5-3-2.质数与合数（二） 知识框架 1. 掌握质数与合数的定义 2. 能够用特殊的偶质数 2 与质数 5 解题 3. 能够利用质数个位数的特点解题 4. 质数、合数综合运用 知识点拨 一、质数与合数 一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了 1 和它本身，还有 别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数. 常用的 100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、 67、71、73、79、83、89、97，共计 25 个；除了 2 其余的质数都是奇数；除了 2 和 5，其余的质数个位数字 只能是 1，3，7 或 9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数 2 的特殊性为考点. ⑵ 除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是 1，3，7 或 9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 二、判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于 p 的质数 q(均为整数)，使得 q 能够整除 p，那么 p 就不是质数，所以我 们只要拿所有小于 p 的质数去除 p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的 p，我们可以先找一个大 于且接近 p 的平方数 2K ，再列出所有不大于 K 的质数，用这些质数去除 p，如没有能够除尽的那么 p 就为质 数.例如：149 很接近144 12 12  ，根据整除的性质 149 不能被 2、3、5、7、11 整除，所以 149 是质数.。  例题精讲 ,a b c 都是质数，并且 a b 模块一、偶质数 2 【例 1】 如果 , 【考点】偶质数 2 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，17 题 【解析】本题考察的是最小的偶质数 2，所以 c 最小是 2. 【答案】 2   ，则 c 的最小值是_________ c 【例 2】 两个质数之和为 39 ，求这两个质数的乘积是多少. 【考点】偶质数 2 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是 2 ，另一个是 37 ，乘积为 74 .我们要 善于抓住此类题的突破口。 【答案】74 【巩固】将 1999 表示为两年质数之和：l999=口+口，在口中填入质数。共有多少种表示法? 【巩固】 5-3-2.质数与合数（二）.题库 教师版 page 1 of 5 

【难度】2 星 【题型】填空 【考点】偶质数 2 【关键词】华杯赛初赛第 1 题 【解析】因为两个奇数的和是偶数，所以将 1999 表示成两个质数的和，这两个质数中必有一个是偶数，因而 也就是 2，另一个是 1999－2＝1997 即 1999＝2 十 1997，只有一种填法(我们将 2＋1997 与 1997 ＋2 作为同一种)． 【答案】一种 【例 3】 A，B，C 为 3 个小于 20 的质数，   【考点】偶质数 2 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是 2 ，另两个奇质数之和  ，求这三个质数. A B C 30 为 28 ，又因为这三个数都要小于 20 ，所以只能为11和17 ，所以这三个质数分别是 2 ，11，17 . 【答案】 2 ，11，17 【巩固】把 100 分拆成三个质数（只能被 1 和它本身整除且大于 1 的自然数叫做质数）的和，共有_____种方 【巩固】 法。 【考点】偶质数 2 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 6 题 【解析】100 是个偶数，拆成 3 个质数之和，而质数中除 2 以外，其他的都是奇数，3 个奇数之和为奇数，所 以其中必有 2，现在知两个质数之和为 98，则可拆成 61+37、67+31、19+79。所以共有 3 种方法。 【答案】 3 种 【例 4】 已知 3 个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这 3 个质数的乘积是多少？ 【考点】偶质数 2 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】最小的合数是 4，其平方为 16．我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以这 3 个质数中必然有 2，那 么其余 2 个的和是 14，只能一个是 3 一个是 11，因此这 3 个质数的乘积是 2 3 11 66    ． 【答案】66 【例 5】 7 个连续质数从大到小排列是 a、b、c、d、e、f、g 已知它们的和是偶数，那么 d 是多少？ 【考点】偶质数 2 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】因为 7 个质数的和是偶数，所以这 7 个质数不可能都是奇数.我们知道是偶数的质数只有 2，因此这 7 个质数中必有一个是 2.又因为 2 是最小的质数，并且这 7 个连续质数是从大到小排列的，所以 2 g  . 其他 6 个数从大到小依次是 17、13、11、7、5、3.这样 7 d  . 【答案】7 【例 6】 如果 a，b 均为质数，且 3 a 【考点】偶质数 2 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 8 题，4 分 【解析】根据题意 a,b 中必然有一个偶质数 2，，当 2 【答案】7 7 b 41  ，则 a b  ______. a  时， 5 b  ，当 2 b  时不符合题意，所以 a b    . 2 5 7 【巩固】如果 a，b 均为质数，且 3d＋7b＝41，则 a＋b＝________。 【巩固】 【考点】偶质数 2 【关键词】希望杯，六年级，二试，第 9 题，4 分 【解析】根据奇偶性我们可以知道 a、b 中必然有一个是 2，若 a=2，则 b=7,满足题意；若 b=2,则 a=9，与题 【难度】3 星 【题型】填空 意不符。所以 a 为 2、b 为 7，则 a+b=9。 【答案】 9 P  【例 7】 已知 P,Q 都是质数，并且 11  【考点】偶质数 2 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】本题充分考察质数与数字奇偶性知识点的结合。通过观察发现题目中有 2 个未知数，但是都是质数， 【解析】 从结果上看 2003 是一个奇数，那么前面 2 个乘积必须为 1 个奇数 1 个偶数，那么 P 和 Q 中必须有 一个是 2 才可以。由大小关系可以发现只能 Q 是 2，解出 P=199,P×Q=398。 ，则 P Q = 93 2003   Q 【答案】398 5-3-2.质数与合数（二）.题库 教师版 page 2 of 5 

【例 8】 a b c、 、 都是质数，如果 b c  【考点】偶质数 2 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 5 题，6 分 【解析】由于 342 是 2 的倍数，不是 4 的倍数，所以 a b 与b c 为一奇一偶，则 a 或者 c 为质数 2，令 2 a  ，  ，对应的 b 为 7 或者 55 a b  或者 ，那么b  9 19 171  342  3 19 57 a b   a b    或者 a b  。    而 342=2×3×3×19，则 或者 169，只有 7 是质数，所以 b =7。 9 【答案】 7 【例 9】 三个质数△、 □ 、○，如果 □  △  1，△  □  ○ ，那么△是多少？ 【考点】偶质数 2 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】除了 2 以外的质数都是奇数，这样的两个奇数相加必然得偶数不成立，所以△、□ 必有一个偶质数 【解析】 2，又因为 □  △  1，所以△  2 【答案】2 【例 10】 a ， b ， c 都是质数，并且 【考点】偶质数 2 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 8 题，5 分 【解析】 【答案】 689 a b  ， 33 a b  为奇数，所以 a=2，b=31，c=13，d=53，那么 cd=13×53=689 33 b c  ， 44 c d  ，那么 cd  ____ 。 66 【例 11】 已知 P 是质数， 2 1 P  【考点】偶质数 2 【难度】3 星 【题型】解答 P  也是质数，求 5 1997 是多少？ 【解析】 P 是质数， 2P 必定是合数，而且大于 1．又由于 2 1 【解析】 P  是质数， 2P 大于 1， 2 1 P  一定是奇质数， 则 2P 一定是偶数．所以 P 必定是偶质数，即 2P  ． 5 P  1997  5 2  1997  32 1997   2029 【答案】2029 【巩固】当 p 和 3p +5 都是质数时， 5p +5= 【巩固】 【考点】偶质数 2 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 6 题，6 分 【解析】p 和 p3+5 奇偶性不同，所以较小的 p 一定是 2，所以 p3+5=13， 5p +5= 37 【答案】 37 【难度】3 星 【题型】填空 。 P  ， 14 【例 12】 P 是质数， 10 【考点】偶质数 2 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由题意知 P 是一个奇数，因为10 3 3 1 【解析】 【答案】3 P  ， P  都是质数．求 P 是多少？ 210    ，14 3 4    ，所以 P 是 3 的倍数，所以 3P  2 【例 13】4 只同样的瓶子内分别装有一定数量的油．每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8，9， 10，11，12，13．已知 4 只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？ 【考点】偶质数 2 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是 4 瓶油(连瓶)重量之和的 3 倍，即 4 瓶油(连瓶)共重 【解析】 (千克)而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由 (8 9 10 11 12 13 于 2 是唯一的偶质数，只有两种可能：⑴ 油重之和为19 千克，瓶重之和为 2 千克，每只瓶重 1 2 ) 3 21        千克， (千克)．⑵ 油重之和为 2 千克，瓶重之和为19 千克，每只瓶重 19 4 (千克)，这与油重之和 2 千克矛盾．因此最重的两瓶内共   2 13    2 12 最重的两瓶内的油为 千克，最重的两瓶内的油为 19 4 13  1 2 7 2 5-3-2.质数与合数（二）.题库 教师版 page 3 of 5 

有12 千克油。 【答案】12 p p  都是质数，它们的倒数和的倒数是_______。 【例 14】三个数 , 【考点】偶质数 2 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第 12 题，6 分 【解析】P 与 P+1 和+2 奇偶性不同，所以 P 只能是 2,另外两个是 3 和 5，所以它们的倒数和的倒数是 1, p 【难度】3 星 【题型】填空 3 30 31 .  1 5 1 1 3   1 2 30 31 【答案】 【例 15】用 0，1，2，…，9 这 10 个数字组成 6 个质数，每个数字至多用 1 次，每个质数都不大于 500，那 么共有多少种不同的组成 6 个质数的方法．请将所有方法都列出来． 【考点】偶质数 2 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】小学数学夏令营 【解析】除了 2 以外，质数都是奇数，因为 0～9 中只有 5 个奇数，所以如果想组成 6 个质数，则其中一定有 2．又尾数为 5 的数中只有 5 是质数，所以 5 只能单独作为 6 个质数中的一个数．另 4 个质数分别以 1，3，7，9 为个位数，从而列举如下：{2，3，5，7，41，89}，{2，3，5，7，61，89}，{2，3，5， 7，89，401}，{2，3，5，7，89，461}，{2，3，5，7，61，409}，{2，3，5，47，61，89}，{2，3， 5，41，67，89}，{2，3，5，67，89，401}，{2，5，7，43，61，89}，{2，5，7，61，83，409}．即 共有 10 种不同的方法． 【答案】10 【难度】4 星 【题型】填空 【例 16】如果一些不同质数的平均数为 21，那么它们中最大的一个数的最大可能值为 【考点】偶质数 2 【关键词】迎春杯，高年级，复赛，4 题 【解析】对于任意一组数，其中大于平均数的超出部分之和一定等于小于平均数的不足部分之和，所以为了 使这些质数中最大的数更大，应该尽可能多地取小于 21 的质数，由于大于 21 的所有质数都是奇数， 所以大于平均数 21 的超出部分之和一定是偶数，相应的所取的小于 21 的质数与 21 的差之和也应该 是偶数，所以唯一的偶质数 2 是不能取的，因为它与 21 的差为奇数．剩下 7 个数的和是 75， 21×8-75=93，小于 93 的最大的质数是 89．当这些质数取 3，5，7，11，13，19，89 时符合条件． ． 【答案】 89 模块二、质数 5 【例 17】已知 n ， 6n  ， 84 【考点】质数 5 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级，第 4 题 【解析】由于 6 ，84 ，102 ，218 除以 5 的余数分别为1，4 ，2 ，3 所以 n ， 6n  ， 84 n  都是质数，那么 n  n  ， 218 n  ， 102 。 n  ， 218 这 5 个数除以 5 的余数互不相同，那么其中必然有除以 5 余 0 的，也就是有 5 的倍数，而这 5 个数都 是质数，那么只能是 5 。由于 6n  ， 84 n  都比 5 大，所以 n 为 5 。 n  ， 218 n  ， 102 n  ， 102 n  【答案】 5 模块三、数字的拆分 【例 18】 将 60 拆成 10 个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？ 【考点】数字的拆分 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】最大的质数必大于 5，否则 10 个质数之和将不大于 50，又 60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2 即 8 个 7 与 2 个 2 的和为 60，故其中最大的质数是 7． 【答案】7 【例 19】将 50 分拆成 10 个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？ 【考点】数字的拆分 【难度】2 星 【题型】解答 5-3-2.质数与合数（二）.题库 教师版 page 4 of 5 

【解析】若要求最大的质数尽可能大，则其余 9 个质数应尽可能小，最佳的方案是 9 个 2。但是此时剩余的 数为 32，不是质数，所以退而求其次，另其余 9 个数为 8 个 2，1 个 3，那么第 10 个数为 31 【答案】31 【例 20】将 37 拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘， 得到的乘积中，哪个最小？ 【考点】数字的拆分 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】枚举法：有些学生会问，老师：什么时候用枚举法？1.数不大，种类比较少 2.没有规律，不能用排 列组合等方法 3.能有方法做的时候建议不采用枚举的方法 37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19 7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17 共有 10 种不同的拆法，其中 3×5×29=435 最小 【答案】10 种，最小乘积为 435 【例 21】甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是 13，甲比乙大 13 岁，那么乙今年 多大？ 【考点】数字的拆分 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】个位与十位数字之和为 13，那么这样的质数在两位数中只有 67，三位数中为 167，再继续则不符合 常理，所以甲乙年龄有可能分别为 40,27 岁，或者 90，77 岁，所以乙的年龄可能为 27 岁或 77 岁。 【答案】27 或 77 【例 22】三位数 A 满足：它的所有质因数之和是 26 。这样的三位数 A 有 【考点】数字的拆分 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级，1 试 【解析】 26 以内的质数有 2 、 3 、 5 、 7 、11、13 、17 、19 、 23 ，所以这样的三位数有13 个。 【答案】13 个 个。 【例 23】从 20 以内的质数中选出 6 个数，写在一个正方体的六个面上，使两个相对面的和都相等，所选的 6 个数是__________________ 【考点】数字的拆分 【难度】3 【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 6 题 【解析】20 以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19.显然 2 不能入选，否则会出现有的和为奇数，有 的和为偶数的情况，那么还剩下 3，5，7，11，13，17，19 这 7 个数。从中选择 6 个，相当于从中 剔除 1 个。由于这 7 个数的和为 3 5 7 11 13 17 19 75  ，是 3 的倍数，而选出的 6 个数之和 也是 3 的倍数，所以被剔除的那个数也是 3 的倍数，只能是 3。所以选出的 6 个数是：5，7，11， 13，17，19.       【答案】5，7，11，13，17，19. 【例 24】已知 n 个自然数之积是 2007，这 n 个自然数之和也是 2007，那么 n 的值最大是_______。 【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第 10 题，5 分 【解析】为了构造和与积都等于 2007 的一组自然数，首先把 2007 拆成若干个整数之积，然后把和不足的地 方用 1 补足。容易看出来，2007 拆分成的整数越多，它们的和就越小，需要添加的 1 也就越多。2007 的质因数分解式是 32×223，3+3+223=229，还需要补 2007-229=1778 个 1。所以共有 1781 个。 【答案】1781 5-3-2.质数与合数（二）.题库 教师版 page 5 of 5