扶梯问题 教学目标 1．对扶梯问题中顺(逆)扶梯速度、扶梯速度、人的速度的理解。 2．在扶梯的相遇与追及问题中引入消元思想。 3．解决行程问题时画线段图可以帮助解题。 知识精讲 一、扶梯问题说明 扶梯问题与流水行船问题十分相像，区别只在与这里的速度并不是我们常见的“千米每小时”，或 者“米每秒”，而是“每分钟走多少个台阶”，或是“每秒钟走多少个台阶”。从而在扶梯问题中“总路程” 并不是求扶梯有多少“千米”或者多少“米”，而是求扶梯的“静止时可见台阶总数”。 二、扶梯问题解题关键 1、当人顺着扶梯的运动方向走台阶时，相当与流水行船中的“顺水行驶”，这里的水速就是扶梯自身 的台阶运行速度。有：人的速度+扶梯速度=人在扶梯上的实际速度 扶梯静止可见台阶总数=时间×人速+时间×扶梯速=人走的台阶数+扶梯自动运行的台阶数 2、当人沿着扶梯逆行时，有：人的速度-扶梯速度=人在扶梯上的实际速度 扶梯静止可见台阶总数=时间×人速-时间×扶梯速=人走的台阶数-扶梯自动运行的台阶数。 【例 1】 小明站着不动乘电动扶梯上楼需 30 秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需 12 秒，那 么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？ 【考点】行程问题之扶梯问题 【解析】电梯每秒完成 1 30 【难度】3 星 【题型】解答 ，电梯加小明徒步上楼每秒完成 1 12 ，小明徒步上楼每秒完成 1 12  1 30  ，所 1 20 以小明徒步上楼需 1 20 1   20 (秒) 【答案】 20 秒 【巩固】 如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需 12 秒到达楼上，如果在乘电动扶梯的同时小明逆着 向下走需 24 秒到达楼下（千万别模仿！），那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？ 【考点】行程问题之扶梯问题 【解析】小明徒步走的速度是 1 ( 12  1 24 【答案】16 秒 【难度】3 星 【题型】解答   ，所以小明徒步上楼需 1 ) 2 16 1 16 1   16 (秒). 【例 2】 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级 台阶，那么他走过 20 级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 30 级台阶到达 地面．从站台到地面有 级台阶． 【难度】3 星 【考点】行程问题之扶梯问题 【解析】小强每秒走一阶，需要 20 1 20 设电梯每秒钟需要走 x 阶，由电梯长度可得： 20 (1     秒；每秒走 2 阶，需要 30 2 15 ) x ) 15 (2 x  【题型】填空   秒．   ，解得 2 x  ． 3-2-7.扶梯问题.题库 教师版 page 1 of 4 

60    （阶）． 那么扶梯长度为 20 (1 2) 本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为： “在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级 台阶，那么他走过 20 秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 15 秒到达地面．问： 从站台到地面有多少级台阶？” 采用牛吃草问题的方法，电梯 20 15 5 阶，电梯的速度为10 5 2  秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：2 15 1 20 10   阶/秒，扶梯长度为 20 (1 2)  （阶）．     60    【答案】 60 阶 【巩固】 在地铁车站中，从站台到地面架设有向上的自动扶梯．小强想逆行从上到下，如果每秒向下迈 两级台阶，那么他走过100 级台阶后到达站台；如果每秒向下迈三级台阶，那么走过 75 级台阶 到达站台．自动扶梯有多少级台阶? 【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设 50 秒扶梯向上走 x 级，则 25 秒走 x 级．由扶梯长度可得100 2 x  75  ． x 2 解得 50 x  ．扶梯长100 50 50   (级)。 【答案】 50 级 【例 3】 小丁在捷运站搭一座电扶梯下楼．如果他向下走14 阶，则需时 30 秒即可由电扶梯顶到达底部； 如果他向下走 28 阶，则需时18 秒即可由电扶梯顶到达底部．请问这座电扶梯有几阶？ 【考点】行程问题之扶梯问题 【关键词】台湾小学数学竞赛，决赛 【解析】首先从题中可以看出两种情况下小丁的速度是不相同的，否则两次走过的阶数之比为1: 2 ，时间 【题型】解答 【难度】4 星 之比也应该为1: 2 才对． 既然小丁的速度有变化，那么应该考虑其中的不变量，也就是电扶梯的速度不变．假设这座电扶 梯有 x 阶，那么在第一种情况下电扶梯走了 ( x  阶，根 据电扶梯的速度相同可得 14  30 x  阶，第二种情况下电扶梯走了 ( ，解得 49 x  ．  18 14) 28) 28  x x 即这座电扶梯有 49 阶． 【答案】49 阶 【例 4】 在商场里，小明从正在向上移动的自动楼梯顶部下120 级台阶到达底部，然后从底部上 90 级台 阶回到顶部．自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小明单位时间内下的台阶数是他 上的台阶数的 2 倍．则该自动楼梯从底到顶的台阶数为 ． 【考点】行程问题之扶梯问题 【解析】本 题 要 知 道 向 上 与 向 下 的 时 间 之 比 ( 即 是 电 梯 运 行 时 间 的 比 ) ， 可 用 量 化 思 【题型】解答 【难度】4 星 想． 120 90: 1 2  60 : 90  ，设该自动楼梯从底到顶的台阶数为 x 级，自动楼梯的速度为 y 级/单 2 : 3 位时间．则有： x     x  2 3 y y   120 90 ，解得 x    y 108 6 ．即该自动楼梯从底到顶的台阶数为 108 级． 【答案】108 级 【巩固】 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走， 男孩由上往下走，结果女孩走了 40 级到达楼上，男孩走了80 级到达楼下．如果男孩单位时间内 走的扶梯级数是女孩的 2 倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？ 【考点】行程问题之扶梯问题 【解析】当电梯静止时，无论是由下往上，还是由上往下，两个孩子走的阶数都是电梯的可见阶数．当电 【题型】解答 【难度】4 星 3-2-7.扶梯问题.题库 教师版 page 2 of 4 

梯运行时，女孩所走的阶数与电梯同时间内所走的阶数之和等于电梯可见阶数，男孩所走的阶数 与电梯同时间内所走的阶数之差也等于电梯可见阶数. 因为男孩的速度是女孩速度的 2 倍，所以男孩走 80 阶到达楼下与女孩走 40 阶到达楼上所用时间 相同，则在这段时间内，电梯所走的阶数也相同.有： 40  电梯走的阶数 80 可得电梯走的阶数为 (80 40) 2   （阶），所以电梯可见阶数为 40 20  电梯走的阶数，   （阶）. 60 20  【答案】 60 阶 【巩固】 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走， 男孩由上往下走，结果女孩走了 40 级到达楼上，男孩走了 80 级到达楼下．如果男孩单位时间 内走的扶梯级数是女孩的 3 倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？ 【考点】行程问题之扶梯问题 【解析】男孩与女孩走完电梯的时间比为： 80 40: 1 3 【难度】4 星  ． 2 : 3 【题型】解答 所以有 80  电梯可见部分级数 2  电梯运行速度 40  电梯可见部分级数 3  电梯运行速度 电梯运行速度 8 (级)．    解得 所以电梯可见部分级数为： 80 2 8 64 (级)． 【点评】本题的关键是求出男孩和女孩走完电梯的时间比，另外结合二元一次方程比较容易理解数量关 系．请对比原例题，体会其中的数量关系． 【答案】 64 级 【巩固】 自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分走 20 级， 女孩每分走15 级，结果男孩用了 5 分到达楼上，女孩用了 6 分到达楼上．问该扶梯露在外面的 部分共有多少级？ 【考点】行程问题之扶梯问题 【解析】男孩每分钟比女孩每分钟多行扶梯级数的 1 5 【难度】4 星 1 6 1 30 【题型】解答   ，相差 20 15 5   级，因此自动扶梯露在外面 的部分共有 1 30 5   级． 150 【答案】150 级 【例 5】 小志与小刚两个孩在电梯上的行走速度分别为每秒 2 个台阶和每秒 3 个台阶，电梯运行后，他俩 沿电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼，分别用时 28 秒和 20 秒，那么如果小志攀登静止 的电梯需要用时多少秒？ 【考点】行程问题之扶梯问题 【解析】小志和小刚顺向攀登运行的电梯分别都攀登了 28 2 56 【题型】解答   级和 20 3 60   级，小刚比小志多走了  级，这 4 级台阶实际上是小志多走的 8 秒钟内，电梯“缩”进去的，因此电梯的运行速 60 56 度为每秒半个台阶，那么在小刚登梯的 20 秒内，电梯也“缩”了 10 级，所以电梯所能见到的部分 是 60+10=70 级，所以，小志攀登静止的电梯分别需要用时 70÷2=35 秒． 4  【难度】4 星 【答案】35 秒 【例 6】 小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端走到下端需要走 36 级．如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端(很危险哦，不要效仿!)，需要用下楼时 5 倍的 速度走 60 级才能走到上端．请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级? 【题型】解答 【考点】行程问题之扶梯问题 【解析】小淘气上楼走 60 级的时间，下楼只能走 60 5 12 【难度】4 星   (级)．而下楼走了 36 级，所以下楼用的时间是 上楼时间的 36 12 3  (倍).  3-2-7.扶梯问题.题库 教师版 page 3 of 4 

设小淘气上楼的时间自动扶梯走了 x 级，则下楼的时间内自动扶梯走了 3x 级． 根据自动扶梯的级数可列方程： 36 3 自动扶梯有 60  ，解得 6 x  (级)， x  54 (级)．  x  60 x 【答案】 54 级 【例 7】 甲在商场中乘自动扶梯从一层到二层，并在顺扶梯运行方向向上走，同时乙站在速度相等的并 排扶梯从二层到一层．当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他走了 60 级到达一层．如 果他到了顶端再从“上行扶梯”返回，则要往下走 80 级．那么，自动扶梯不动时甲从下到上要走 多少级？ 【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】首先，由于第一种情况下甲往下走时走的总台阶数是第二种情况下的 60 80   ，也就是说在相 3 4 同时间内，自动扶梯由上往下走了两层高度的 1 4 ，而甲和自动扶梯共同走了两层高度的 3 4 ，说明 第一种情况下，甲乙相遇时甲的高度是两层之间高度的 3 4 ．那么可知甲和自动扶梯的速度和与自 动扶梯的速度之比是 3 4  : 1   3   4   3:1 ，说明甲走动的速度是扶梯速度的 2 倍． 如果甲沿着扶梯向下走，那么整体的速度就和自动扶梯的速度一样，是整体向上走时速度的 1 3 ， 所用的时间就是向上走所用时间的 3 倍，那么甲所走的台阶数就是向上时所走台阶数的 3 倍．因 此甲向上走时实际走了 80 3   级台阶．甲走 80 3 80 3 级台阶的同时自动扶梯向上移动了 40 3 级台阶， 因此如果扶梯不动，甲从下到上要走 80 3  40 3  级台阶． 40 【答案】 40 级 3-2-7.扶梯问题.题库 教师版 page 4 of 4