7-4-2.排列之捆绑法 教学目标 1.使学生正确理解排列的意义； 2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列； 3.掌握排列的计算公式； 4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等． 知识要点 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就 是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 一般地，从 n 个不同的元素中取出 m ( m n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个排列． 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果 两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺 序不同，它们也是不同的排列． 排列的基本问题是计算排列的总个数． 从 n 个不同的元素中取出 m ( m n )个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同的元素的排列中取出 m 个 元素的排列数，我们把它记做 m nP ． 根据排列的定义，做一个 m 元素的排列由 m 个步骤完成： 步骤1：从 n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有 n 种方法； 步骤 2 ：从剩下的( …… 步骤 m ：从剩下的[ 由乘法原理，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数是 n n   （ ）（ ）（ 1)]  个元素中任取一个元素排在第 m 个位置，有 2 1n  )个元素中任取一个元素排在第二位，有( n m n m 1    ( 1n  )种方法；  m 2 nP 有 m 个因数相乘． n . ），这里， m n ，且等号右边从 n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共 1 1 n m     （ ） n m n n       （ ）（ ） （ n m  1 ），即 1    n 1 (种)方法； 二、排列数 一般地，对于 m n 的情况，排列数公式变为 表示从 n 个不同元素中取 n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种 n 个排列全部取出的排列，叫做 n 个不同元素的全排列．式子右边是从 n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为 !n ， 读做 n 的阶乘，则 n n n  （ ）（ ） n n  （ ）（ ） n ，其中 ! n 3 2 1   3 2 1   1   1        　． n nP ． 2 2   n n    n nP 还可以写为： nP 例题精讲 ! 在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些 物体当作一个整体捆绑在一起进行计算． 【例 1】 4 个男生 2 个女生 6 人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求 2 个女生紧挨着排在正中间有 7-4-2.排列之捆绑法.题库 教师版 page 1 of 4 

多少种不同的排法？ 【难度】2 星 【考点】排列之捆绑法 【解析】⑴ 4 男 2 女 6 人站成一排相当于 6 个人站成一排的方法，可以分为六步来进行，第一步，确定第一 个位置的人，有 6 种选择；第二步，确定第二个位置的人，有 5 种选择；第三步，排列第三个位置 的人，有 4 种选择，依此类推，第六步，最后一个位置只有一种选择．根据乘法原理，一共有 6 5 4 3 2 1 720       种排法． ⑵ 根据题意分为两步来排列．第一步，先排 4 个男生，一共有 4 3 2 1 24 步，将 2 个女生安排完次序后再插到中间一共有 2 种方法．根据乘法原理，一共有 24 2     种不同的排法；第二   种排法． 【题型】解答 48 【答案】⑴ 720 ⑵ 48 【巩固】 4 男 2 女 6 个人站成一排合影留念，要求 2 个女的紧挨着有多少种不同的排法？ 【考点】排列之捆绑法 【解析】分为三步： 【难度】2 星 【题型】解答 第一步：4 个男得先排，一共有 4 3 2 1 24 第二步：2 个女的排次序一共有 2 种方法； 第三步：将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间，一共有 5 个位置可插． 根据乘法原理，一共有 24 2 5 240     种不同的排法；    种排法． 【答案】 240 【例 2】 将 A、B、C、D、E、F、G 七位同学在操场排成一列，其中学生 B 与 C 必须相邻．请问共有多少 种不同的排列方法？ 【考点】排列之捆绑法 【关键词】2007 年，台湾，第十一届，小学数学世界邀请赛 【解析】（法1）七人排成一列，其中 B 要与 C 相邻，分两种情况进行考虑． 【题型】解答 【难度】2 星 5 P 5 240 5P 种，所以这种情况有  种不同的站法．若 B 站在中间，B 有五种选择，B 无论在中间何处，C 都有两种选择．另 若 B 站在两端， B 有两种选择， C 只有一种选择，另五人的排列共有 5 2 1   五人的排列共有 5 所以共有 240 1200 1440 （法 2 ）由于 B 与 C 必须相邻，可以把 B 与 C 当作一个整体来考虑，这样相当于 6 个元素的全排列， 另外注意 B 、 C 内部有 2 种不同的站法， 所以共有 5P 种，所以这种情况共有 种不同的站法． 种不同的站法． 种不同的站法． 5 2   1200 5 P 5    2 6 P 6  1440 【答案】1440 【巩固】6 名小朋友 、 、 、 、 、 A B C D E F 站成一排，若 ，A B 两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若 、A B 两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？ 【考点】排列之捆绑法 【解析】若 A、B 两人必须站在一起，那么可以用“捆绑”的思想考虑，甲和乙两个人占据一个位置，但在这个 【题型】解答 【难度】3 星 =2×120=240（种） 位置上，可以甲在左乙在右，也可以甲在右乙在左．因此站法总数为 2 P 2 A、B 两个人不能相邻与 A、B 两个人必须相邻是互补的事件，因为不加任何条件的站法总数为 6 （种），所以 A、B 两个人不能相邻的站法总数为 720-240=480（种）． 5 P 5 6P =720 【答案】 480 【例 3】 某小组有 12 个同学，其中男少先队员有 3 人，女少先队员有 4 人，全组同学站成一排，要求女少 先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？ 【难度】3 星 【考点】排列之捆绑法 【解析】把 4 个女少先队员看成一个整体，将这个整体与不是少先队员的 5 名同学一块儿进行排列，有 ( 种 ) 排 法 ． 然 后 在 七 个 空 档 中 排 列 3 个 男 少 先 队 员 ， 有 3 7 6 P   7 (种)排法．由乘法原 (种)排法，最后 4 个女少先队员内部进行排列，有 4 P      4 6 5 4 3 2 1 720 210 6 P        6 5   理，这样的排法一共有 720 210 24 3628800 4 3 2 1 24 【题型】解答 (种)．    【答案】 3628800 【例 4】 学校乒乓球队一共有 4 名男生和 3 名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问： 7-4-2.排列之捆绑法.题库 教师版 page 2 of 4 

（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？ （2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？ 【考点】排列之捆绑法 【解析】 (1)要求男生不能相邻，则可以先排女生，然后把男生插进女生之间的空位里．因为有 3 名女生，考 【题型】解答 【难度】3 星  4 P 4   6 24 144 虑到两端也可以放人，所以一共有四个空位．则站法总数为： 3 P 3 (2)根据题意，采用捆绑法，将所有女生看成一个整体，则站法总数为： 5 P 5 120 6 720  （种）    3 P 3 【答案】(1) 144  （种）． (2) 720 【例 5】 书架上有 4 本不同的漫画书，5 本不同的童话书，3 本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同 类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？ 【考点】排列之捆绑法 【解析】⑴每种书内部任意排序，分别有 4 3 2 1 【难度】3 星 【题型】解答     ， 3 2 1    ， 5 4 3 2 1                  种排法，然后再排三种类型的   种排法，整个过程分 4 步完成．4 3 2 1 5 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 103680 顺序，有 3 2 1 种，一共有 103680 种不同排法． ⑵方法一：首先将漫画书和童话书全排列，分别有 4 3 2 1 24 后将漫画书和童话书捆绑看成一摞，再和 3 本故事书一起全排列，一共有 5 4 3 2 1 120 所以一共有 24 120 120 345600 方法二：首先将三种书都全排列，分别有 24、120、6 种排法，然后将排好了顺序的漫画书和童话书， 整摞得先后插到故事书中，插漫画书时有 4 个地方可以插，插童话书时就有 5 个地方可插，所以一 共有 24 120 6 5 4 345600      种排法，然      种排法，     、 5 4 3 2 1 120     种排法． 种排法．     【答案】⑴103680 ⑵ 345600 【例 6】 四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由 2 个舞蹈、2 个演唱和 3 个小品组成．请问：如 果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？ 【考点】排列之捆绑法 【解析】要求同类型的节目连续演出，则可以应用“捆绑法”．先对舞蹈、演唱、小品三种节目做全排列， 再 【题型】解答 【难度】2 星 分别在各类节目内部排列具体节目的次序．因此出场顺序总数为： 3 P  3 【答案】144 =144（种）． 2 P 2 2 P 2 3 P 3   【例 7】 停车站划出一排12 个停车位置，今有 8 辆不同的车需要停放，若要求剩余的 4 个空车位连在一起， 一共有多少种不同的停车方案? 【考点】排列之捆绑法 【解析】把 4 个空车位看成一个整体，与 8 辆车一块进行排列，这样相当于 9 个元素的全排列，所以共有 【题型】解答 【难度】2 星 9 P  9 362880 ． 【答案】 362880 【例 8】 a，b，c，d，e 五个人排成一排，a 与 b 不相邻，共有多少种不同的排法？ 【考点】排列之捆绑法 【解析】解法一：插空法，先排 c ， d ， e ，有 3 【难度】2 星 【题型】解答 3P 种排法． 2 4P 种排法．根据分步计数乘法原理，不同的排法共有 3 4P P 3 在 c ，d ，e 三个人之间有 2 个空，再加上两端，共有 4 个空，a ，b 排在这 4 个空的位置上，a 与 b 就不相邻，有 2 2 解法二：排除法，把 a ，b 当作一个人和其他三个人在一起排列，再考虑 a 与 b 本身的顺序，有 4 2P P 4 种 排 法 ． 总 的 排 法 为 5 5P ． 总 的 排 法 减 去 a 与 b 相 邻 的 排 法 即 为 a 与 b 不 相 邻 的 排 法 ， 应 为 5 P 5 【答案】 72 72 （种）．  （种）． 4 2 P P 4 2 72  【巩固】 8 人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？ 【考点】排列之捆绑法 【题型】解答 【难度】3 星 7-4-2.排列之捆绑法.题库 教师版 page 3 of 4 

【解析】 n 人的环状排列与线状排列的不同之处在于： 1 2 3 a a a a  1 n 在线状排列里是 n 个不同的排列，而在环状排列中是相同的排列．所以， n 个不同的元素的环状排 a a 、 3 4 a a a 、 2 3 a a 、…、 1 a a n a a a 1 2 1n n n 列数为 n P n n  ． n P n 1  1 甲、乙两人必须相邻，可把他们看作是 1 人（当然，他们之间还有顺序），总排列数为 2 6P P ．从中扣 2 除甲、乙相邻且乙、丙也相邻（注意，这和甲、乙、丙三人相邻是不同的．如甲在乙、丙之间合于 5P P 种．所以，符合题意的排法有 2 后者，但不合于前者）的情况 2 6 P P 2 2 6 （种）． 2 5 P P 2 5 1200   6 5 【答案】1200 7-4-2.排列之捆绑法.题库 教师版 page 4 of 4