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1-3-6 公式运用.教师版.doc
公式法计算
知识点拨
一、常用公式
1.
2.
3.
4.
1 2 3
n
n
2
1
2
2
2
3
2
n
(
n
2
n
1)
；
(
n
1)
6
(2
n
1)
；
3
1
3
2
3
3
1 3 5 7
3
n
2
n
1 2 3
1
n
2
2
n
(
n
4
2
1)
；
1 2 3
n
1
n
5. 等比数列求和公式：
S
0
a q
1
1
a q
1
n
a q
1
n
1
n
(
a q
1
q
1
n
1)
1
3 2 1
n
2
；
(
1q )；
6. 平方差公式：
b
a
2
7. 完全平方公式：
a b
2
2
a b a b
a
；
，
2
2
ab b
2
a b
2
2
a
2
ab b
；
2
用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的 2 倍，
两条公式也可以合写在一起：
．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾
2
ab b
a b
2
a
2
2
平方， 2 倍乘积在中央”．
二、常用技巧
1.
2.
3.
4.
；
；
，
1001
abc
10101
ab
·
0.142857
abcabc
ababab
1
·
7
4
7
111 1 111 1 123
1
个
·
0.571428
2
7
5
7
1
n
个
，
n
·
·
·
0.285714
，
·
·
0.714285
，
·
·
0.428571
，
·
·
0.857142
；
3
7
6
7
n
321
，其中 9n ．
例题精讲
一、前 n 项和
【难度】2 星
【题型】计算
2
2
2
5
2
3
19
【例 1】 2
1
【考点】公式法之求和公式
2
【解析】 2
3
19
1
2
2
(1
3
1 19 20 39 4
6
2470
5
2
2
9 10 19
2
1
6
2
19 )
2
(2
2
4
2
18 )
1
（
2
2
2
9
）
2
教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。
1
2470 285
【答案】 2185
2185
2
2
4
2
【巩固】 2
7
1
【巩固】
【考点】公式法之求和公式
【解析】原式 2
(1
5
2
2
2
2
2
8
2
10
2
16 )
2
(3
2
13
2
2
11
14
【难度】3 星
2
6
12
9
2
2
2
16
2
15 )
【题型】计算
2
(1
2
2
2
2
16 ) 3
2
(1
2
2
2
3
2
4
2
5 )
【答案】1001
1496 495 1001
16 17 33
6
9
5 6 11
6
400
【难度】3 星
【题型】计算
2
2
2
3
2
4
2
5
2
【例 2】 计算： 36 49 64 81
【考点】公式法之求和公式
2
【解析】原式 2
6
2
1
1
6
2870 55 2815
20 21 41
7
2
2
8
2
3
20
2
20
1
6
2
2
1
5 6 11
【答案】 2815
【题型】计算
3
14
3
3
【例 3】 计算： 3
3
1
5
【考点】公式法之求和公式
【解析】原式
3
1
15
2
3
4
2
8
3
1
3
3
2
3
15 1
4
2 7
3
7
3
9
3
13
3
15
3
11
【难度】3 星
3
3
15
4
2
3
3
14
3
2
3
7
【答案】 8128
57600
4
8128
2
2
8
3
99
【巩固】计算： 3
1
【巩固】
【考点】公式法之求和公式
3
5
3
3
【解析】与公式
3
1
3
2
3
n
1 2
___________．
【难度】3 星
2
n n
4
n
2
【题型】填空
2
1
相比， 3
1
3
3
3
5
3
99
缺少偶数项，所以可以
先补上偶数项．
原式
3
1
2
3
3
3
3
100
3
2
3
4
3
100
1 100
4
1
4
100
2
2
101
3
2
3
2
3
50
2
2
101
3
2
2
50
2
51
3
1
1
4
2
50
2
101
2
2 51
12497500
【答案】12497500
【例 4】 计算：
3
1 2
3
1 2 3
【考点】公式法之求和公式
3
3
2006
2006
【难度】3 星
【题型】填空
教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。
2
【解析】原式
【答案】 2013021
1 2 3
1 2 3
2
2006
2006
1 2 3
2006
1 2006
2
2006 1
2013021
2 1
【题型】填空
。
【例 5】 计算： 2004 2003 2003 2002 2002 2001 2001 2000
【考点】公式法之求和公式
【关键词】西城实验
【解析】原式 2003 2 2001 2
1 3 5
1002 2
1 2003
2001 2003
2
2
2008008
【难度】3 星
3 2 1 2
其中也可以直接根据公式
1 3 5
【答案】 2008008
2001 2003 1002
1 3 5 7
2
2
1n
【例 6】 计算： 2
1 2
2 3
【考点】公式法之求和公式
【解析】分拆 ( 2 1 )
2
2
2
3
2
3 4
2
19 20
2
18 19
【难度】3 星
2
3
2
3
3
3
2
，( 3 1 )
2
再用公式
2
n
得出
2
【题型】计算
原式 3
(2
2
2 )
3
(3
2
3 )
......
3
(20
2
20 )
(1 2
3
3
3
3
...... 20 )
(1 2
2
2
3
... ... 20 )
2
1
4
2
20
2
21
1
6
【答案】 41230
20 21 41 41230
3 2 3
，例如
1
n
a
______________；
______________．
2
，那么：
3 12
【题型】填空
99
2
99
2
2 3
2
3
a n
【例 7】 对自然数 a 和 n ，规定
⑴ 1 2 2 2 3 2
⑵ 2 1 2 2 2 3
n
a
99 2
2 99
【难度】3 星
【考点】公式法之求和公式
【解析】⑴ 原式 2
1 2
3
1
99
99
2
2
2
99
1
2
1 2 3
1 99 100 199 4950
6
328350 4950 333300
1
2
⑵ 原式 1
2
2
2
2
2
2
2
98
3
2
2
992
3 2
2
2
1
0
2
2
1
2
2
1
3
99
3
1
2
2
98
2
2
99
0
2
3
0
2
【答案】⑴ 333300
⑵ 99
3 2
3
98
3
2
2
99
2
2
1 ， 3
【巩固】看规律 3
1
1
【巩固】
【考点】公式法之求和公式
【关键词】人大附中
【解析】原式
3
1
2
3.
2
105
2
15
【答案】10800
3
2
3
2
3
， 3
2
1
6
【难度】3 星
……，试求 3
6
【题型】计算
3
3
2
7
3.
14
3
3
14
3.
2
105 15 105 15
3
1
3
5
1 2 3
90 120 10800
14
2
1 2 3 4 5
2
教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。
3
【例 8】 计算：
1
1
3
1
2
3
1
3
3
1
4
3
1
5
3
1
6
3
【考点】公式法之求和公式
【解析】法一：利用等比数列求和公式。
【难度】3 星
原式
1
71
1
3
11
3
1
71
3
3
2
1
264
729
【题型】计算
1
设
S
法二：错位相减法．
1
2
3
1
3
1
3
3 1
S
则
3
1
3
3
1
2
3
1
4
3
1
3
3
1
5
3
1
4
3
1
6
3
1
5
3
，
3
S
S ，整理可得
3
S
1
1
6
3
364
729
．
法三：本题与例 3 相比，式子中各项都是成等比数列，但是例 3 中的分子为 3，与公比 4 差 1， 所
以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项
的分子变得也都与公比差 1．由于公比为 3，要把分子变为 2，可以先将每一项都乘以 2 进行算，最
后再将所得的结果除以 2 即得到原式的值．
由题设，
2
S
2
2
3
2
2
3
2
3
3
2
4
3
2
5
3
2
6
3
，则运用“借来还去”的方法可得到
2
S
，
3
1
6
3
整理得到
S
1
【答案】 364
729
1
364
729
．
5
【例 9】 计 算 7
6
3 2
2
2
， 103
19683
【考点】公式法之求和公式
【解析】注意到式子的特点是从第一个加数开始，每一个加数比前一个加数 2 的指数减少1， 3 的指数增加1.
3
4
2
3
3
， 82
128
【难度】3 星
1024
512
【题型】计算
5
2
3
， 92
256
2
， 72
59049
的 值 。（ 已 知 73
， 102
6
2 3
， 83
2187
6561
2
3
7
3
93
，
）
4
3
2
所以每一个加数是前一个加数的 3
2
倍，如果将题中加数按原来的顺序排列起来就是一个公比为 3
2
的
4
5
6
7
2
2
2
3
S
3 2
2
5
3
等比数列，于是按照错位减法进行运算即可。
记
3
2
3
2
，那么
S
2
4
3
3 2
2
5
3
2
3
3
8
3
2
S
S
S
2
8
2
4
3
3
3
8
3
2
2
2
2
2
S
3
2
6
4
3
2
7
5
3
6
2 3
6
2 3
7
3
,
7
3
8
3
2
，即原式的值为 6305 .
6561 256 6305
【答案】 6305
3
1
【例 10】 1
1
16
2
【考点】公式法之求和公式
【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营
1
32
1
128
1
64
【难度】3 星
1
4
1
8
13
11
5
7
9
15
1
256
17
1
512
19
1
1024
【题型】填空
．
【解析】原式
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
1
1
8 16
1
2
1
4
1
32
1
1
64 128
1
256
1
1
512 1024
1
2
10
1 19
1
2
100
1
1
2
10
100
10
1
1
2
1
2
1023
1024
1
教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。
4
【答案】 1023
1024
100
【解析】原式
3
4 16
【解析】计算： 3
【解析】
3
64
【考点】公式法之求和公式
3
3
4
3
3
4
1
6
4
3
2
4
3
2
4
1
4
3
4
3
4
3
(
4
)
【答案】 4095
4096
3
5
4
3
(
5
4
3
4
4
3
4
4
4095
4096
3
3
256 1024
3
4096
．
)
【难度】3 星
3
6
4
1
5
4
1
6
4
1
6
4
1
6
4
)
(
【解析】 3
【解析】
2
2
3
4
4
3
8
16
3
512
_______
【考点】公式法之求和公式
【解析】原式
2 4 6
16
3
2
1 2 3
2
8
3
72 3
1
1
512
74
【答案】 509
512
74
【难度】3 星
3
4
1
2
3
8
1
4
3
512
1
512
509
512
【例 11】 计算：
1
2
3
3
2
3
4
3
3
5
4
3
6
5
3
【考点】公式法之求和公式
7
6
3
【解析】设算式的值为 S ，那么
3
S
3 2
3
S
S
2 1
即
2
S
故
4
S
4
3
1
1
3
14
6
3
9
S
8
所以
4
3 2
3
4 3
2
3
1
1
5
3
3
3
2
2
4
2
3
3
，
1
4
3
2
3
3
17
6
3
9
．
1
2
3
2
1
3
14
6
3
3
6
3
1636
729
17
4 3
6
S
9
4
【答案】 1636
729
【题型】填空
【题型】填空
【题型】计算
，
7
5
3
，
6
4
3
7 6
5
3
7
6
3
【难度】4 星
5
3
3
6 5
4
3
3
3
5 4
3
3
4
2
3
，
7
6
3
2
5
3
，则
4
S
1
5
3
8
14
6
3
1
，
二、平方差与完全平方公式
【例 12】⑴
2
31415926
8766
2
2
⑵
1234
31415925 31415927
2468 8766
________．
________；
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式
【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营
教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。
【难度】2 星
【题型】填空
5
原式
⑵ 原式
【答案】⑴1
2
2
1
a
a
a
2
1234
8766
1234 8766
100000000
2
2
a
a
1
1
2 1234 8766
2
10000
2
⑵100000000
1
【难度】2 星
【题型】填空
【解析】⑴ 观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设 31415926
a
，
【巩固】 2009 2009 2008 2008
【巩固】
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式
【关键词】走美杯，3 年级，初赛
【解析】方法一：原式
2009
2009 2008 2009 2009 2008 2008
2009 2008 4017
2008 1
2009 1
2008
方法二：原式
=2009
2
2008
2
2009 2008
= 2009+2008
=4017 1
=4017
【答案】 4017
【巩固】 37 37 2 63 37 63 63
【巩固】
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式
【关键词】走美杯，3 年级，初赛
【解析】原式
【答案】10000
37 63
10000
100
2
2
【巩固】计算： 314 31.4 628 68.6 68.6 686
【巩固】
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式
【关键词】走美杯，6 年级，决赛
【解析】题目分析：答案为 100000。记原式为 X，则
＝
【难度】2 星
【题型】填空
。
【难度】3 星
【题型】填空
10X=314×314+628×686+686×686
=3142+2×314×686+6862
=(314+686)2=1000000，所以，X=100000。
【答案】100000
【例 13】有一串数1 ， 4 ，9 ，16 ， 25 ，36 ……它们是按一定规律排列的，那么其中第1990 个数与第1991
个数相差多少？
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式
【解析】这串数中第1990 个数是
1990 ，而第1991 个数是
(1991 1990)
2
1991
1990
2
2
(1991 1990) 1991 1990 3981
【难度】2 星
1991 ，它们相差
2
【题型】填空
【答案】 3981
【巩固】 a b、 代表任意数字，若 (
【巩固】
式，你来巧算下列各题吧．
a b
)
(
a b
)
，这个公式在数学上称为平方差公式．根据公
a a b b
⑴ 98 102
⑵ 67 73
⑶ 64 28
⑷ 2 29 3 31
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式
【解析】这个公式可以给我们的计算带来很多便利,在以后的奥数学习中会经常遇到,同学们最好记住哦.我们
【题型】计算
【难度】2 星
教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。
6
)
来进行下面的计算:
就依据公式 (
a b
(
⑴ 98 102 (100 2)
70 70 3 3 4900 9
⑵ 67 73 (70 3)
⑶ 64 28 2 32 28 2 (30 2)
⑷ 2 29 3 31 2 3 (30 1)
)
a a b b
a b
(100 2) 100 100 2 2 10000 4 9996
(70 3)
(30 2)
⑶1792
2 (30 30 2 2) 1792
6 (900 1) 5400 6 5394
【答案】⑴ 9996
⑷ 5394
4891
⑵ 4891
(30 1)
【例 14】计算：11 19 12 18 13 17 14 16
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式
【关键词】迎春杯，中年级组，决赛
【解析】本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．
【难度】3 星
．
原式
15
2
2
4
15
2
2
3
15
2
2
2
15
2
2
1
【题型】填空
2
15
4
2
2
4
2
2
3
2
1
可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式
其中 2
1
900 30 870
2
2
3
2
2
2
1
2
2
2
n
n n
1 2
n
1
进行计算．
4
1
6
【答案】 870
【例 15】
2007
8.5 8.5 1.5 1.5
10
160 0.3
．
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式
【关键词】迎春杯，初赛
【解析】原式
8.5 1.5 8.5 1.5
2007
10
【难度】2 星
【题型】填空
160 0.3
2007 10
8.5 1.5
10
160 0.3
2007 7
160 0.3
12.5 0.3
12.2
【答案】12.2
三、公式综合运用
【例 16】计算：1 4 3 7 5 10
【考点】公式法之综合运用
【关键词】仁华学校
【解析】观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为 1，3，5，……，99，
1n ，乘数可以
99 151
【难度】3 星
【题型】填空
．
乘数依次为 4，7，10，……，151，根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为 2
1n ，所以通项公式为
表示为 3
2
n
原式
2
2 1
6 1
2
6
1 2
1
6
n
n
．所以，
50 1
3
1
n
2
6 50
50
50
1
1 1
6 2
2
2
2
50
1
2
50 51 50
1
2
2
50 51 101
256225
另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个差变
为相等再进行计算．
原式
1
6
3 8 9 14 15 20
297 302
教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。
7
3
3 5
9
9 5
15
15 5
297
3 5 9
2
9 5 15
2
15 5
2
297
297 5
297 5
3 9 15
297
1 3 5
5 3
99
2
3
2
5
1 3 5
99
2
9
2
1
3
1
6
1
6
1
6
1
6
3
2
2
3
2
3
2
3
9
2
1
5
2
5
2
而 2
1
2
1
2
3
99
2
99
2
2
99 50
166650
1 3 5
所以原式 3
2
2
2
2
2
2
2
2
5
99
15
297
5
99
5
2
99
和1 3 5
2
2
1
3
2
100
1
6
1 100 101
6
1 99 100 101
6
166650
2500
5
2
100 101 201 4
256225
2500
，
，
都是我们非常熟悉的．
2
2
2
2
4
6
100
2
50 51 101
2
1
6
201 102
小 结 ： 从 上 面 的 计 算 过 程 中 可 以 看 出 ， 2
1
2
3
2
5
2
99
1 2 2 3
所以有
2
1
【答案】 256225
99 100
99 100 101
，
2
3
2
5
2 1 2 2 3
99 100
1
3
2
99
1
6
99 100 101
， 而
【例 17】计算：
1
2 3
【考点】公式法之综合运用
24
1
4 5
【解析】
2
2
2
1
1
1
所以， 2
1
2
1
2
n
1
n n
6
1 2
n
2
2
2
1
2
2
1
1
2
10
1
1
2
20 21
1
【难度】4 星
24
1 2
2
2
n
n
1
2
2
2
1
1
2
10
．
2
2
2
1
【题型】填空
12
n
2
1
2
n
2
n
1
2
n
1
1 2
n
2
，
12
1
2 3
1
3 4
1
4 5
1
5 6
1
20 21
1
21 22
，
所以原式
24
12
12
1
2 3
1
2 3
1
1
3
2
1
4 5
1
3 4
1
1
4
3
1
4 5
20 21
1
1
5 6
1
1
22
21
12
1
2 3
1
1
3 4
1
20 21
21 22
1
5 6
1
20 21
1
21 22
1
4 5
教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。
8
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