7-5-1 组合的基本应用（一）.学生版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：0.83M 资料格式：doc 举报版权申诉

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7-5-1.组合的基本应用（一）教学目标 1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题； 2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合； 3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．知识要点一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个( m n )元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从 n 个不同元素中取出 m 个元素( m n )的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个不同元素的组合数．记作 m nC ．一般地，求从 n 个不同元素中取出的 m 个元素的排列数 n 第一步：从 n 个不同元素中取出 m 个元素组成一组，共有 m 第二步：将每一个组合中的 m 个元素进行全排列，共有 m 根据乘法原理，得到 m P n m P n m P m m m C P  ．  m n 1 1 n m n n n        ）（（）（ 3 2 1 2 1 m m         （）（）因此，组合数 2)   m  ． C m n   mP 可分成以下两步： nC 种方法； mP 种排法．这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质： m C n 这个公式的直观意义是： m  n m C  n ( m n ) nC  表示从 n 个 )个元素组成一组的所有分组方法．显然，从 n 个元素中选出 m 个元素的分组方法恰是从 n 个 nC 表示从 n 个元素中取出 m 个元素组成一组的所有分组方法． n m 元素中取出( n m 元素中选 m 个元素剩下的( n m )个元素的分组方法．例如，从 5 人中选 3 人开会的方法和从 5 人中选出 2 人不去开会的方法是一样多的，即 3 C 5 规定 nC  ， 0 nC  ． 1 1 n C ． 2 5 7-5-1.组合的基本应用（一）.题库教师版 page 1 of 6

例题精讲模块一、组合之计算问题 6C ， 4 【解析】⑴ 【例 1】计算：⑴ 2 【考点】组合之基本运用 6 5 15  2 1  7 6  2 1  2 P 6 2 P 2 2 P 7 2 P 2 2 C 7 ⑵ C       2 6 21 【小结】注意到上面的结果中，有 2 C 6 【答案】⑴ 2 C  ， 4 6 6 ⑵ 2 C  ， 5 7 7 C  C  15 21 15 21 6C ；⑵ 2 7C ． 7C ， 5 【难度】1 星， C 4 6 ， C 5 7    6 5 4 3 15    4 3 2 1    7 6 5 4 3     5 4 3 2 1     C ， 2 C C ． 7 4 P 6 4 P 4 5 P 7 5 P 5 4 6   5 7  【题型】解答 21 【例 2】计算：⑴ 198 【考点】组合之基本运用 200C ；⑵ 55 56C ；⑶ 98 C 100 【解析】⑴ C 198 200  C  200 198 200  C 2 200  100 2 C 100 【难度】1 星 200 199   2 1  2 P 200 2 P 2  ． 19900 ；【题型】解答 ⑵ 55 C 56   56 55 C 56  1 C 56  1 P 56 1 P 1   ； 56 56 1 2 P 100 2 P 2 ⑶ 98 C 100  100 2 C 100  2 C 100 【答案】⑴19900    2 1 ⑵ 56   2 100 99 2    2 1  ⑶ 4948 ． 4948 ． 12C ；⑵ 998 1000C ；⑶ 2 P 8 C ．【难度】1 星 2 8 【题型】解答【巩固】计算：⑴ 3 【考点】组合之基本运用 12 11 10   3 2 1   2 C  1000 【解析】⑴ 3 C 12 ⑵ 998 C 1000   ⑶ 2 P 8  2 C 8    8 7 【答案】⑴ 3 C  12 ⑵ 998 C 1000 ⑶ 2 P 8 220 499500  2 28 C  ． 8  220  2 1  8 7  2 1  1000 999  499500  56 28 28   ．模块二、组合之体育比赛中的数学【例 3】某校举行排球单循环赛，有12 个队参加．问：共需要进行多少场比赛？【考点】组合之基本运用【解析】因为比赛是单循环制的，所以，12 个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个【难度】1 星【题型】解答队的选取有关而与两个队选出的顺序无关．所以，这是一个在12 个队中取 2 个队的组合问题．由组合数公式知，共需进行 2 C 12 (场)比赛． 66   12 11  2 1  【答案】 2 C  12 66 【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛，有 24 个队参加．问：共需要进行多少场比赛？【考点】组合之基本运用【题型】解答【难度】1 星 7-5-1.组合的基本应用（一）.题库教师版 page 2 of 6

【解析】由组合数公式知，共需进行 2 C 24  24 23  2 1   276 (场)比赛．【答案】 2 24 C  276 【例 4】六个人传球，每两人之间至多传一次，那么最多共进行【考点】组合之基本运用【关键词】迎春杯，三年级，初赛，7 题【解析】本题是一道比赛场数计数问题，“每两个人之间至多传一次”，让 6 个人最多次地传球，则是 5＋4＋3 【解析】＋2＋1＝15（次）.但要看是否可以传回去，在传递过程中两人是否重复.15 条线，代表传球 15 次，根据一笔画问题，行不通，应减少奇数点的个数，共有 6 个奇数点，应该去掉两条直线，也就是去掉 4 个奇数点，还剩下 2 个奇数点，就可以传递回来了.所以答案为 5＋4＋3＋2＋1－2＝13（次）. 【难度】2 星【题型】填空次传球．【答案】13 次【例 5】一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行 78 场，那么共有多少人参加循环赛？【考点】组合之基本运用【解析】从若干人中选出 2 人比赛，与选出的先后顺序无关，这是一个组合问题．依题意，假设有 n 个人参【题型】解答【难度】2 星加循环赛，应该有 2 C n  n 1 n   （）  2 1  78 ，所以 n 1 n（）    【答案】 13 参加循环赛． n  78 2 13 12    ，所以 13 n  ，即一共有13 人【例 6】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成 3 个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的 48 名选手分成 8 个小组，每组 6 人，分别进行单循环赛；第二阶段：将 8 个小组产生的前 2 名共 16 人再分成 4 个小组，每组 4 人，分别进行单循环赛；第三阶段：由 4 个小组产生的 4 个第1名进行 2 场半决赛和 2 场决赛，确定1 至 4 名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？【考点】组合之基本运用【难度】2 星【题型】解答【解析】第一阶段中，每个小组内部的 6 个人每 2 人要赛一场，组内赛 2 C 6    场； 15 8 120 第二阶段中，每个小组内部 4 人中每 2 人赛一场，组内赛 2 C 4 场；第三阶段赛 2 2 根据加法原理，整个赛程一共有120 24 4 148   场． 4    场比赛．【答案】148 6 5 15  2 1   场，共 8 个小组，有  4 3  2 1   6 场，共 4 个小组，有 6 4   24 【例 7】有 8 个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式．问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？ 7-5-1.组合的基本应用（一）.题库教师版 page 3 of 6

【考点】组合之基本运用【解析】 (法 1)先选 4 人，再考虑组合的方法．【解析】【难度】3 星【题型】解答 70 8 选 4 有 4 C  种组合，其中实质不同的有一半，即 70 2 35 8 对每一边的 4 个人，共有实质性不同的 2 4 所以，可以得到 35 3 3 315    种实质不同的比赛安排表． C   种， 2 3   种； (法 2)先考虑所有情况，再考虑重复情况首先是 8! 8 7 6 5 4 3 2 1         考虑到实质相同：1、2；3、4；5、6；7、8；一、二；三、四； A 、 B ，以上 7 组均可交换，即每一种实际上重复计算了 72 次，答案为： 8! 2  7  ． 315 【答案】 315 模块三、组合之数字问题【例 8】从分别写有1 、 3 、 5 、 7 、 9 的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问： ⑴ 有多少个不同的乘积？ ⑵ 有多少个不同的乘法算式？【考点】组合之基本运用【解析】⑴ 要考虑有多少个不同乘积．由于只要从 5 张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少【题型】解答【难度】3 星个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题．由组合数公式，共有 2 C 5  2 P 5 2 P 2  5 4 10  2 1   (个)不同的乘积． ⑵ 要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题． (种)不同的乘法算式．由排列数公式，共有 2 5 4 20 P    5 ⑵ 2 20 P  5 10 【答案】⑴ 2 C  5 【巩固】 9、8、7、6、5、4、3、2、1、0 这 10 个数字中划去 7 个数字，一共有多少种方法？【考点】组合之基本运用【解析】相当于在 10 个数字选出 7 个划去，一共有 10×9×8×7×6×5×4÷（7×6×5×4×3×2×1）=10×9×8÷（3×2×1）【难度】2 星【题型】解答 =120 种．【答案】120 【巩固】从分别写有1、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、8 的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？【考点】组合之基本运用 8 7  2 1  【解析】 2 C 8 2 P 8 2 P 2    【难度】2 星【题型】解答 28 (种)． 7-5-1.组合的基本应用（一）.题库教师版 page 4 of 6

【答案】 2 C  8 28 【例 9】有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各 5 张，且每种颜色的卡片上分别标有 1，2，3，4，5，从这些卡片中取出 5 张，要求 1、2、3、4、5 各一张，但四种颜色都要有，求共有________种取法？【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】填空【关键词】学而思杯，4 年级，第 14 题【解析】四种颜色都有，则有两个数是同一种颜色即可，其它三个数字和三种颜色一一对应。 2 C 5 C 1 4 3! 240   种【答案】240 种【例 10】在1 ~ 100 中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？【考点】组合之基本运用【解析】两个数的和是偶数，通过前面刚刚学过的奇偶分析法，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出【难度】3 星【题型】解答从 50 个偶数中取出 2 个，有 2 C 50 的两个数与顺序无关，所以是组合问题． 50 49  2 1  50 49   2 1  根据加法原理，一共有1225 1225 2450 从 50 个奇数中取出 2 个，也有 2 C 50     1225 (种)取法；  1225 (种)取法． (种)不同的取法．【小结】在本题中，对两个数的和限定了条件．不妨对这个条件进行分类，如把和为偶数分成两奇数相加或两偶数相加．这样可以把问题简化．【答案】 2450 【巩固】从19 、 20 、……、 93 、 94 这 76 个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？【考点】组合之基本运用【解析】 19 、 20 、…… 、 93 、 94 中有 38 个奇数， 38 个偶数，从 38 个数中任取 2 个数的方法有：【难度】3 星【题型】解答  2 C 38 【答案】1406 38 37  2 1   703 (种)，所以选法总数有： 703 2 1406   (种)．【例 11】一个盒子装有10 个编号依次为1 ，2 ，3 ， ，10 的球，从中摸出 6 个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？【考点】组合之基本运用【解析】 10 个编号中 5 奇 5 偶，要使 6 个球的编号之和为奇数，有以下三种情形：【题型】解答【难度】3 星 ⑴ 5 奇1偶，这时对奇数只有1种选择，对偶数有 5 种选择．由乘法原理，有1 5 5 5 4 3 10   ⑵ 3 奇 3 偶，这时对奇数有 3 C 5 3 2 1   (种)选择，对偶数也有 3 C 5   (种)选择；  (种)选择．由乘    5 4 3 10   3 2 1   (种)选择；法原理，有10 10 100   ⑶ 1奇 5 偶，这时对奇数有 5 种选择，对偶数只有1种选择．由乘法原理，有 5 1 5   (种)选择．由加法原理，不同的摸法有 5 100 5 110    【答案】⑴ 5 ⑵100 (种)． ⑶110 【例 12】用 2 个 1，2 个 2，2 个 3 可以组成多少个互不相同的六位数？用 2 个 0 ， 2 个1， 2 个 2 可以组成多少个互不相同的六位数？【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答【解析】先考虑在 6 个数位上选 2 个数位放1，这两个1的顺序无所谓，故是组合问题，有 2 C 6  6 5 15  2 1   (种) 选法；再从剩下的 4 个数位上选 2 个放 2 ，有 2 C 4  4 3  2 1   6 (种)选法；剩下的 2 个数位放 3 ，只有1种选法．由乘法原理，这样的六位数有15 6 1 90 在前一问的情况下组成的 90 个六位数中，首位是1、2 、3 的各 30 个．如果将 3 全部换成 0 ，这 30 个    (个)． 7-5-1.组合的基本应用（一）.题库教师版 page 5 of 6

首位是 0 的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数 90 30 60   【答案】 60 (个)．【例 13】从1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 中任取三个数字，从 2 ， 4 ， 6 ， 8 中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？【难度】3 星【考点】组合之基本运用【解析】整个过程可以分三步完成：第一步，从1，3 ，5 ，7 ，9 中任取三个数字，这是一个组合问题，有 3 5C 4C 种方法；第三步， 7200 种方法；第二步，从 2 ， 4 ， 6 ， 8 中任取两个数字，也是一个组合问题，有 2 用取出的 5 个数字组成没有重复数字的五位数，有 5 （个）． 5P 种方法．所以总的个数为： 3 C C 5 【题型】解答 5 P 5    2 4 【答案】 7200 【例 14】从 0 、0 、1 、2 、3 、4 、5 这七个数字中，任取 3 个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用1 次，比如 100、210 就是可以组成的，而 211 就是不可以组成的）．【难度】1 星【题型】解答【考点】组合之基本运用【关键词】陈省身杯，五年级【解析】若三位数不含有 0 ，有 5 4 3 60 5 （个），所以共有 60 40 5 105    （个）．【答案】105    （个），若含有一个 0 ，有 5 4 2    （个），若含有两个 0 ，有 40 【例 15】用 2 个 1，2 个 2，2 个 3 可以组成多少个互不相同的六位数？用 2 个 0，2 个 1，2 个 2 可以组成多少个互不相同的六位数？【难度】3 星【考点】组合之基本运用【解析】先考虑在 6 个数位上选 2 个数位放 1，这两个 1 的顺序无所谓，故是组合问题有 2 【解析】 6 C  种选法；再从剩下的 4 个数位上选 2 个放 2，有 2 C  种选法；剩下的 2 个数位放 3，只有 1 种选法．由乘法原 4 理，这样的六位数有15 6 1 90    个．在前一问的情况下组成的 90 个六位数中，首位是 1、2、3 的各 30 个．如果将 3 全部换成 0，这 30 个首位是 0 的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数 90 30 60 【题型】解答  个． 15 6  【答案】 60 【巩固】用两个 3，一个 2，一个 1，可以组成多少个不重复的 4 位数？【考点】组合之基本运用【解析】这道题由于 3 有 2 个，是其中最特殊的，所以从它入手．【解析】【难度】3 星【题型】解答先从四位数的 4 个数位中选择 2 个来放 3，有 2 C  种选法；然后剩下的两个数位放 1 和 2，有 2 种 4 放法；根据乘法原理，共有 6 2 12   种不同的方法，所以可以组成 12 个不重复的四位数． 6 【答案】12 7-5-1.组合的基本应用（一）.题库教师版 page 6 of 6

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