8-6 操作找规律.学生版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：0.77M 资料格式：doc 举报版权申诉

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操作找规律知识点拨知识点说明在奥数中有一类“不讲道理”的题目，我们称之为“简单操作找规律”。有一些对小学生来说很难证明的，但与证明相比，发现却是比较容易的。这也是数学中的一种重要的思想，在以后的数学学习中会有一种先猜后证的解题方法。这类题主要考查孩子们的发现能力。例题精讲模块一，周期规律【例 1】四个小动物换座位．一开始，小鼠坐在第 1 号位子，小猴坐在第 2 号，小兔坐在第 3 号，小猫坐在第 4 号．以后它们不停地交换位子．第一次上下两排交换．第二次是在第一次交换后再左右两排交换．第三次再上下两排交换．第四次再左右两排交换……这样一直换下去．问：第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？（参看下图）【考点】操作找规律【关键词】华杯赛，初赛【解析】根据题意将小兔座位变化的规律找出来．【难度】2 星【题型】解答可以看出：每一次交换座位，小兔的座位按顺时针方向转动一格，每 4 次交换座位，小兔的座位又转回原处．知道了这个规律，答案就不难得到了．第十次交换座位后，小兔的座位应该是第 2 号位子。【答案】第 2 号【例 2】在 1989 后面写一串数字。从第 5 个数字开始，每个数字都是它前面两个数字乘积的个位数字。 2 ……那么这串数字中，前 2005 个数字的 2 8 6 8 8 4 9 8 9 这样得到一串数字：1 和是____________。【难度】2 星【考点】操作找规律【关键词】迎春杯，中年级，初试【解析】由题意知，这串数字从第 5 个数字开始，只要后面的连续两个数字与前面的连续两个数字相同，后【解析】面的数字将会循环出现。1989 ︱ 286884 ︱ 28 ……由上图知，从第 5 个数字开始，按 2,8,6,8,8,4 循环出现。  1 9 8 9       ，前 2005 个数字和是  27 11988 16 12031 【题型】填空 2005 4  6 333  3  2 8 6 8 8 4       2 8 6   333 。          8-6.操作找规律.题库教师版 page 1 of 9

【答案】12031 【例 3】先写出一个两位数 62，接着在 62 右端写这两个数字的和 8，得到 628，再写末两位数字 2 和 8 的和 10，得到 62810，用上述方法得到一个有 2006 位的整数：628101123…，则这个整数的数字之和是。【考点】操作找规律【关键词】华杯赛，决赛，第 5 题，10 分【解析】该整数位 6281011235813471123581347…从第 6 位开始，10 个一循环，(2006-5)÷ 10=200…1，所以，【题型】填空【难度】2 星整个整数的数字之和为：6+2+8+1+0+200×（1+1+2+3+5+8+1+3+4+7）+1=7018。【答案】 7018 【例 4】有一串数 1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前 2009 个数中，有_________个是 5 的倍数。【难度】2 星【考点】操作找规律【关键词】走美杯，初赛，六年级【解析】由于两个数的和除以 5 的余数等于这两个数除以 5 的余数之和再除以 5 的余数．【题型】填空所以这串数除以 5 的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1， 0，1，1，2，3，0，…… 可以发现这串余数中，每 20 个数为一个循环，且一个循环中，每 5 个数中第五个数是 5 的倍数．由于 2009 5 401 4    ，所以前 2009 个数中，有 401 个是 5 的倍数．【答案】401 个【例 5】小明按 1~5 循环报数，小花按 1~6 循环报数，当两个人都报了 600 个数时，小花报的数字之和比小明报的数字之和多________________。【考点】操作找规律【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 4 题【解析】小花一个循环报的数字之和为： 1 2 3 4 5 6 【难度】2 星【题型】填空      ，小明一共报了 600 5 120 1 2 3 4 5 15 报的数字之和比小明报的数字之和多：100 21 120 15 2100 1800 300       。       ，小明一个循环报的数字之和为：   （组），小花一共报了 600 6 100   （组），所以小花 21 【答案】 300 【例 6】已知一列数：5，4，7，1，2，5，4，3，7，1，2，5，4，3，7，1，2，5，4，，3，……，由此可推出第 2008 个数是____________。【难度】2 星【考点】操作找规律【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 8 题【解析】观察数列发现，除前两个数字之外， 7 ， 1 ， 2 ， 5 ， 4 ， 3 六个数字周期出现，因为【题型】填空 (2008 2) 6 334    ，所以第 2008 个数是1。 2  【答案】1 【例 7】 50 名同学围成一圈做游戏：从某一个同学开始顺时针从 1 开始依次连续报数，报含有数字 7 的数（如 7，17，71 等）或 7 的倍数的同学击 1 次掌. 如此进行下去，当报到 100 时，所有同学共击掌 ___________次. 【难度】2 星【考点】操作找规律【关键词】迎春杯，三年级，初赛【解析】含有数字 7 或 7 的倍数的数有 3 类：个位为 7 的，有 7 ，17 ，…，97 ；十位为 7 的，有 70 ，71，…，【解析】 79 ； 7 的倍数有 7 ， 14 ， … ， 98 . 其中有包含排除关系，根据容斥原理， 1 ～ 100 中共有 (10 2 )+(10 2 ) 14 30  个，所以共击掌 30 次. 【题型】填空  【答案】 30 8-6.操作找规律.题库教师版 page 2 of 9

【例 8】某班 43 名同学围成一圈。由班长起从 1 开始连续报数，谁报到 100，谁就表演一个节目；然后再由这个同学起从 1 开始连续报数，结果第一个表演节目的是小明，第二个演节目的是小强。那么小明和小强之间有________名同学。【考点】操作找规律【关键词】迎春杯，中年级，初赛【解析】有两种情况为：12 或 29 .100 43 2 14 【解析】【答案】12 或 29 【难度】2 星  【题型】填空   。小明和小强之间有同学14 2 12   （名）或 43 14   。 29 【例 9】二十多位小朋友围成一圈做游戏．他们依顺时针顺序从小赵报 1 开始连续报数，但 7 的倍数或带有数字 7 的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学报 90 时他错报了 91．如果他第一次报数报的是 19，那么这群小朋友共有人．【难度】2 星【题型】填空【考点】操作找规律【关键词】走美杯，5 年级，决赛【解析】a .“跳过去不报”指一个小朋友报了 6，下一个小朋友不报数而是拍手，再下一个小朋友报 8。此时，每个人应当轮到的数和上一次轮到的数（报出来或者拍手跳过）之间的差等于总人数。小明本次应当拍手，而不是报出 91。所以，总人数是 91-19=72 的约数，有 72，36，24，18，……，其中是“二十多”的只有 24。 b. “跳过去不报”指一个小朋友报了 6，下一个小朋友直接报 8。此时，把所有 7 的倍数和带有数字 7 的数去掉之后，剩余的数字排成一列，每个人应当轮到的数和上一次轮到的数在这个数列中的位置号之差等于总人数。从 19 到 90 这 72 个数中，含有数字 7 的有 27，37，47，57，67，70 到 79，87，共 16 个，是 7 的倍数且不含有数字 7 的有 21，28，35，42，49，56，63，84 共 8 个，所以排除掉之后剩下 48 个，总人数应当是 48 的约数，有 48，24，16，……，其中是“二十多”的也只有 24。这道题目存在两种不同的理解方式，但是答案却恰好相同，这确实是巧合。【答案】 24 【例 10】 50 位同学围成一圈，从某同学开始顺时针报数．第一位同学报 l，跳过一人第三位同学报 2，跳过两人第六位同学报 3，……这样下去，报到 2008 为止．报 2008 的同学第一次报的是______ 【难度】2 星【考点】操作找规律【关键词】走美杯,初赛,六年级【解析】将这些学生按报数方向依次编号；1、2、3、……49、50、51……2008，每一个人的编号不唯一，例 1 如编号为 2001、1951……101、51 的和编号为 1 的为同一个人，这样第 n 次报数的人的编号为【题型】填空 ,  n n  2 报 2008 的同学的编号为 2017036，他的最小编号为 36，我们知道 36=1+2+3+4+5+6+7+8，所以报 2008 的同学第一次报 8. 【答案】 8 【例 11】如果一个自然数的各位数字中有偶数个偶数，则称之为“希望数”。例如，26,201,533 是希望数， 8,36,208 不是希望数，那么，把所有的希望树从小到大排列，第 2010 个希望数是____。【考点】操作找规律【关键词】希望杯，5 年级，复赛，第 8 题【解析】在不进位的情况下：希望数+1=非希望数，且非希望数+1=希望数，即希望数与非希望数交替出现，【题型】填空【难度】3 星因此从 0~9 开始，每 10 个数中有 5 个希望数，因此第 2010 个希望数为 2010 2 1 4019    。【答案】 4019 模块二，递推规律【例 12】有依次排列的 3 个数：2，0，5，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2， 2 ，0，5，5，这称为第一次操作，第二次同样的操作后 8-6.操作找规律.题库教师版 page 3 of 9

也可产生一个新数串：2， 4 ， 2 ，2，0，5，5，0，5．继续依次操作下去．问：从新数串 2，0， 5 开始操作，第 100 次后产生的那个新数串的所有数之和是多少？【题型】填空【难度】2 星【考点】操作找规律【解析】观察操作次数：开始总易发现每操作一次总和增加 3．因此操作 100 次后产生的新数串所有数之和为 7 3 100 307 第一次 10 第二次 13 第三次   和： 16 7  ． … … 【答案】 307 【例 13】对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换．如对 18 和 42 可作这样的连续变换：18，42→18,24→18,6→12,6→6,6 直到两数相同为止．问：对 1234 和 4321 作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是．【考点】操作找规律【解析】操作如下：1234，4321→1234，3087→1234，1853→1234，619→615，619→615，【题型】填空【难度】2 星 4 →… → ，  7 前一数每次减少 4 4→3，4→3，1→2，1→1，1 实际上按此法操作最后所得两相同的数为开始两数的最大公约数．即 1234 与 4321 的最大公约数为 1．此法也称为辗转相减法求最大公约数．【答案】1 【巩固】将两个不同的自然数中较大数换成这两个数之差，称为一次操作．如对 18 和 42 可连续进行这样的操作，则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，．直到两数相同为止．试给出和最小的两个四位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是 15．这两个四位数是【题型】填空【考点】操作找规律【解析】由题意，我们可以多给几组数按题目所给操作方法进行操作，从中找出规律．【难度】3 星与．例如：136，63→…→1，1 36，27→…→9，9 84，36→…→12，12 考察操作后所得结果，不难发现每次所得的最终结果是开始两数的最大公约数，因此我们只需找到两个尽量小的四位数，他们都是 15 的倍数，可得 1005 和 1020．【答案】1005 和 1020 【例 14】如图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸片后，一共有多少个小洞孔？【难度】2 星【考点】操作找规律【关键词】华杯赛【解析】一次操作后，层数由 1 变为 4，若剪去所得小正方形左下角，展开后只有 1 个小洞孔，恰是大正方形的中心．连续两次操作后，折纸层数为 24 ，剪去所得小正方形左下角，展开后在大正方形上留有  (个)小洞孔．连续三次操作后，折纸层数为 34 ，剪去所得小正方形左下角，展开后大正 4 4 (个)小洞孔．按上述规律不难断定：连续五次操作后，折纸层数为 54 ，剪去所方形留有 3 1 4   得小正方形左下角，展开后大正方形纸片上共留有 5 1 【题型】填空 2 1   (个)小洞孔．   256 16 1 4 4 4 4 2 4   【答案】 256 【例 15】如右图，一把密码锁上有 25 个按钮，必须将所有的按钮都按一遍才能将锁打开；而当我们按一个按钮后，只能按照这个按钮上的提示按下一个按钮。比如，当我们按第一行的第二个按钮“下 2”后， 8-6.操作找规律.题库教师版 page 4 of 9

按照提示“下 2”，向下 2 格，只能按第三行的第二个按钮“左 1”，接着只能按第三行的第一个按钮“下 l”……为了打开这个密码锁，请你选择第一个按钮，并将这个按钮涂上阴影。【考点】操作找规律【关键词】走美杯，决赛，5 年级【解析】右 2 【答案】右 2 【难度】2 星【题型】填空【例 16】如左图所示，机器人从 5×5 方格图左上角阴影格子的中心出发，每一步都是走向与机器人所在方格有公共边的方格的中心，最终回到出发点。除去出发的方格外，机器人最多到过其它方格一次，图中的折线就是机器人走过的路径。然后我们在机器人没有到过的方格内填上数，这个数表示该方格周围的 8 个格子中有几个是机器人在格子内拐弯的。现在，已知在右下图所示的 7×7 方格图中机器人未到过的方格填上的数，请你在图中画出机器人行走的路径。【考点】操作找规律【关键词】走美杯，决赛，5 年级【解析】【难度】3 星【题型】填空【答案】【例 17】黑板上写着一个形如 777…77 的数，每次擦掉一个末位数，把前面的数乘以 3，然后再加上刚才擦掉的数字．对所得的新数继续这样操作下去，证明：最后必获得数 7．【难度】2 星【考点】操作找规律【解析】略．【答案】黑板上起初数是 777…77，每次操作后就变出一个新数．不妨设这个数的末位数为 b ，前面的数为 a ，所以就是形为10a b 的数．每次操作后，黑板上就成为 3a b ，它比原数少了 7a ．由此可知：⑴每次操作将使原数逐步变小；⑵如果原数能被 7 整除，那么所得新数仍能被 7 整除．所以黑板上最后必将变成 7，例如当原数为 777 时，就有 777→238→77→28→14→7 【题型】填空 8-6.操作找规律.题库教师版 page 5 of 9

【例 18】有一副扑克牌，一开始抓若干张（小于 13 张），然后进行下列操作：抓和手里现有的扑克牌数目相等的扑克牌，然后若扑克牌总数超过 13 张，则放回其中的 13 张，称为一次操作。进行了 777 次操作后，手里有 7 张牌，则一开始手里有多少张？【难度】3 星【考点】操作找规律【题型】填空【解析】根据倒退法知道第 777 次操作后是 7 ，那么第 776 次操作就是： ，第 775 次操作就是  ，找到规律是遇见奇数就是加13 后除以 2，遇见偶数就是直接除以 2 ，所以操作后得到这样 10 2=5 一串数为： 7 、10 、5 、 9 、11、12 、 6 、3 、8 、 4 、 2 、1、 7 、10  ，观察发现是12 个一周期，所以 777 12=64  ，所以第一次手里的数是 8 ，一开始手里的数是 4 张扑克。 7 13 2=10 9    【答案】 4  【例 19】有 20 堆石子，每堆都有 2006 粒石子．从任意 19 堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作．经过不足 20 次操作后，某一堆中有石子 1990 粒，另一堆石子数在 2080 到 2100 之间．这一堆石子有粒．【难度】2 星【考点】操作找规律【关键词】走美杯，5 年级，决赛【解析】根据题意可以得出，某一堆石子，如果被取一次，则数量减少 1，如果被放入一次，则数量增加 19。考虑有 1990 粒石子的那一堆，如果至少一次被放，则最多 19 次被取，最后石子数肯定不少于原来的 2006 粒。则该石子一次也没被放入过，则总共操作了 16 次。由于另一堆石子数在 2008 与 2100 之间，则只被放入过 5 次，被取 11 次，剩下石子 19×5-11+2006=2090 粒。【题型】填空【答案】2090 粒【例 20】若干个硬币排成下图。每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差（大数或小数），如对于 a，差为 7-5=2。所有差的总和为（）。【考点】操作找规律【关键词】走美杯，初赛，六年级【解析】找规律得 102 【答案】102 【难度】2 星【题型】填空【例 21】将一个两位数的数字相乘，称为一次“操作”．如果积仍是二个两位数，重复以上操作，直到得到一个一位数．例如： 29       (停止)共经历两次操作．一个两位数经过 3 次如上操 2 9 18 1 8 8 作，最终得到一位数．这个两位数最小是（）．【考点】操作找规律【关键词】走美杯，3 年级，初赛【难度】2 星【题型】填空【解析】这个两位数最小是 39， 39 【答案】 39       2 7 14 1 4    。 3 9 27 4 8-6.操作找规律.题库教师版 page 6 of 9

【例 22】一个特别的计算器，只有蓝、红、黄三个键．蓝键为“输入/删除”键(按它一下可输入一个数，再按它一下则将显示屏上的数删除)．每按一个红键，则显示屏上的数变为原来的 2 倍；每按一下黄键，则显示屏上的数的末位自动消失．现在先按蓝键输入 21．请你设计一个操作过程，要求：⑴操作过程中只能按红键和黄键；⑵按键次数不超过 6 次；⑶最后输出的数是 3．【考点】操作找规律【关键词】小学生数学报【解析】略【答案】需按 4 次红键 2 次黄键，有如下操作方式：【难度】2 星【题型】填空红红红 21       3 21       21       21 3       42 42 42 2 168 168 8 33 32 336 16 84 84 4 32 32 16 16 红红黄黄 3 红红红红黄红黄红红黄红红 8 红黄 4 黄 3 红黄【例 23】乒乓球从高空落下，到达地面后弹起的高度是落下高度的一半，如果乒乓球从 8 米的高度落下，弹起后再落下，则弹起第次时它的弹起高度不足 1 米。【考点】操作找规律【关键词】走美杯，3 年级，初赛【解析】第一次 4 米，第二次 2 米，第三次1米，第四次 0.5 米。四次时不足1米。【答案】 4 【题型】填空【难度】2 星【例 24】三条直线最多可以将一个正方形分割为【考点】操作找规律【关键词】走美杯，3 年级，初赛【解析】如图可知：【难度】2 星部分。【题型】填空 1 条直线最多可以讲图形分成 2 部分 2 条直线最多可以将图形分成 4=2+2 部分 3 条直线最多可以将图形分成 7=2+2+3 部分以此类推可以找到 N 条线分平面的规律为 2 2 3 S      部分。 N 【答案】 7 【例 25】 24 枚棋子排成三行，第一行 6 枚，第二行 7 枚，第三行 11 枚，每次可将一些棋子从一行移入另一行，但移动的棋子数必须等于移入那一行的棋子数，人移动三次，使每行都变成 8 个，把移动过程写入下表中．【考点】操作找规律【关键词】走美杯，3 年级，初赛【难度】2 星【题型】解答 8-6.操作找规律.题库教师版 page 7 of 9

【解析】三行棋子初始为： 6   7   11  第一次操作  6   14   4  第二次操作  12   8   4  第三次操作  8   8   8  【答案】 6   7   11  第一次操作  6   14   4  第二次操作  12   8   4  第三次操作  8   8   8  【例 26】如图，有一个边长为 1 的正三角形，第一次去掉三边中点连线围成的那个正三角形；第二次对留下的三个正三角形，再分别去掉它们中点连线围成的三角形；…做到第四次后，一共去掉了________ 个三角形. 去掉的所有三角形的边长之和是________. 【难度】3 星【考点】操作找规律【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第 9 题【解析】第一次去掉 1 个三角形，得到 3 个小三角形，去掉的三角形的边长为 3× 1 2 【题型】填空；第二次去掉 3 个三角形，得到 9 个小三角形，去掉的三角形的边长为 3×3× 1 ； 4 第三次去掉 9 个三角形，得到 27 个小三角形，去掉的三角形的边长为 9×3× 1 8 第四次去掉 27 个三角形，去掉的三角形的边长为 27×3× 1 16 所以，四次共去掉 1＋3＋9＋27＝40（个）小三角形，＋27× 1 去掉的所有三角形的边长之和是：3× 1 2 8 ＋81× 1 16 ＝12 3 16 ＋9× 1 4 ；；【答案】去掉 40 个三角形，边长和是 312 16 【例 27】观察下列正方形数表：表 1 中的各数之和为 1，表 2 中的各数之和为 17，表 3 中的各数之和为 65，… （每个正方形数表比前一个正方形数表多一层方格，增加的一层方格中所填的数比前一数表的最外层方格的数大 1）．如果表 n 中的各数之和等于 15505，那么 n 等于_________． 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 表1 表2 【难度】4 星 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 2 1 2 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 … 表3 【题型】填空【考点】操作找规律【关键词】迎春杯，高年级，初赛  【解析】表 n 比表 1n  多  8 【解析】   1 1 8 1 2 2 3     1 8 n n        n  和是因为 1   1n  个 n ，也就是表 n 的数字总和比表 1n  的数字总和大  8 n n  ．表 n 的数字  1   1 n n      3 15505   ， 1 8     n  1   n n  1   3 ． 8-6.操作找规律.题库教师版 page 8 of 9

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