7-6-2 计数之整体法 教学目标 前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树 形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳 法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用． 例题精讲 解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体 来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系． 【例 1】 一个正方形的内部有 1996 个点，以正方形的 4 个顶点和内部的 1996 个点为顶点，将它剪成一些三 角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀， 那么共需剪多少刀? 【考点】计数之整体法 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】方法一：归纳法，如下图，采用归纳法，列出 1 个点、2 个点、3 个点…时可剪出的三角形个数，需 剪的刀数． 不难看出，当正方形内部有 n 个点时，可以剪成 2n＋2 个三角形，需剪 3n+l 刀，现在内部有 1996 个点，所以可以剪成 2×1996+2=3994 个三角形，需剪 3×1996+1=5989 刀． 方法二：整体法．我们知道内部一个点贡献 360 度角，原正方形的四个顶点共贡献了 360 度角，所 以当内部有 n 个点时，共有 360n+360 度角，而每个三角形的内角和为 180 度角，所以可剪成 (360n+360)÷180=2n+2 个三角形． 2n+2 个三角形共有 3×(2n+2)=6n+6 条边，但是其中有 4 条是原有的正方形的边，所以正方形内部的 三角形边有 6n+6—4=6n+2 条边，又知道每条边被 2 个三角形共用，即每 2 条边是重合的，所以只用 剪(6n+2)÷2＝3n+1 刀． 本题中 n=1996，所以可剪成 3994 个三角形，需剪 5989 刀． 【答案】可剪成 3994 个三角形，需剪 5989 刀 【巩固】在三角形 ABC 内有 100 个点，以三角形的顶点和这 100 点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角 形？ 【考点】计数之整体法 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】整 体 法 ． 100 个 点 每 个 点 周 围 有 360 度 ， 三 角 形 本 身 内 角 和 为 180 度 ， 所 以 可 以 分 成 【解析】   360 100 180 【答案】 201 个小三角形    180  个小三角形． 201 【例 2】 在一个六边形纸片内有 60 个点，以这 60 个点和六变形的 6 个顶点为顶点的三角形，最多能剪出 7-6-2.计数之整体法.题库 教师版 page 1 of 2 

_______个． 【考点】计数之整体法 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】设正六边形内有 n 个点，当 1n  时有 6 个三角形，每增加一个点，就增加 2 个三角形， 【解析】 x  【答案】124 个   1  n 60 2   n 6 2   个三角形．  2 n 个点最多能剪出 n  时，可剪出124 个三角形． 注：设最多能剪出 x 个小三角形，则这些小三角形的内角和为180 x ．换一个角度看，汇聚到正六边 形 六 个 顶 点 处 各 角 之 和 为 4 180  ． 于 是 180  ， 故 这 些 小 三 角 形 的 内 角 总 和 为 60 360 x  ．  ，解得 124    4 180    4 180 60 360   7-6-2.计数之整体法.题库 教师版 page 2 of 2