奥数题型与解题思路11~20讲.doc-资料库

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11、有关数的法则或方法【数的读写方法】（整数中多位数的读写方法，以及小数、分数、百分数的读、写方法，见小学数学课本，此处略。） “成数”、“折数”即“十分数”，它们常用中国数字和文字“七成”、“二成五”、“八折”、“九五折”等表示，并根据其文字去读。它们也常用分母为十的分数，或者用百分数去表示，这时便可按分数、百分数的方法去读。 “千分数”是表示一个数是另一个数的千分之几的分数，它常用“千分号” --“‰”来写千分数，如某地人口出生率为千分之七，写作“7‰”，读作“千分之七”。【科学记数法】用带一位整数的小数，去乘以 10 的整数次幂来表示一个数的方法，叫做“科学记数法”。利用小数点移动的规律，很容易把一个数用“科学记数法”表达为“a×10n （1≤a≤10，n 是整数）”的形式。例如： 25700，把小数点向左移动四位，得 1＜2.57＜10，但 2.57 比 25700 小了 10000 倍，所以 25700=2.57×104。 0.00867，把小数点向右移动三位，得 1＜8.67＜10，但 8.67 比 0.00867 大了 1000 倍，所以【近似数截取方法】截取近似数的方法，一般有四舍五入法、去尾法和进一法三种。四舍五入法──省略一个数的一部分尾数，取它的近似数的时候，如果要舍去的尾数的最高位上的数是 4，或者是比 4 小的数，就把尾数舍去；如果要舍去的尾数的最高位上的数是 5，或者是比 5 大的数，把尾数舍去以后，要向它的前一位进一。这种求近似数的方法叫做“四舍五入法”。例如，把 8，654，000 四舍五入到万位，约等于 865 万；把 7.6239 四舍五入保留两位小数约等于 7.62；把 2，873，000，000 四舍五入到亿位，约等于 29 亿；把 32.99506 四舍五入精确到百分位约等于 33.00。去尾法──要省略的尾数不论是多少，一律舍去不要，这种求近似数的方法叫做“去尾法”。

进一法──省略某一个数某一位后面的尾数时，不管这些尾数的大小，都向它的前一位进一。这种求近似数的方法，叫做“进一法”。显然，用“进一法”和“五入”方法截取的近似值，叫做“过剩近似值”，而用“去尾法”和“四舍”方法截取的近似值，叫做“不足近似值”。值得注意的是：在近似数的取舍结果中，小数点后最右一位上的零必须写上。例如，把 1.5972 四舍五入，保留两位小数得 1.60，即 1.5972≈1.60，最后的“0” 不可去掉，否则，它只精确到十分位了。【质数判定方法】判定一个较大的数是不是质数，一般有两种方法。（1）查表法。用查质数表的方法，可以较快地判断一个数是否为质数：质数表上有的是质数，同一范围内的质数表上没有这个数，那它便是个合数。（2）试除法。如果没有质数表，也来不及制作一个质数表，可以用试除来判断。例如，要判定 161 和 197 是不是质数，可以把这两个数依次用 2、3、5、7、 11、13、17、19……等质数去试除。这是因为一个合数总能表示成几个质因数的乘积，若 161 或 197 不能被这个合数的质因数整除，那么也一定不能被这个合数整除。所以，我们只要用质数去试除就可以了。由 161÷7=23，可知 161 的约数除了 1 和它本身外，至少还有 7 和 23。所以， 161 是合数，而不是质数。由 197 依次不能被 2、3、5、7、11、13 整除，而 197÷17=11……10，这时的除数 17 已大于不完全商 11，于是可以肯定：197 是质数，而不是合数。因为 197 除了它本身以外，不可能有比 17 大的约数。假定有，商也一定比 11 小。这就是说，197 同时还要有比 11 小的约数。但经过试除，比 11 小的质数都不能整除 197，这说明比 11 小的约数是不存在的，所以 197 是质数，不是合数。【最大公约数求法】最大公约数的求法，一般可用下面四种方法。

（1）分解质因数法。先把各数分解质因数，再把各数公有的一切质因数连乘起来，就是所求的最大公约数。例如，求 2940、756 和 168 的最大公约数： ∵ 2940=22×3×5×72， 756=22×33×7， 168=23×3×7； ∴（2940，756，168）=22×3×7=84。注：“（2940，756，168）=84”的意思，就是“2940、756 和 168 的最大公约数是 84”。（2）检验公约数法。“检验公约数法”即“试除法”，也是小学数学课本介绍的那一种一般的求法，此处略。（3）辗转相减法。较大的两个数求最大公约数，可以用“辗转相减法”：用大数减小数，如果减得的差与较小的数不相等，便再以大减小求差，直到出现两数相等为止。这时，相等的数就是这两个数的最大公约数。例如，求 792 和 594 的最大公约数。 ∵（792，594）=（792-594，594） =（198，594）=（594-198，198） =（198，396）=（198，396-198） =（198，198）=198， ∴（792，594）=198。用辗转相减法求两个数的最大公约数，可以推广到求 n 个数的最大公约数，具体做法是：可以不拘次序地挑选最方便的，从较大的数里减去较小的数。这样逐次做下去，直到所得的差全部相等为止。这个相等的差，就是这些数的最大公约数。例如，求 1260、1134、882 和 1008 的最大公约数。 ∵（1260，1134，882，1008） =（1260-1134，882，1008-882，1134-882） =（126，126，882，252）

=（126，126，882-126×6，252-126） =（126，126，126，126）=126， ∴（1260，1134，882，1008）=126。（4）辗转相除法（欧几里得算法）。用辗转相除法求两个数的最大公约数，步骤如下：光用较小数去除较大的数，得到第一个余数；再用第一个余数去除较小的数，得到第二个余数；又用第二个余数去除第一个余数，得到第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是 0 为止。这时，余数“0” 前面的那个余数，便是这两个数的最大公约数。求两个较大的数的最大公约数，用上面的第一、二种方法计算，是相当麻烦的，而采用“辗转相除法”去求，就简便、快速得多了。例如，求 437 和 551 的最大公约数。具体做法是：先将 437 和 551 并排写好，再用三条竖线把它们分开。然后依下述步骤去做：（1）用较小数去除较大数把商数“1”写在较大数的线外，并求得余数为 114。（2）用余数 114 去除 437，把商数“3”写在比 114 大的数（437）的线外，并求得余数为 95。（3）用余数 95 去除 114，把商数“1”写在 114 右边的直线外，并求得余数为 19。

（4）用余数 19 去除 95，把商数“5”写在 95 左边的直线外面，并求得余数为 0。（5）当余数为 0 时，就可断定余数 0 前面的那一个余数 19，就是 437 和 551 的最大公约数。又如，求 67 和 54 的最大公约数，求法可以是由余数可知，67 和 54 的最大公约数是 1。也就是说，67 和 54 是互质数。辗转相除法，虽又称作“欧几里得算法”，实际上它是我国最先创造出来的。早在我国古代的《九章算术》上，就有“以少减多，更相减损”的方法求最大公约数的记载。一般认为，“辗转相除法”即源于此。这比西方人欧几里得等人的发现要早 600 年以上。辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。如果要求三个或三个以上数的最大公约数，可以用它先求出其中两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。这样依次下去，直到最后一个数为止。最后的一个最大公约数，就是这几个数所要求的最大公约数。【分数最大公约数求法】自然数的最大公约数的定义，可以扩展到分数。一组分数的最大公约数一定是分数，而这组分数分别除以它们的最大公约数，应得整数。求一组分数的最大公约数的方法是：（1）先将各个分数中的带分数化成假分数；（2）再求出各个分数分母的最小公倍数 a；

（3）然后求出各个分数分子的最大公约数 b；再求出三个分母的最小公倍数，得 72；然后求出三个分子 35、21 和 56 的最大公约数，得 7；【最小公倍数求法】求最小公倍数可采用下面三种方法。（1）分解质因数法。先把各数分解质因数，在所有相同的质因数中，每一个取出指数最大的，跟所有不同的质因数连乘起来，就是所求的最小公倍数。例如，求 120、330 和 525 的最小公倍数。 ∵120=23×3×5， 330=2×3×5×11， 525=3×52×7； ∴[120，330，525]=23×3×52×7×11=46200 注：“[120，330，525]=46200”表示“120、330 和 525 三个数的最小公倍数是 46200”。（2）检验公约数法。“检验公约数法”即“试除法”或“用短除法的求法”，也就是小学数学课本上介绍的一般方法，此处略。（3）先求最大公约数法。由于“两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积”，即

a·b=（a，b）·[a，b] 所以，两个数的最小公倍数，可由这两个数的乘积除以这两个数的最大公约数来求得。即例如，求[42，105]。若要求三个或三个以上的数的最小公倍数，可以先求其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第四个数的最小公倍数，……，如此依次做下去，直到最后一个数为止。最后求得的那个最小公倍数，就是所要求的这几个数的最小公倍数。例如，求[300，540，160，720] ∴[300，540，160，720]=21600 【分数最小公倍数求法】自然数的最小公倍数的定义，可以推广到分数。一组分数的最小公倍数，可能是分数，也可能是整数，但它一定是这组分数中各个分数的整数倍数。

求一组分数的最小公倍数，方法是：（1）先将各个分数中的带分数化成假分数；（2）再求出各个分数分子的最小公倍数 a；（3）然后求出各个分数分母的最大公约数 b；再求各分数分子的最小公倍数，得 [35，21，56]=840；然后求各分数分母的最大公约数，得（6，8，9）=1 【数的互化方法】整数、小数和分数，整数、假分数和带分数，整数、小数、分数和百分数，成数（或折数）、分数和百分数，它们之间可以互化，互化的方法见小学数学课本，此处略。化循环小数为分数，还可以用移动循环节的方法。例如

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