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5-1-4-2 幻方（二）.教师版.doc
5-1-4-2.幻方（二）
教学目标
1. 会用罗伯法填奇数阶幻方
2. 了解偶数阶幻方相关知识点
3. 深入学习三阶幻方
知识点拨
一、幻方起源
也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它
编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每
年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是 3 行，竖着数是 3 列，每块
乌龟壳上都有几个点点，正好凑成 1 至 9 的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟
又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，
结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇
的图案叫做“幻方”，由于它有 3 行 3 列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和
为 15 的三阶幻方．如下图：
4
3
8
9
5
1
2
7
6
我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三
右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻
方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月
半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．
二、幻方定义
幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的 3 3 的数阵称作三阶幻方，
4 4 的数阵称作四阶幻方， 5 5 的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，
8
3
4
1
5
9
6
7
2
1
12
8
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15
6
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7
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2
4
9
5
16
三、解决这幻方常用的方法
⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下
填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．
⑵适用于三阶幻方的三大法则有：
①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）
②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3．
③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．
四、数独
数独简介：（日语：数独 すうどく）是一种源自 18 世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大
的数学智力拼图游戏。如今数独的雏型首先于 1970 年代由美国的一家数学逻辑游戏杂志发表，当时名为
Number Place。现今流行的数独于 1984 年由日本游戏杂志《パズル通信ニコリ》发表并得了现时的名称。数
独本是“独立的数字”的省略，因为每一个方格都填上一个个位数。 数独可以简单的数为：让行与列及单元格
的数字成规律性变换的一类数字谜问题
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解题技巧：数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个
空格只位于两个单元之内，但是同时多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围。
总结 4 个小技巧：
1、 巧选突破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？首先我们要通过规则的限制来分析
每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选择所在行、
所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而大小数独中已知
的数字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外更加需要考虑大小关
系的限制。
2、 相对不确定法：有的时候我们不能确定 2 个方格中的数字，却可以确定同一单元其他方格中肯定不
会出现什么数字，这个就是我们说的相对不确定法。举例说明，A1 可以填入 1 或者 2，A2 也可以
填入 1 或者 2，那么我们可以确定，1 和 2 必定出现在 A1 和 A2 两者之中，A 行其他位置不可能出
现 1 或者 2.
3、 相对排除法：某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选数字
进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。举例说明，A 行中已经确定 5 个数字，还有 4
个数字（我们假设是 1、2、3、4）没有填入，通过这 4 个空格所在的其他单元我们知道 A1 可以填
入 1、2、3、4，A2 可以填入 1、3，A3 可以填入 1、2、3，A4 可以填入 1、3，这个时候我们可以
分析，数字 4 只能填入 A1 中，所以 A1 可以确定填入 4，我们就可以不用考虑 A1，这样就可以发
现 2 只能填入 A3 中，所以 A3 也能确定，A2 和 A4 可以通过其他办法进行确定。
4、 假设法：如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能进行
无意义的假设，假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在同一个单
元内的其它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。举例说明，
B3 可以填入 1 或者 2，A3 可以填入 2 或者 3，B4 可以填入 1 或者 2，这个时候我们就应该假设 B3
填入 2，这样就可以确定 A3 填入 3，B4 填入 1，然后以这个为基础进行推理，如果推出违反规则的
情况出现，那么这个假设就是错误的，我们回到假设点重新开始。
例题精讲
数独
【例【例 11】】 在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是 1，
2，3，4．
1
2
3
4
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a
2
e
b
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d
c
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3
【考点】数独 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】如中间图所示，受列及对角线的限制， a 处只能填 1，从而 b 处填 3；进而推知 c 处填 4， d 处填 3，
e 处填 4，……右上图为填好后的数阵图．
1
2
3
4
2
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2
4
【答案】
【例【例 22】】 在图的 5×5 的方格表中填入 A B C D
、 、 、 四个字母，要求：每行每列中四个字母都恰出现一次：如
果菜行的左边标有字母，则它表示这行中第一个出现的字母；如果某行的右边标有字母，则它表
示这行中最后一个出现的字母；类似地，如果某列的上边(或者下边)标有字母，则它表示该列的第
一个(或者最后一个)出现的字母．那么 ,
A B C D 在第二行从左到右出现的次序是
．
,
,
C
A
A
D
A
B
D
A
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【考点】数独 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，复赛，7 题
【解析】 ,
【答案】 ,
A B C D 在第二行从左到右出现的次序是 ,
B C D A
,
,
,
,
B C D A ．
,
,
【巩固】在左下图的 5×5 方格表的空白处填入 1～5 中的数，使得每行、每列、每条对角线上的数各不相同。
【巩固】
【考点】数独 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 11 题，12 分
【解析】
【答案】
【例【例 33】】 请你在六阶拉丁幻方中的空白方格内填入相应数字，使得每一行、每一列及两条对角线上恰好出
现 1、2、3、4、5、6．
【考点】数独 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，初赛，第 8 题
【解析】这也是一道逻辑推理问题，它雷同于风靡一时的数独游戏．在这个拉丁幻方中，从右上到左下的对
【解析】
角线上已给出 4 个数字，还少了数字 4 和 5，而 4 在第三列中已经出现了，所以 4 只能填入第一列，
5 则自然而然的出现在第三列．如图 10 所示．再看自上而下的第六行，还少了数字 3、4 和 5，而 4、
5 在第六列出现，所以只能填 3．同理 5 在第四列中已经出现了，所以 5 只能填入第二列，4 则自然
而然的出现在第四列．如图 11 所示．再看自上而下的第三行，还少了数字 1，2，3 和 6，而 3 在第
三、五、六列中已经出现了，所以 3 只能填入第二列，1 在第三、五列中已经出现了，所以 1 只能
填入第六列，6 在第五列中已经出现了，所以 6 只能填入第三列，2 则自然而然的出现在第五列．如
图 12 所示．
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图10
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图11
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图12
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图13
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5
1
6
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3
再看第六列，可确定第四行填 6，第五行填 2．再往下填就容易多了，请同学们自己完成．
【答案】
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【巩固】如下图，6 个 3×2 的小方格表拼成了 6×6 的大方格表。请在空白处填入 1～6 中的数，使得每行、每
【巩固】
列中的数各不相同，并且原来 6 个 3×2 的小方格表中的数也各不相同。
【考点】数独 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 10 题，10 分
【解析】三种填法如下：
提示：第一步可得出下页左上图圆圈中的数，其中第二行第一列的数是因为第一行不能再填 5.
第二步可得出右上图圆圈中的数。其中第一行后两数是因为第二行不能再填 2，6；左下角的数是因
为第五行不能再填 6.第三步可得出左下图圆圈中的数，其中第三行第三列的数是因为第四行不能再
填 5.
第四步可得出右上图圆圈中的数。第五步可依次得到下图中的 a=4，b=1，c=1，d=5，e=3，f=5.
剩下的空格不能确定，依次假设可能取值，可得三种填法.
【答案】
【例【例 44】】 请在如右图的每个空格内填入 1 至 8 中的一个数字，使每行、每列、每条对角线上 8 个数字都互不
相同．
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【考点】 【难度】星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，初赛，第 10 题
【解析】1
【解析】
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从两条对角线上的方格为突破口，因为它们同时涉及三条线，所受的限制最严，所能填的数的空间也
就最小．副对角线上面已经填了 2，3，8，6 四个数，剩下 1，4，5 和 7，这是突破口．观察这四个格，
发现左下角的格所在的行已经有 5，所在的列已经有 1 和 4，所以只能填 7．然后，第六行第三列的格
所在的行已经有 5，所在的列已经有 4，所以只能填 1．第四行第五列的格所在的行和列都已经有 5，
所以只能填 4，剩下右上角填 5．再看主对角线，已经填了 1 和 2，依次观察剩余的 6 个方格，发现第
四行第四列的方格只能填 7，因为第四行和第四列已经有了 5，4，6，8，3．再看第五行第五列，已
经有了 4，8，3，5，所以只能填 6．此时似乎无法继续填主对角线的格子，但是，可观察空格较少的
行列，例如第四列已经填了 5 个数，只剩下 1，2，5，则很明显第六格填 2，第八格填 1，第三格填 5．此
时可以填主对角线的格子了，第三行第三列填 8，第二行第二列填 3，第六行第六列填 4，第七行第七
列填 5．继续依次分析空格较少的行和列（例如第五列）可得出结果．
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【答案】1
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【例【例 55】】 如图，请将 1 个 1，2 个 2，3 个 3，…，7 个 7，8 个 8 填入 6×6 的表格中，使得相同的数所在的
方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中 8 个方格中的数，并且知
道 A,B,C,D,E,F 各不相同；那么，六位数 ABCDEF 是
．
【考点】 【难度】星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，四年级，初赛，第 9 题）
【解析】方格当中填 3 的格子只有 3 个且连在一起，所以 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 当中不可能有格子中填 3 ，
【解析】
也不可能填1 ，所以 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 只能是 2 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 ，通过尝试可得到
ABCDEF
576248
．
【答案】 576248
【例【例 66】】 将 1 到 9 填入下图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列或一个区块都是一个
单元。每个单元都必须包含全部但不重复的数字。
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【考点】数独 【难度】5 星 【题型】填空
【解析】这道题是一个标准的数独游戏，我们从把这个方块如右图编号：
1、 我们首先从条件最多的第 1 列和第 9 列入手：第 1 列中已有 234589，缺 167，我们观察发现 G
行有 1346，，所以 G1 既不能填 234589，也不能填 1346，所以只能填 7；
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2、 类似的我们可以继续分析第 9 列中的每个空白，我们会发现 C9 只能填 4，H9 只能填 9，G9 只
能填 8；
3、 我们再考虑已知比较多的第 4 列和 I 行，同时考虑空白方块所在的九宫格，我们可以发现 I4 填
4，I2 填 1，G2 填 2，G7 填 5，G5 填 9，I7 填 7，I6 填 5，H8 填 3，H3 填 5，H2 填 4；这个时候
我们发现比较难找到唯一确定的，我们不妨使用假设法，如果推出结果矛盾，那么我们回到假设
点再来。我们发现右上角的九宫格中，A8 可以填 178，B7 可以填 189，B8 可以填 189，C8 可以
填 17，我们发现假设 B8 为 1，则可以进而唯一确定 C8 为 7，A8 为 8，B7 为 9，我们就这么假
设吧！我们根据这个假设继续分析下去：A6 填 7，H6 填 2，H5 填 7，C3 填 3，B2 填 8，A3 填 2，
A4 填 1，C5 填 6，C1 填 1，E8 填 5，F8 填 2，D8 填 9，D3 填 8，E3 填 1，F2 填 7，E5 填 3，
D5 填 2，F5 填 1，E2 填 6，D2 填 3，D6 填 6，F6 填 8，F7 填 3，E7 填 8，B1 填 6，B4 填 2，
B5 填 4.整个数独完成，没有产生冲突，所以假设成立.
【答案】
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【巩固】如右下图，9 个 3 3 的小方格表合并成一个 9 9 的大方格表，每个格子中填入 1-9 中的一个数，每
【巩固】
个数在每一行、每一列中都只出现一次，并且在原来的每个 3 3 的小方格表中也只出现一次，10
个“☆”处所填数的总和是
。
【考点】数独 【难度】5 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，初赛
【解析】本题是 9 宫格的题目经过尝试得到 10 个“☆”处所填数的总和是 46
【答案】 46
【巩固】“九宫图”是一个 9×9 的方阵，它是由九个 3×3 的“九宫格”（图中黑实线围住的方阵）组成。
【巩固】
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请你在上图中将数字 1、2、3、4、5、6、7、8、9 分别填入空格内，使得每行、每列及 9 个“九宫
图”中数字 1~9 均恰好出现一次。当填写完后，位于第 4 行第 4 列的数字式______。
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
【考点】数独 【难度】5 星 【题型】选择
【关键词】迎春杯，高年级，复试，9 题
【解析】 A ，示：第 4 行第 4 列的数，根据所在行、所在列、所在九宫格判断，只能填 2 或 4 。如果填 4 ，则
【解析】
第 4 行第 5 列无数可填，所以第 4 行第 4 列只能填 2 。注：是否有满足题意的填法，还要实际填一下
（见下图）。
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【答案】 2
【巩固】如图是一个未完成的“数独”，给出数字 A 、 B 、 C 、 D 所在方格内应填的数字。 A
【巩固】
、 B
。注：所谓“数独”即在 9 9 的方格中填
入1 ~ 9 中的数字，使得每个粗线 3 3 的方格中数字及 9 9 的方格中每行每列数字均不重复。
、 C
、 D
【考点】数独 【难度】5 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 8 题，10 分
【解析】如图，补充完整这个数独后，可以知道 1A 、 2B 、 2C 、 3D 。
【答案】
【巩固】下图是一个 9×9 的方格图，由粗线隔为 9 个横竖各有 3 个格子的“小九宫”格，其中，有一些小方格
【巩固】
填有 1 至 9 的数字。小青在第 4 列的空格中各填入了一个 1 至 9 中的自然数，使每行、每列和每个“小
九宫”格内的数字都不重复，然后小青将第 4 列的数字从上向下写成一个 9 位数，请写出这个 9 位数，
并且简单说明理由.
【难度】5 星 【题型】填空
【考点】数独
【关键词】华杯赛，六年级，决赛，第 11 题
【解析】用（a，b）表示第 a 行第 b 列的方格，第 4 列已有数字 1、2、3、4、5，第 6 行已有数字 6、7、9，
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所以方格（6，4）＝8；第 3 行和第 5 行都有数字 9，所以（7，4）＝9；正中的“小九宫”中已有数字
7，所以只能是（3，4）＝7；此时，第 4 列中只余（5，4），这一列只有数字 6 未填，所以（5，4）
＝6。所以，第 4 列的数字从上向下写成的 9 位数是：327468951.
【答案】327468951
【例【例 77】】 将 1 到 4 填入右图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列都必须包含全部但不
重复的数字，并且，在有“>”或者“<”的对应两个空格必须满足对应的大小关系。
3
4
1
∨
2
∨
<
∨
∨
∧
A
B
C
D
【考点】数独 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】我们要善于利用大小关系条件。（1）首先看 A 行，A1、A2、A3 都大于某一个数，那么 A4 必然为 1，
进而可以知道 B4 为 4，C4 为 3，D4 为 2；（2）观察发现，D3 只能填 3 或者 4，A3 只能填 3 或者 4，
则第 3 列中的 3 和 4 只可能是在 A3 和 D3 中出现，所以 B3、C3 只能是 1 或者 2，再分析 B 行，发
现 B1 可能是 1、2、3，B2 可能是 1、2，所以 3 只能出现在 B1 中，故 B1 填 3；（3）剩下的就变得
非常简单了，我们来逐步推导，我们现分析 A 行，A1 填 4，A2 填 2，A3 填 3，然后分析 B 行，B2
填 1，B3 填 2，再看第 3 列，C3 填 1，余下的通过简单的行列对比可以知道 C2 填 4，C1 填 2，D1
填 1，D2 填 3。分析完毕，答案如图。
1
4
∨
3
2
1
<
2
2
∨
1
4
3
3
3
2
1
∧
4
4
1
4
∨
3
∨
2
A
B
C
D
1
4
∨
3
2
1
<
2
2
∨
1
4
3
3
3
2
1
∧
4
4
1
4
∨
3
∨
2
A
B
C
D
【答案】
【巩固】请在右图 4×4 表格的每格中填入 l,2，3，4 中的一个，使得每行，每列，每条对角线的四个数各不
【巩固】
相同，且满足图中三个不等的关系．
【考点】数独 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，初赛
【解析】如图 1，a＞b＞c,符合这种情况的只有三种情况，情况 1：3＞2＞1，要符合每行，每列，每对角线的
四个数字各不相同，如图 2 不符合要求；情况 2：4＞2＞1，要符合每行，每列，每对角线的四个数
字各不相同，如图 3 不符合要求；情况 3：4＞3＞2，要符合每行，每列，每对角线的四个数字各不
相同，如图 4 符合要求。
5-1-4-2.幻方（二）.题库
教师版
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