5-2-2.整数分拆之最值应用 教学目标 1. 熟练掌握整除的性质； 2. 运用整除的性质解最值问题； 3. 整除性质的综合运用求最值. 知识点拨 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除； 一个数的末两位能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除； 一个数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除； 2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除； 一个数各位数数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11 整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11 或 13 整除. 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质 性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除．即如果 c︱a， c︱b，那么 c︱(a±b)． 性质 2 如果数 a 能被数 b 整除，b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除．即如果 b∣a， c∣b，那么 c∣a． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质 3 如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么 a 也能被 b 或 c 整除．即如果 bc∣a，那 么 b∣a，c∣a． 性质 4 如果数 a 能被数 b 整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么 a 一定能被 b 与 c 的乘积整除．即如果 b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么 bc∣a． 例如：如果 3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性质 5 如果数 a 能被数 b 整除，那么 am 也能被 bm 整除．如果 b｜a，那么 bm｜am（m 为非 0 整数）； 性质 6 如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除．如果 b｜a ，且 d｜c ，那 么 bd｜ac； 例题精讲 模块一、2、3、5 系列 【例 1】 要使15 6abc 能被 36 整除，而且所得的商最小，那么 , ,a b c 分别是多少？ 【例 2】 把若干个自然数 1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最 5-2-2.整数分拆之最值应用.题库 教师版 page 1 of 3 

后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 【巩固】把若干个自然数 1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末 53 位恰好都是零，那么最后 【巩固】 出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 【例 3】 各位数码是 0、1 或 2，且能被 225 整除的最小自然数是多少？ 【例 4】 在 865 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被 3、4、5 整除，且使这个数值尽可能的 小。 模块二、11 系列 【例 5】 由 1，3，4，5，7，8 这六个数字所组成的六位数中，能被 11 整除的最大的数是多少？ 【例 6】 多位数 20092009  2009736  2009 n 个 ，能被 11 整除， n 最小值为多少？ 【巩固】 【巩固】 20092009  200909  2009 n 个 能被 11 整除，那么， n 的最小值为多少？ 5-2-2.整数分拆之最值应用.题库 教师版 page 2 of 3 

模块三、综合系列 【例 7】 如果一个至少两位的自然数 N 满足下列性质：在 N 的前面任意添加一些数字，使得得到的新数的 数字和为 N，但无论如何添加，这样得到的新数一定不能被 N 整除，则称 N 为“学而思数”。那么 最小的“学而思数”是 。 【例 8】 从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被 3、5、7、13 整除，这个数最大是多少？ 【例 9】 请求出最大的七位数，使得它能被 3、5、7、11、13 整除，且各位数字互不相同，这个七位数是多 少？ 【例 10】某个自然数既能写成 9 个连续自然数的和，还同时可以写成 10 个连续自然数的和，也能写成 11 个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？ 【例 11】一位工人要将一批货物运上山，假定运了 5 次，每次的搬运量相同，运到的货物比这批货物的 3 5 多 一些，比 3 4 少一些。按这样的运法，他运完这批货物最少共要运_______次，最多共要运________ 次。 5-2-2.整数分拆之最值应用.题库 教师版 page 3 of 3