5-5-4.余数性质（二） 教学目标 1. 学习余数的三大定理及综合运用 2. 理解弃 9 法，并运用其解题 知识点拨 一、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+16＝39 除以 5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。 例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23+19＝42 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之差。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23－16＝7 除以 5 的余数等于 2，两个余数差 3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14 除以 5 的余数分别是 3 和 4，23－14＝9 除以 5 的余数等于 4，两个余数差为 3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以 c 所得的余数。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23×16 除以 5 的余数等于 3×1＝3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。 例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23×19 除以 5 的余数等于 3×4 除以 5 的余数，即 2. 乘方：如果 a 与 b 除以 m 的余数相同，那么 na 与 nb 除以 m 的余数也相同． 二、弃九法原理 在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一 个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是 这样进行的：     例如：检验算式1234 1898 18922 678967 178902 889923  1234 除以 9 的余数为 1 1898 除以 9 的余数为 8 18922 除以 9 的余数为 4 678967 除以 9 的余数为 7 178902 除以 9 的余数为 0 这些余数的和除以 9 的余数为 2 而等式右边和除以 9 的余数为 3，那么上面这个算式一定是错的。 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几 个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一定与等式右边和除以 9 的余数相同。 而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的 5-5-4.余数性质（二）.题库 学生版 page 1 of 4 

各个位数字之和除以 9 的余数就可以了，在算的时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去，所以这种方法被 称作“弃九法”。 所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被 9 除的余数 即可。 利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用 注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如：检验算式 9+9=9 时，等式两边的除以 9 的余数都是 0，但是显然算式是错误的 但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式 2 两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往 可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。 例题精讲 模块一、余数性质的综合运用 【例【例 11】】 2003 2 与 2003 的和除以 7 的余数是________． 2 【巩固】 2008 【巩固】 2  2008 2 除以 7 的余数是多少？ 【巩固】 【巩固】 30 31 31 30  被13 除所得的余数是多少？ 【例【例 22】】 M 、 N 为非零自然数，且 2007 M  2008 N 被 7 整除。 M N 的最小值为 。 【例【例 33】】 1 1  2 2  3 3  4 4   2005 2005 除以 10 所得的余数为多少？ 5-5-4.余数性质（二）.题库 学生版 page 2 of 4 

【例【例 44】】 已知 n 是正整数，规定 ! 1 2     令 1! 1 2! 2 3! 3 m        ，则整数 m 除以 2008 的余数为多少？ n  n 2007! 2007  ，  【例【例 55】】 设 n 为正整数， 2004n k  ，k 被 7 除余数为 2，k 被 11 除余数为 3，求 n 的最小值． n 【例【例 66】】 试求不大于 100，且使 3 n 7  能被 11 整除的所有自然数 n 的和． 4 【例【例 77】】 对任意的自然数 n，证明 2903 A  n  803 n  464 n  n 261 能被 1897 整除． 【例【例 88】】 若 a 为自然数，证明 10 ( a 2005 1949 a ) ． 【例【例 99】】 有一位奥运会志愿者，向看台上的一百名观众按顺序发放编号 1，2，3，……100，同时还向每位 观众赠送一个单色喇叭．他希望如果两位观众的编号之差是质数，那么他们拿到的喇叭就是不同颜 色的．为了实现他自己的愿望，他最少要准备 种颜色的喇叭． 模块二、弃九法 【例【例 1010】】将 1 至 2008 这 2008 个 自 然 数 ， 按 从 小 到 大 的 次 序 依 次 写 出 ， 得 一 个 多 位 数 ： 12345678910111213 20072008，试求这个多位数除以 9 的余数． 5-5-4.余数性质（二）.题库 学生版 page 3 of 4 

【巩固】连续写出从1 开始的自然数，写到 2009 时停止，得到一个多位数：1234567891011 19992000 【巩固】 ，请  说明：这个多位数除以 3 ，得到的余数是几？为什么？ 【例【例 1111】】 将12345678910111213...... 依次写到第 1997 个数字，组成一个 1997 位数，那么此数除以 9 的余数 是 ________． 【例【例 1212】】有 2 个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和是 10，第 二个数的各个位数字之和是 8，求两个三位数的和。 【例【例 1313】】设 2009 的各位数字之和为 A ，A 的各位数字之和为 B ，B 的各位数字之和为 C ，C 的各位数字 2009 之和为 D ，那么 D  【例【例 1414】】3 个三位数乘积的算式 abc bca cab    234235286 (其中 a   )， 在校对时，发现右边的积的 b c 数字顺序出现错误，但是知道最后一位 6 是正确的，问原式中的 abc 是多少？ 5-5-4.余数性质（二）.题库 学生版 page 4 of 4