中的三位数的最小值是多少？  7 0 2 0 【考点】加减法的进位与借位【难度】5 星【题型】填空【关键词】湖北省“创新杯” 【解析】从式中可以看出，千位上的方框中的数为1，那么百位上两方框中的数再加上低位进位的和为10 ．由【解析】于三位数的百位上不能为1和 0 ，所以要使三位数最小，它的百位应该为 2 ，十位应该为 0 ．那么十位向百位的进位为1，所以四位数的百位为 7 ，且十位上三个方框中的数之和再加上个位的进位的和为10 ．又剩下的数字 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 8 ， 9 中除 3 4 5 6 18     只向十位进1 外，其余任选四数字的和都大于 20 ，由于 3 4 5 6    的尾数不为 7 ，所以个位上四个数字不能是 3 ，4 ，5 ，6 ，所以个位向十位进位为 2 ，也就是十位上的三个方框中的数的和为8 (其中有一个为 0 )，而剩下的 3 ，4 ，5 ， 6 ，8 ，9 中只有 3 5 8   ，所以个位上的四个方框中的数为 4 ，6 ，8 ，9 ，那么加数中的三位数最小为 204 ．【答案】 204 【例【例 99】】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．“美妙数学花园”代表的 6 位数最小为． 2 0 0 7 美妙数学花园  好好好好 5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库教师版 page 4 of 7

【考点】加减法的进位与借位【难度】5 星【题型】填空【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 9 题，12 分【解析】 “好”为 2 ，要使算式满足则必有(美  数  花 20）≥ 。要使“美妙数学花园”代表的 6 位数最小，    ．即“美妙数学花园”代表的 6 位数最小为 348596    ，妙  学  园 15 4 5 6 则美  数  花 3 8 9  【答案】 348596 【例【例 1010】】面算式由 1～9 中的 8 个组成，相同的汉字表示相同的数，不同的汉字表示不同的数.那么“数学解题”与“能力”的差的最小值是__________. 【考点】加减法的进位与借位【难度】3 星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，复试，11 题【解析】为了让“数学解题”与“能力”的差最小，应该让“数学解题”尽量小，也就是让“能力”和“展示”尽量大，【解析】其中较大的应是“能力”，那么“数学解题”最小应该是一千八百多，“能”应该是 9，“展”应该是 7，于是“解题”+“力”+“示”=2010-1800-90-70=50，所以“解”应该是 4，那么“题”+“力”+“示”=10，那么只能是 2+3+5 ，为了 “ 数学解题 ” 与 “ 能力 ” 的差最小，让 “ 题 ”=2 ， “ 力 ”=5 ，于是 “ 数学解题 ”-“ 能力”=1842-95=1757. 【答案】1757 【例【例 1111】】右边的加法算式中，每个“□”内有一个数字，所有“ □ ”内的数字之和最大可达到。【考点】加减法的进位与借位【难度】5 星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 5 题，5 分【解析】末尾和最大 24，十位和最大 18，百位和最大 18，24+18+18=60 【答案】 60 【例【例 1212】】将数字 1 至 9 分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是多少？ 1  0 0 2 8 【考点】加减法的进位与借位【难度】6 星【题型】填空【关键词】 “迎春杯”，高年级组，复赛【解析】9 个方框中的数之和为 45．三个加数的个位数字之和可能是 8，18；十位数字之和可能是 9，10，19，【解析】 20；百位数字之和可能是 8，9，10，其中只有18 19 8 45   ．所以三个加数的个位数字之和为 18，十位数字之和为 19，百位数字之和为 8．要使加数中的四位数最小，尝试在它的百位填 1，十位填 2，此时另两个加数的百位只能填 3，4；则四位数的加数个位可填 5，另两个加数的十位可填 8，9，个位可填 6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是 1125．  【答案】最小是 1125 【例【例 1313】】在右边的加法算式中，若每个字母均表示 0 到 9 中的一个数字，任意两个字母表示的数字都不相同， 5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库教师版 page 5 of 7

也不与算式中已有的数字相同，则 A 与 B 乘积的最大值是多少？ E C F D G A B 9  1 0     A  10       之和为 10 2B 或 20 2B ，还是偶数．所以 E F G B  C D 【考点】加减法的进位与借位【难度】6 星【题型】填空【解析】本题把数字谜与奇偶性、最值问题巧妙地结合在一起，可以从奇偶性方面来分析.考虑加法算式的个【解析】  之和为 2B ，是偶数；若个位进位，则四个数字  为偶数，又  为奇数．如果加法算式中个位不进位，  为偶数，与上面的分析矛盾，所以加法算式中个位向 A  ，得  ，A 、位，若个位不进位，则四个数字 E F G B E F G B A B C D E F G  ，这样那么十位进奇数位，只能是 1 位，故 B  ， E F G C D    B 可能为 2、6 或 3、5，乘积为 12 或 15，故 A 与 B 乘积的最大值是 15．，等号两边除以 9 的余数相等，所以等号两边的各个数字的和除以另解：因为 9 的余数相等，而所有数字的和是 9 的倍数，所以两边都是 9 的倍数，即10AB 是 9 的倍数，由于  ，再根据“和一定，差小积大”，所以 A 、B 的取值为 3、5 时， A 与 A B    ，所以 B 乘积的最大值是 15．  A B C D E F G ，所以 A C D A    8 35 ，所以 2 3    A C D   E F G  10  2 3    8 35 10 2   ，而 7 8 15   E CF C D 1 10 A B A B A B   DG AB 19 10 9 8 8                 【答案】15 【例【例 1414】】右式中不同的汉字代表 l 一 9 中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少? 【考点】加减法的进位与借位【难度】3 星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第 3 题【解析】 “新”必为 9，千位才能得 2，所以“中”应为 8.“国”、“京”、“运”之和应为 8 或 18，但当和为 18 时，（“国”、“京”、“运”分别为 7，6，5），“中”、“北”、“奥”之和最大为 15（“中”、“北”、“奥”分别为 8，4，3），不能进位 2，所以“国”、“京”、“运”之和只能是 8，此时，“北”、“奥”只能分别为 7 和 5，则“国”、“京”、“运”分别为 4、3、1，为使“中国”代表的两位数最大，“国”取 4.即“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是 84. 【答案】 84 【例【例 1515】】华杯赛网址是 www huabeisai cn ，将其中的字母组成如下算式：，如果每个字母分别代表 0～9 这十个数字中的一个，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且 8w  、 6 c  ，则三位数 bei 的最小值是 www hua bei h  、 9 a  、 7 2008 sai cn ．      . . 【考点】【难度】星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛【解析】根据题意可知，888 6 9 u 【解析】   ，有 0 u  bei  0 s i n   ，此时 u ，b ，e ，i ，s ， 351 i  ，此时 s 最大只能取 2，矛盾；所以 i 至少为 3， n    7 9 s i 2008 i  ，此时 2 bei n 只能取 0，1，2，3，4，5． b 的最小值为 1，e 的最小值为 0，i 最小取 2，若 2 若 3 u  ， 5 另解：此题也可采用弃九法．等式以 9 的余数与 2 a b e    的余数相同，即与 2w a i 数为 1．而 8w  ， 9 a  ，所以 2 s  ， 4 w h u    25 3 i n  ，符合条件，所以三位数 bei 的最小值是 103． www hua bei sai cn      2 w a i c n        两边除以 9 的余数相同，左边除除以 9 w a i      除以 9 的余   除以 9 的余数相同；右边除以 9 的余数为 1，所以 2w a i  ，除以 9 的余数为 1，可见 i 除以 9 的余数为 3，那 2008  0 1   w a i      45 2 i 9 2  s  5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库教师版 page 6 of 7

么 i 只能为 3．由于 b 的最小值为 1，e 的最小值为 0，所以三位数 bei 的最小可能值是 103；又当 2 时，【答案】103 bei  ，所以三位数 bei 的最小值就是 103． 103 s  ， 4 u  ， 5 n  【例【例 1616】】在下面的表 1 中，一条直线穿过其中若干个方格，穿过的方格中各数之和为15 13 10 5 6 。  请你在表 2 中画一条直线，穿过其中若干个方格。穿过的方格中各数之和最大是     。 49 14 15 2 3 17 7 13 12 4 11 10 5 8 18 9 6 14 15 2 3 表 1 8 18 9 6 4 11 10 5 17 7 13 12 表 2 【考点】加减法的进位与借位【难度】3 星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，复赛，第 9 题【解析】首先应考虑尽可能穿过较多的方格，也就是说可以穿过一条对角线和它旁边的三格：【解析】主对角线 14+7+10+6 和一侧的 17+11+9，总和为 74；副对角线 8+11+13+3 和一侧的 18+10+12，总和为 75。再看看能否做优化：观察到前一种方法中可以舍弃 10 和 6 而取 18，总和增加 2，这样总和为 76。而后一种方法无法再做优化，所以最大值为 76。【答案】 76 5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库教师版 page 7 of 7

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