1-3-1 定义新运算.教师版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：1.97M 资料格式：doc 举报版权申诉

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定义新运算教学目标定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 都是 2 和 3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算. 在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 2×3＝6 二定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合例题精讲模块一、直接运算型  【例 1】若 *A B 表示 B  【考点】定义新运算之直接运算【解析】A*B 是这样结果这样计算出来：先计算 A＋3B 的结果，再计算 A＋B 的结果，最后两个结果求乘  ，求 5*7 的值。【难度】2 星【题型】计算 3A   A B  积。由 A*B＝（A＋3B）×（A＋B）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312 1-3-1.定义新运算.题库教师版 page 1 of 13

【答案】 312 【巩固】定义新运算为 a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）【巩固】【考点】定义新运算之直接运算【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由 a△b＝（a＋1）÷b 得，3△4＝（3＋1）【难度】2 星【题型】计算 ÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7 【答案】 7 b b a a 【巩固】设 a △ 【巩固】【考点】定义新运算之直接运算【解析】 5 6 5 5 2 6 13 △ 5 2 5 5 2 2 21 △ 【答案】 435               ，那么，5△ 6  ______，(5△2) △ 3  _____. 2 【难度】2 星【题型】计算 ,1 3 21 21 6 435   △   P Q 2 ，求 3* (6* 8) 【巩固】 P 、 Q 表示数， *P Q 表示【巩固】【考点】定义新运算之直接运算【解析】 3*(6*8) 3*(  【答案】 5 6 8  2 ) 3*7   3 7  2  5 【难度】2 星【题型】计算【巩固】已知 a,b 是任意自然数,我们规定: a⊕b= a+b-1, 【巩固】 a   b ab  ,那么 2  4 5) 8) (3 (6       【考点】定义新运算之直接运算【解析】原式 4 【答案】 98 [(6 8 1)        (3 5 2)] 4 . 【难度】3 星 4 [13 13]       [13 13 1] 4 【题型】计算    25   4 25 2 98   )  M N 【巩固】 M N 表示 (  【巩固】【考点】定义新运算之直接运算【关键词】走美杯，3 年级，初赛【解析】原式  2 * 2009     【答案】 2009 2008 2010     2, (2008 2010) 2009   ____ 【难度】2 星【题型】计算  2009* 2009   2009 2009     2 2009 【巩固】规定运算“☆”为：若 a>b，则 a☆b=a＋b；若 a=b，则 a☆b=a－b＋1；若 a

【考点】定义新运算之直接运算【关键词】希望杯，六年级，二试 1 4 m   2 1 4   【解析】根据 1  4=2  3，得到【答案】 11 12 【难度】2 星【题型】计算  2 3 m   2 2 3   ，解出 m=6。所以， 3   4 6 3 4   2 3 4    11 12 。【例 3】对于任意的整数 x 与 y 定义新运算“△”：【考点】定义新运算之直接运算【关键词】北京市，迎春杯 6= x y   2 y x  【解析】根据定义 x y  于是有 2 9   6 2 9   2 2 9    5 2 5 x y  6= x y   2 y x  【难度】2 星 ,求 2△9。【题型】计算【答案】 25 5 【巩固】“*”表示一种运算符号，它的含义是：【巩固】 x   y 1 xy  1  1  x  y A   ，已知 2 1   1 2 1   1  2 1 1   2 3  A  ，求1998 1999  。  【考点】定义新运算之直接运算【解析】根据题意得  1998 1999  1  2 1 1 1  1998 1999 A    3998   1998 1999 2000   1998000 【答案】 1 1998000  1     1998 1 1999 1  1   【难度】2 星 1  6 1 1  2 2 1 1 A    ,   2 3    , 2 1 1   【题型】计算  6, A A 1   ，所以 1   1998 1999 1999 2000 1   2000 1998  1998 19 99 2000   【例 4】 [A]表示自然数 A 的约数的个数.例如 4 有 1,2,4 三个约数,可以表示成[4]=3.计算: ([18]  [22])  [7] = . 【考点】定义新运算之直接运算   有 (1 1)   【解析】因为    . 原式 (6 4) 2 5 18 2 3  2 【难度】3 星【题型】计算   个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2. 6 (2 1) 【答案】 5 【巩固】x 为正数,表示不超过 x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过 5.1 的质数有 2,3,5 共 3 个.那么【巩固】 <<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 . 【难度】3 星【考点】定义新运算之直接运算【解析】<19>为不超过 19 的质数,有 2,3,5,7,11,13,17,19 共 8 个.<93>为不超过的质数,共 24 个,易知<1>=0, 【题型】计算所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11. 【答案】11 【巩固】定义运算“△”如下:对于两个自然数 a 和 b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为 a△b.例【巩固】如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= . 【考点】定义新运算之直接运算【解析】18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42. 【答案】 42 【难度】3 星【题型】计算【例 5】我们规定：符号  表示选择两数中较大数的运算，例如：5  3=3  5=5，符号△表示选择两数 1-3-1.定义新运算.题库教师版 page 3 of 13

  (0.6  (0.3  15 ) 23 34 99  )   23 35 2.25) (0.625 11 6  ( ) 的结果是多少？【题型】计算中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：【考点】定义新运算之直接运算 23 35 2.25)  (0.6  (0.3 【解析】 (0.625 11 6 15 ) 23 34 99       ) ( ) 【答案】 1 2  2 3 1 3   5 8 9 4  【难度】3 星 31 24 31 12  1 2 【巩固】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）【巩固】 & 5]×[ 5◎（3 & 7）] 【考点】定义新运算之直接运算【解析】新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。【难度】3 星【题型】计算 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]＝6×5＝30 【答案】 30 【巩固】我们规定： A ○ B 表示 A 、 B 中较大的数， A△B 表示 A 、 B 中较小的数。则【巩固】  10 8 6 5 △ △     11 ○13 + 15△  20 = 【难度】3 星【题型】计算【考点】定义新运算之直接运算【关键词】走美杯，3 年级，决赛【解析】根据题目要求计算如下： 【答案】 56 10 8 6 5 △ ○     11 ○13 + 15△ 20 = 8 6       13 15 =2 28=56    【例 6】如果规定 a※b =13×a-b ÷8，那么 17※24 的最后结果是______。【考点】定义新运算之直接运算【关键词】希望杯，4 年级，1 试【解析】17※24=13×17-24÷8=221-3=218 【答案】 218 【难度】2 星【题型】计算【巩固】若用 G（a）表示自然数 a 的约数的个数，如：自然数 6 的约数有 1、2、3、6，共 4 个，记作 G 【巩固】（6）=4，则 G(36)+G(42)= 。【考点】定义新运算之直接运算【关键词】希望杯，4 年级，1 试【解析】36 的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42 的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42。所【题型】计算【难度】2 星以有 G 36 G （）（） 42    9 8 17 。【答案】17 ,那么 2 & 5  b a 10 a b    【巩固】如果 & 【巩固】【考点】定义新运算之直接运算【关键词】希望杯，4 年级，1 试【解析】2&5=2+5÷10=2.5 【答案】 2.5 。【难度】2 星【题型】计算【例 7】 “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为 244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于 9 的补码，例如：0 变 9，1 变 8 等，那么“华杯赛”新的编码是________. 1-3-1.定义新运算.题库教师版 page 4 of 13

【考点】定义新运算之直接运算【关键词】华杯赛，六年级，决赛【解析】偶数位自左至右依次为 4、0、1、9、0、8，它们关于 9 的补码自左至右依次为 5、9、8、0、9、【题型】计算【难度】2 星 1，所以“华杯赛”新的编码是：254948903981 【答案】 254948903981 【例 8】羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊= 羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△ 狼) 【考点】定义新运算之直接运算【关键词】华杯赛，复赛【解析】因为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△ 【题型】计算【难度】3 星狼总等于狼，所以原式=狼【答案】狼【例 9】一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗规定：警察小偷  警察，警察小偷  小偷．那么：（猎人小兔）（山羊白菜）  【考点】定义新运算之直接运算【关键词】学而思杯，4 年级【解析】谁握着枪就留下谁，结果应该是白菜【答案】白菜【难度】2 星．【题型】计算模块二、反解未知数型 a  【例 10】如果 a△b 表示 (  ,例如 3△4 (3 2) 4 b 【考点】定义新运算之反解未知数【解析】依题意,得 ( 2) 5 30 【答案】 8 4  【难度】3 星 ,解得 8 a  .   a  2)    ,那么,当 a△5=30 时, a= 【题型】计算 . 【巩固】规定新运算※:a※b=3a-2b.若 x※(4※1)=7,则 x= 【巩固】【考点】定义新运算之反解未知数【解析】因为 4※1= 3 4 2 1 10 【答案】 9     【题型】计算 ,所以 x※(4※1)= x※10=3x-20.故 3x-20=7,解得 x=9. 【难度】3 星 . 2a b 【巩固】如果 a⊙b 表示 3 【巩固】【考点】定义新运算之反解未知数【解析】根据题意 x⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25, 由 5x-25=5,解得 x=6. 【答案】 6 ,例如 4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当 x⊙5 比 5⊙x 大 5 时, x= 【题型】计算【难度】3 星【巩固】对于数 a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求 x 的值。【巩固】【考点】定义新运算之反解未知数【解析】根据新定义的算式，列出关于 x 的等式，解出 x 即可。将 1、3、5、x 代入新定义的运算得：2×1×3 【难度】3 星【题型】计算－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故 1＋x＝7，x＝6。【答案】 6 【例 11】定义新运算为 a  b 1a  b ，⑴求 2   的值；⑵若 4 1.35  4) (3 x 则 x 的值为多少？ 1-3-1.定义新运算.题库教师版 page 5 of 13

【考点】定义新运算之反解未知数【解析】⑴因为 3 4  1 ，所以 2   (3 【难度】3 星 2 1  4) 1  2 1   【题型】计算  3 ， 1 4 1.35 5.4,     x x  ，所以 x 的值为 4.4. 4.4  x  1  4  3 1  4 1.35  ⑵ 4.4 ⑵ x  4 【答案】⑴ 3 【巩固】对于任意的两个自然数 a 和 b ，规定新运算  ：【巩固】，那么 x 等于几？自然数.如果 ( 3) 2 3660   x  a b   ( a a  1)( a  2)  ( a b   1) ，其中 a 、b 表示【题型】计算【考点】定义新运算之反解未知数【解析】方法一：由题中所给定义可知，b 为多少，则就有多少个乘数．3660 60 61 【难度】4 星   ，即：60  2 3660  ，    ，即 3  3 60 x   ； 60 3 4 5 则 3 60 方法二：可以先将（x  3）看作一个整体 y ，那么就是 y 2 3660 所以 60 y  ，那么也就有 x 3 60 ， 60 3 4 5 ，y  2     ，即 3  3 60 ，所以 x ,所以 3 x  ．  1) 3660 60 61     ( y y 3 ． , 【答案】 3 【例 12】定义 a b 为 a 与 b 之间（包含 a 、 b ）所有与 a 奇偶性相同的自然数的平均数，例如：的方格．在算术 (19 99)=80 7 14=(7+9+11+13) 4=10 ，18 10=(18+16+14+12+10) 5=14  中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？      【考点】定义新运算之反解未知数【解析】 19 99=(19+99) 2=59  ，所以方格中填的数一定大于 80．如果填的是个奇数，那么只能是  ；如果填的是个偶数，那么这个数与 60 的平均数应该是 80，所以只能是  ．因此所填的数可能是 100 和 101． 80 2 59 101 80 2 60 100      【难度】4 星【题型】计算【答案】100 和101 【巩固】如有 a # b 新运算，a # b 表示 a 、b 中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，【巩固】 21#2=1.如（21#（21# x ））=5，则 x 可以是________（ x 小于 50）【考点】定义新运算之反解未知数【关键词】101 中学，入学测试【解析】这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的【题型】计算【难度】4 星方法. 第一步先把（21# x ）看成一个整体 y .对于 21# y  5，这个式子，一方面可把 21 作被除数，则 y 等于（21-5）  16 的大于 5 的约数，有两个解 8 与 16；另一方面可把 21 作除数，这样满足要求的数为 26，47…，即形如 21N+5 这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由 y 所代表的式子（21# x ）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须比被除数与除数都要小才行，因此大于 21 的那些 y 的值都得舍去.现在只剩下 8，与 16. 第二步求：（21# x ） 8 与（21# x ） 16.对于（21# x ） 8 可分别解得，把 21 作被除数时：x  13，把 21 作除数时为： x  29，50，…形如 21N+8 的整数（N 是正整数）. 对于（21# x ） 16 ，把 21 作被除数无解，21 作除数时同理可得：x  37，58……所有形如 21N+16 这样的整数.（N 是正整数）. 所以符合条件的答案是 13,29,37．【答案】13,29,37． y  ，{ } y x 小数部分，即{ } x 【例 13】已知 x 、y 满足 [ ] 2009 y   ，那么 x  x  [ ] x 【考点】定义新运算之反解未知数【关键词】学而思杯，6 年级，第 3 题【解析】根据题意， [ ]y 是整数，所以 2009 [ ] y ，所以[ ] 20 20.09 { } 20.09 0 20.09 20.09      y x x  【答案】1989 ；其中[ ]x 表示不大于 x 的最大整数，{ }x 表示 x 的。【难度】3 星【题型】计算  也是整数，那么 { } x [ ] 0 x   y  ， 2009 [ ] 2009 20 1989      x x y 。  ，由此可得【例 14】规定：A○B 表示 A、B 中较大的数，A△B 表示 A、B 中较小的数．若（A○5＋B△3）×（B○5+ 1-3-1.定义新运算.题库教师版 page 6 of 13

．（8 级）【难度】3 星 A△3 ）＝ 96 ，且 A 、 B 均为大于 0 的自然数， A×B 的所有取值为【考点】定义新运算之反解未知数【关键词】走美杯，6 年级，决赛【解析】分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于 A 或者 B 有 3 类不同的范围，A 小于 3，A 大于等于 3，小于 5，A 大于等于 5。对于 B 也有类似，两者合起来共有 3×3=9 种不同的组合，我们分别讨论。 1) 当 A＜3，B＜3，则（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，无解； 2) 当 3≤A＜5，B＜3 时，则有（5+B）×（5+3）=96，显然无解； 3) 当 A≥5，B＜3 时，则有（A+B）×（5+3）=96，则 A+B=12. 【题型】计算所以有 A=10，B=2，此时乘积为 20 或者 A=11,B=1,此时乘积为 11。 4) 当 A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，无解； 5) 当 3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解； 6) 当 A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=27，则 A=9.此时 B=3 后者 B=4。则他们乘积有 27 与 36 两种； 7) 当 A＜3，B≥5 时，有（5+3）×（B+A）=96。此时 A+B=12。A 与 B 的乘积有 11 与 20 两种； 8) 当 3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96。此时有 B=9.不符； 9) 当 A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12。则 A=5,B=9，乘积为 45。所以 A 与 B 的乘积有 11,20,27，36,45 共五种【答案】11,20,27,36,45 模块三、观察规律型【例 15】如果 1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算（3※2）×5。【考点】定义新运算之找规律【解析】通过观察发现：a※b 中的 b 表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由 a 组成，都由一个数位，【难度】3 星【题型】计算依次增加到 b 个数位。（5※3）×5 ＝（5＋55＋555）×5＝3075 【答案】 3075 【巩固】规定:6※2=6+66=72 【巩固】 2※3=2+22+222=246, 1※4=1+11+111+1111=1234. 7※5= 【考点】定义新运算之找规律【解析】7※5=7+77+777+7777+77777=86415. 【答案】 86415 【难度】3 星【题型】计算【例 16】有一个数学运算符号  ，使下列算式成立： 25 【难度】3 星 3 13 【考点】定义新运算之找规律【解析】通过对 2   ， 3   ， 3   ， 9   ， 5   ， 9 5 11 5 11 3 13 4 8 2   ，求 7 7 7 4 8   ， 5 ，因此 3 ?   【题型】计算   这几个算式的观察，找到规律： 25 【答案】17 【巩固】规定 a △ b  【巩固】【考点】定义新运算之找规律   a a ( 2)  ( a   , 计算：（2△1）  1) b 【难度】3 星  （11△10）  ______. 【题型】计算 1-3-1.定义新运算.题库教师版 page 7 of 13

【解析】这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用 10 次，然后再求和．但是我们注意到要求的 10 项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中 b＝a－1，所以，我们不妨把 b＝a－1 代入原定义． a△b  1)   就变成了 a△b 2a ．所以 2△1 22 ，       2) 2) 1)    a a a a a ( a b ( ( ( 3△2 23 ，……，3△2 211 ，则原式 22 ＋ 23 ＋ 24 ＋…＋ 211  这里需要补充一个公式： 2 1  2 2  2 3  2 4   2 n  【答案】 505 n  ( n  n 1)(2 6 1)     ( a 11 12 23 1 505 1)  6   ．．【例 17】一个数 n 的数字中为奇数的那些数字的和记为  S n ，为偶数的那些数字的和记为  E n ，例如  S S  134   1   S    ，  1 3 4 E   (100)  2   S 134   ． 4  ； E (1)  E (2)   E  100  ＝．【考点】定义新运算之找规律【关键词】走美杯，5 年级，决赛【解析】可以换个方向考虑。数字 1 在个位出现 10 次，在十位出现 10 次，在百位出现 1 次，共 21 次。【题型】计算【难度】3 星数字 2 到 9 中的每一个在个位出现 10 次，在十位也出现 10 次，共 20 次。所以，1 到 100 中所有奇数数字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501；所有偶数数字的和等于(2+4+6+8)×20=400。【答案】 400 模块四、综合型题目【例 18】已知：10△3=14， 8△7=2， 5 △ x =1，那么 x = 8 【考点】定义新运算之综合题【关键词】华杯赛，五年级，决赛【解析】规律是 a△b=(a－b)×2, 所以【答案】 1 8 3 △ 1 4 1  ，根据这几个算式找规律，如果 4 . 【难度】3 星【题型】计算 5 △x= 8 5   x  8   12   ，即 1x 8 【例 19】如果 a 、b 、 c 是 3 个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即 ) a b  c a    ( b c  。    ；⑵ ( ⑴ a b b a 现在规定一种运算"*"，它对于整数 a、 b、c 、d 满足： ( , )*( , ( a b c d 例： (4,3)*(7,5) 请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。 a c b d a c b d    。    (4 7 3 5,4 7 3 5)  ,    )    (43,13)   ) ) 【题型】计算【难度】3 星【考点】定义新运算之综合题【关键词】希望杯，四年级，二试【解析】 (2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5) (4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3－2×1)=(11,5) 所以“*”满足交换律 [(2,1)* (6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)* (4,3)= (89,47) (2,1)*[ (6,5)*(4,3)]=(2,1) * (39,9)= (87,69) 1-3-1.定义新运算.题库教师版 page 8 of 13

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