方程组解法综合 教学目标 1.学会用带入消元和加减消元法解方程组 2.熟练掌握解方程组的方法并用到以后做题 知识精讲 知识点说明： 一、 方程的历史 同学们，你们知道古代的方程到底是什么样子的吗？公元 263 年，数学家刘徽所著《九章算术》一 书里有一个例子：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉， 实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”刘徽列出 的“方程”如图所示。 方程的英语是 equation，就是“等式”的意思。清朝初年，中国的数学家把 equation 译成“相等式”，到 清朝咸丰九年才译成“方程”。从这时候起，“方程”这个词就表示“含有未知数的等式”，而刘徽所说的“方程” 就叫做“方程组”了。 二、 学习方程的目的 使用方程有助于解决数学难题，作为代数学最基本内容，方程的学习和使用不但能为未来初中阶段数 学学习打好基础，同时能够将抽象数学直观表达出来，能够帮助学生更好的理解抽象的数学知识。 三、 解二元一次方程组的一般方法 解二元一次方程的关键的步骤：是消元，即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程。 消元方法：代入消元法和加减消元法 代入消元法： ⒈ 取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程①； ⒉ 将①代入另一个方程，得一元一次方程； ⒊ 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ⒋ 将这个未知数的值代入①，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 加减消元法： 教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 1 

⒈ 变形、调整两条方程，使某个未知数的系数绝对值相等（类似于通分）； ⒉ 将两条方程相加或相减消元； ⒊ 解一元一次方程； ⒋ 代入法求另一未知数． 加减消元实际上就是将带系数的方程整体代入． 例题精讲 模块一、二元一次方程组 【例 1】 解方程 x y       x y  【考点】二元一次方程组 【解析】 ( y    x y ) ( x 5 1 （ ,x y 为正整数） 【难度】2 星 【题型】解答 ) 5 1   2 x  6 3 x  3 x    2 y y  得到 5 x 方法二：解 代入消元法，由 5 所以 3 x  ，所以方程的解为 x    y 【答案】 x    y 3 2 x 3 2   ，代入方程 y x y  中，得到 1 5  y    ，整理得 2 y  ， 1 y 【例 2】 解方程 2 v 4 v 【考点】二元一次方程组 9 u 3 u        20 10 （ ,u v 为正整数） 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 方法一：加减消元法 化 v 的系数相同，加减消元法计算得 2(9 u  2 ) v  去括号和并同类项得 方 法 二 ： 代 入 消 元 法 由 9 u 2 v 10  ，整理得 2 u  ， 1v  ，所以方程解为 3 u   4 10 4.5 u   【答案】 u    v 2 1   2 20 10   (3 u 18 u 4 ) v 3 u 15  u  u  u    v  得 到 10 4.5 u u    v 20 30 2 2 1 ， 代 入 方 程 3 u 2 1 20   v 4 v 10  中 得 到 【例 3】 解方程组 5 y  2 x  【考点】二元一次方程组 【解析】加减消元，若想消掉 y ，应将 y 的系数统一，因为 （ ,x y 为正整数） 【难度】2 星 0  17 y  x 3    【题型】解答 2,5 10 ，所以第一个方程应该扩大 2 倍，第 二个式子应该扩大 5 倍，又因为 y 的系数符号不同，所以应该用加消元，计算结果如下： 2(  ，解得 1y  。     ，17 x  ，所以 5 5 y x  得 5 2 0 5 17 5 ) 5(3 y 2 ) y 85 0    x x 教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 2 

【答案】 x    y 5 1 【例 4】 解方程组 7   y   【难度】2 星 【考点】二元一次方程组 【解析】将第一个式子扩大 2 倍和二式相减得 2(3 （ ,x y 为正整数） y 2    3 5 x x 8 x  y )  (5 x 【题型】解答  2 ) y    ，去括号整理11 2 5 12 x  解得 22 2 【例 5】 解方程组 x  ，所以方程的解为 2 x    1 y 50) 150) 5(3 2( x y    0.06 0.1 0.085 800 x y    【考点】二元一次方程组 【解析】对 第 一 个 方 程 去 括 号 整 理 ， 根 据 等 式 的 性 质 将 第 二 个 式 子 扩 倍 变 成 正 式 进 行 整 理 得 ： ，若想消掉 y ，将方程二扩大 3 倍，又因为 y 的系数符号不同，所以应该用加 （ ,x y 为正整数） 【难度】3 星 【题型】解答    x  3 ) 550 5 8.5 400 y    ，去括号整理得 27  x  17550 ，解 x x   15 3 y 550 y  8.5 400   2   5  消元，计算结果如下：(2 x  得 650 x  ，所以方程的解为 15 ) 5(5 y  650 x    50 y 【例 6】 【答案】 x    y 【考点】二元一次方程组 650 50 解下面关于 x 、 y 的二元一次方程组：     4 x  3 y y 1    2 0   4 3 x 【难度】3 星 【解析】整理这个方程组里的两个方程，可以得到： 成立的，所以这是题目本身的问题，无解 【答案】无解 4 4 x x      3 3 y y 【题型】解答 2 0   3 0   ， 可以看出，两个方程是不可能同时 y   1 4 3 4  2  （ ,x y 为正整数） 【例 7】 解方程组 3    x   9    4 x  【考点】二元一次方程组 【解析】本题需要同学能够利用整体思想进行解题，将 4x  与 1y  看出相应的未知数，因为每一项的分 母 不同 ，所 以 先将 分母 系 数化 成同 样 的， 所以 第 二个 式子 等 号两 边同 时 乘以 2 整 理得 ： ( ，根据分数的性质计算得 ，去括号整理后得到 【难度】3 星 【题型】解答 2 1      y 7 3  x 4 4  y ) 2(  1 x 9  4 21 4x  y 2 ) 3 2 2    1  x    y 7 3 x  ，所以方程的解为： 7 模块二、多元一次方程 【例 8】 解方程组    【考点】二元一次方程组 【解析】观察 ,      x x x 3 2 5 , 4 3 9 z y y  9   8 z   7 z 7 （ , x y z 为正整数） , x y z 的系数发现，第二个式子与第三个式子中 y 的系数是 3 倍关系，所以将第二个式子扩    ， 去 括 号 整 理 得 大 3 倍 与 第 三 个 式 子 相 减 得 到 ： 3(2 7 ) 3 9 8 z (5 3 9      x y x y z ) 【难度】3 星 【题型】解答 教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 3 

11 x  10 z  ，与第一个式子整理得 35 4 3 x z     11 10 x z   7  35 ，若想消掉 z ，，因为 4,10  20 ，所以第一 个方程应该扩大 5 倍，第二个式子应该扩大 2 倍，又因为 z 的系数符号相同，所以应该用减消元， 计算结果如下： 2(11 x x  ，所以方程   ，去括号整理得 7 x  ， 5 2 35 5 7 10 ) 5(3   4 ) z 35    x z 解为 x    y   z 5 7 2 z z z 【巩固】 解方程组 2 y x       2 x y       2 x y   【考点】二元一次方程组 【解析】将一式与二式相减得 (  三式相减得 2( 2  x y 7 8 9 （ , x y z 为正整数） , 【难度】3 星 ) 2 ) 8 7 y y z   去括号整理后得         ，去括号整理后得 3 ) ( 2 8 9 y x y    【题型】解答 (2 x 2 ) z z 1 y x  ；将二式扩大 2 倍与 x  ；最后将两式相加计 7 x z 算结果如下： ( y  x )  (3 y  x ) 1 7   ，整理得 4 8y  ， 4 y  所以方程的解为： x    y   z 1 2 3 【例 9】 解方程组 x y z         y z u     z u v      x u v  v x y     【考点】二元一次方程组 【解析】将 5 个式子相加得 x 1 2 5 2 7 （ , x y z u v 为正整数） , , , y v  ，同理连续相加得到 7 ，整理后解为      ，将 1 式与 2 式相加得 y x u  ，将 2 式与 3 式相加得 3 【题型】解答 【难度】3 星 17 z u v 3 x u       7 y v    7 z x     9 u y  8 z v    x     y z   u v  0 6 7 3 1 【答案】 x     y z   u v  0 6 7 3 1 教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 4