7-8-2 几何计数（二）.教师版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：0.70M 资料格式：doc 举报版权申诉

第1页 / 共10页

第2页 / 共10页

第3页 / 共10页

第4页 / 共10页

第5页 / 共10页

第6页 / 共10页

第7页 / 共10页

第8页 / 共10页

文本预览

7-8-2.几何计数（二）教学目标 1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．知识要点一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成个部分；n 个圆最多分平面的部分数为 n(n-1)+2；n 个三角形将平面最多分成 2 2 3        n …… 2) n 2 ( n 1 2 3n(n-1)+2 部分；n 个四边形将平面最多分成 4n(n-1)+2 部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有 n+1 个点(包括两个端点)（或含有 n 个“基本线段”），那么这 n+1 个点把这条线段一共分成的线段总数为 n+(n-1)+…+2+1 条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为 DE 上有 15 条线段，每条线段的两端点与点 A 相连，可构成一个三角形，共有 15 个三角形，同样一边在 BC 上的三角形也有 15 个，所以图中共有 30 个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有 n 条线段，纵边上共有 m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．例题精讲 7-8-2.几何计数（二）.题库教师版 page 1 of 10

模块二、复杂的几何计数【例 1】如下图在钉子板上有 16 个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4 星【题型】填空【关键词】学而思杯，2 年级，第 4 题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到 9 4 1 14 4 个正方形，如下图⑶可以得到 2 个正方形．这样一共可以得到14 4 2    个正方形． 20    个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到 <考点> 图形计数【答案】 20 个 ⑴ ⑵ ⑶ 【巩固】如图， 4 4 的方格纸上放了 16 枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)． 1 1 的正方形：9 个； 2 2 的正方形：4 个； 3 3 的正方形：1 个；以1 1 正方形对角线为边长的正方形：4 个；以1 2 长方形对角线为边长的正方形：2 个．故可以组成 9 4 1 4 2      (个)正方形． 20 【巩固】下图是 3×3 点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为 1。以点阵中的三个点为顶点构成三角形，其中面积为 1 的形状不同的三角形有种。【考点】复杂的几何计数【难度】4 星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第 11 题【解析】在本题中，三角形的面积是 1，底和高只能一个是 1，一个是 2，可以有以下三种情况：【答案】【例 2】一块木板上有 13 枚钉子（如左下图）。用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形，等等（如右下图）。请回答：可以构成多少个正方形？ 7-8-2.几何计数（二）.题库教师版 page 2 of 10

【考点】复杂的几何计数【难度】4 星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，试题，第 2 题【解析】如下图所示，可以将正方形分为四类，分别有 5 个、1 个、4 个、1 个，共 11 个。【答案】11个【例 3】在 3×3 的方格纸上（如图 1），用铅笔涂其中的 5 个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图 2 和图 3 是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由。【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第 10 题，10 分【解析】不同类型的涂法有 3 种，如下图 A 说明：①所涂 5 个阴影方格分布在 3 行中，只有一行涂有 3 个阴影方格．同样，仅有一列涂有 3 个阴影方格．②所以，仅有一个方格，它所在的行和列均有 3 个阴影方格，有这种性质的方格称为“特征阴影方格”．“特征阴影方格”在 3×3 正方格纸中的位置，就唯一地决定了 3×3 的方格纸的涂法．“特征阴影方格”在方格纸的角上（图 A 左边）、外边中间的方格（图 A 中间）和中心的方格（图 A 右边）三个位置确定了只有 3 种类型的涂法．【答案】 3 种【例 4】在下面的图中，包含苹果的正方形一共有个．【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空【关键词】学而思杯，1 年级，第 4 题【解析】包含 1 个基本正方形的带苹果正方形有 1 个，包含 4 个基本正方形的带苹果正方形有 4 个，包含 9 个基本正方形的带苹果正方形有 6 个，包含 16 个基本正方形的带苹果正方形有 2 个，所以共有 1 4 6 2 13     (个)． <考点> 图形的计数方法之——分类计数【答案】13 个【巩固】图中，不含“A”的正方形有【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空个。 7-8-2.几何计数（二）.题库教师版 page 3 of 10

【关键词】希望杯，4 年级，1 试【解析】面积为 1 的有 15 个，面积为 4 的有 7 个，面积为 3 的有 2 个，共 24 个. 【答案】 24 【巩固】图中，不含“A”的正方形有____________个。【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第 10 题【解析】面积为 1 的有 15 个，面积为 4 的有 5 个，面积为 9 的没有，所以不含 A 的有 20 个. 【答案】 20 个【例 5】在下图中，不包含☆的长方形有________个．【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】解答【关键词】学而思杯，4 年级，第 4 题【解析】根据乘法原理，所有长方形总数为(1+2+3+4+5+6)×(1+2+3+4+5+6)=441(个)，包含☆的长方形有【解析】 (个)． 3×3×4×4=144(个)，所以不包含☆的长方形有 2 C 7 21 21 9 16 441 144 9 16 2 C 7  297         【答案】 297 个【例 6】如图，其中同时包括两个☆的长方形有个．【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】解答【解析】先找出同时包括两个☆的最小长方形，然后其余所有满足题目要求的长方形都必须包括该最小长方形．根据乘法原理 2×2×2×3=24（种）不同的长方形．【答案】 24 个【例 7】图中含有“※”的长方形总共有________个． ※ ※ 【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】解答【解析】根据本题特点，可采用分类的方法计数．按长方形的宽分类，数出含※号的长方形的个数．【解析】    个，含有左上※号的长方形有： 6 6 6 18 其中，宽为 1(即高度为一层)的含※号的长方形为：6 个；宽为 2(即高度为两层)的含※号的长方形为：6 个；宽为 3(即高度为三层)的含※号的长方形为：6 个；含有右上※号的长方形有： 6 6 2 6 其中，宽为 1(即高度为一层)的含※号的长方形为：6 个；宽为 2(即高度为两层)的含※号的长方形为： 6 2 个；宽为 3(即高度为三层)的含※号的长方形为：6 个；同时含有两个※号的重复计算了，应减去，同时含有两个※号的长方形有： 4 4 8     个， 24   个， 7-8-2.几何计数（二）.题库教师版 page 4 of 10

其中，宽为 2(即高度为两层)的含※号的长方形为：4 个；宽为 3(即高度为三层)的含※号的长方形为：4 个；所以，含有※号的长方形总共有：18 24 8 34   个．  【答案】 34 个【例 8】在图中，包含 A 的三角形一共有个。【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空【关键词】学而思杯，2 年级，第 5 题【解析】包含五角星的三角形中含一个基本三角形的有1个；含四个基本三角形的有 4 个；含 9 个基本三角形的有 3 个；含16 个基本三角形的有1个。这样包含五角星的三角形一共有1 4 3 1 9     （个）。【答案】 9 【例 9】右图中有个正方形，个三角形，包含★的三角形有个． ★ 【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空【关键词】学而思杯，2 年级，第 7 题【解析】正方形：正着的方块有 4 个小的，1 个大的，斜的方块有 4 个小的，1 个大的；以正方形共有 10 个。三角形：小号的三角形有 16 个，其中有 1 个包含★ 中号的三角形有 16 个，其中有 2 个包含★ 大号的三角形有 8 个，其中有 3 个包含★ 特大号的三角形有 4 个，其中有 2 个包含★ 所以三角形有 44 个，包含★的有 8 个【答案】正方形10 个，三角形 44 个，包含★的有 8 个【例 10】下图是 5×5 的方格纸，小方格为边长 1 厘米的正方形，图中共有_______个正方形，所有这些正方形的面积之和为_______。【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 14 题【解析】图中面积为 1、4、9、16、25 平方厘米的正方形分别有 25、16、9、4、1 个，共有 55 个小正方形，所有小正方形的面积和为 259. 【答案】 55 个，面积和为 259 【例 11】由 20 个边长为 1 的小正方形拼成一个 4 5 长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形（含正方形）共有个，它们的面积总和是．【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】解答【关键词】走美杯，6 年级，决赛，10 题【解析】根据鼠标法，☆左上角共有 6 个点，右下角有 8 个点，所以共有长方形有 6 8 48   （个）面积总和为: (1 2 2 3 3 4 4 5)              (1 2 2 3 3 4) 360  ．【答案】长方形 48 个，面积和为 360 7-8-2.几何计数（二）.题库教师版 page 5 of 10

【例 12】图中内部有阴影的正方形共有个。【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第 10 题【解析】面积为 1 的正方形有 8 个，面积为 4 的正方形有 8 个，面积为 9 的正方形有 8 个，面积为 16 的正方形有 2 个，共计 26 个. 【答案】 26 个【例 13】在图中(单位：厘米)： ①一共有几个长方形? ②所有这些长方形面积的和是多少? 【考点】简单的几何计数【难度】3 星【题型】解答【解析】①一共有 (4 3 2 1) (4 3 2 1) 100         (个)长方形； ②所求的和是  (12 8) 5 12 8 1 (5 12)         (4 7) 2 4 7 3 (2 4)         (平方厘米)． 144 86 12384    【答案】（1）100 ，（2）12384   (8 1)  (7 3)   (5 12 8)   (2 4 7)        (4 7 3) (12 8 1)    (5 12 8 1)    (2 4 7 3)       【巩固】如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为 5 厘米、7 厘米、9 厘米、 2 厘米和 4 厘米、6 厘米、5 厘米、1 厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．【考点】简单的几何计数【难度】3 星【题型】解答【解析】利用长方形的计数公式：横边上共有 n 条线段，纵边上共有 m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形） nm 个，所以有  （个），这些长方形的面积和为：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）  （4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=124×86=10664（平方厘米）．      4 3 2 1 4 3 2 1    100    【答案】长方形共有：100 ，面积和为10664 7-8-2.几何计数（二）.题库教师版 page 6 of 10

【例 14】如图是由 18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个．那么，图中包含“ A ”号的大、小正三角形一共有______个．【考点】复杂的几何计数【难度】2 星【题型】解答【解析】分三类进行计数(设小正三角形边长为 1)包含*的三角形中，边长为 1 的正三角形有 1 个；边长为 2 的正三角形有 4 个；边长为 3 的正三角形有 1 个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1 4 1 6    (个)．【答案】 6 个【例 15】图中共有多少个三角形？【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】解答【解析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为 6 【解析】类 （1）最大的三角形 1 个(即△ABC)，（2）第二大的三角形有 3 个（3）第三大的三角形有 6 个（4）第四大的三角形有 10 个（5）第五大的三角形有 15 个（6）最小的三角形有 24 个所以尖向上的三角形共有 1+3+6+10+15+24=59（个）图中共有三角形 2×59=118（个）．【答案】118 个【例 16】图 3，由边长为 1 的小三角形拼成，其中边长为 4 的三角形有_____个。【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空【关键词】希望杯五年级一试第 16 题，5 分) 【解析】1+2+3=6 【答案】 6 个【例 17】右图是半个正方形，它被分成一个一个小的等腰直角三角形，图中，正方形有个，三角形有个。 7-8-2.几何计数（二）.题库教师版 page 7 of 10

【考点】复杂的几何计数【关键词】希望杯，五年级，一试，第 7 题【解析】正方形 10 个,角形 18+15+4+4+1=42 【答案】正方形10 个，三角形 42 个【难度】3 星【题型】填空【例 18】如图，连接一个正六边形的各顶点．问图中共有多少个等腰三角形(包括等边三角形)？【考点】复杂的几何计数【难度】4 星【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】本题需要分类进行讨论．【解析】 ① ② ③ ⑴先考虑其中的等边三角形．图①中，六边形的每1个顶点是某个小号等边三角形的顶点，而且，每个小号等边三角形，有且仅有一个顶点是六边形的一个顶点，既然六边形有6个顶点，所以图中有6个小号三角形；图②中，六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边，而且，每个中号等边三角形有且仅有一条边是六边形的一条边，既然六边形有6条边，所以图中有6个中号等边三角形；图③中，大号等边三角形有2个； ⑵再考虑其中非等边的等腰三角形．图中非等边的等腰三角形，按照面积大小分类有3种类型，见图④． ④ ⑤ ⑥ 其中小号的等腰三角形有6个，因为这类三角形均以六边形的一条边为其边长，并且，六边形的每一条边只唯一对应一个小号等腰三角形，而正六边形有6条边，所以有6个小号等腰三角形；中号的等腰三角形有12个，因为每个中号等腰三角形的长边都是六边形的一条非直径的弦，并且，以非直径的弦为长边的三角形有2个，如图⑤，这样的弦共有6条，所以有12个中号等腰三角形；大号的等腰三角形有6个，因为每个大号等腰三角形的长边都是六边形的一条直径，每条直径上都对应有2个大号三角形，如图⑥，共有3条直径，所以有6个大号等腰三角形．那么图中共有 6 6 2 6 12 6 38   个等腰三角形．     【答案】 38 个【例 19】图中有个正方形，有个三角形。 7-8-2.几何计数（二）.题库教师版 page 8 of 10

分享到：

赞收藏

资料库

7-8-2 几何计数（二）.教师版.doc

相关推荐

小学奥数

热门标签

最新资料