7-6-1.计数之归纳法 教学目标 前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树 形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳 法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用． 例题精讲 从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系． 【例 1】 如图所示，在 2×2 方格中，画一条直线最多穿过 3 个方格；在 3×3 方格中，画一条直线最多穿过 5 个方可知；那么在 5×5 方格中，画一条直线，最多穿过 个方格。 【考点】计数之归纳法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 14 题，6 分 【解析】边长每多 1，穿过的方格多 2，那么 5×5 的最多穿过 3+2+2+2=9 个方格 【答案】 9 【例 2】 一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问 5 条直线最多分这个平面 为多少部分? 【考点】计数之归纳法 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】方法一：我们可以在纸上试着画出 1 条直线，2 条直线，3 条直线，……时的情形，于是得到下表： 由上表已知 5 条直线最多可将这个平面分成 16 个部分，并且不难知晓，当有 n 条直线时，最多可将 平面分成 2+2+3+4+…+n= +1 个部分． 1  n n  2 方法二：如果已有 k 条直线，再增加一条直线，这条直线与前 k 条直线的交点至多 k 个，因而至多 被分成 k+1 段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加 k+1 个部分．于是 3 条直线至多 将平面分为 4+3=7 个部分，4 条直线至多将平面分为 7+4=11 个部分，5 条直线至多将平面分为 11+5=16 个部分． 一般的有 k 条直线最多将平面分成：1+1+2+…+k= 16 个部分． 1  k k  2 +1 个部分，所以五条直线可以分平面为 7-6-1.计数之归纳法.题库 教师版 page 1 of 4 

【答案】16 【巩固】平面上 5 条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上 100 条直线最多能把圆的内部分成几部分？ 【考点】计数之归纳法 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】假设用 ak 表示 k 条直线最多能把圆的内部分成的部分数，这里 k＝0，1，2，…… a0＝1 a1=a0+1＝2 a2=a1＋2=4 a3=a2＋3=7 a4=a3+4＝11 …… 故 5 条直线可以把圆分成 16 部分，100 条直线可以把圆分成 5051 部分 【答案】 5051 部分 【例 3】 平面上 10 个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？ 【考点】计数之归纳法 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】先考虑最简单的情形．为了叙述方便，设平面上 k 个圆最多能将平面分割成 ka 个部分． 【解析】 1 2 1 2 4 3 1 2 4 5 6 3 7 8 8 2 11 1 5 9 4 13 6 7 3 12 10    ，…… 14 a  14 8 2 3 2 4 a k a     ， 4 a     ， 3  1  ． a  ， 2 从图中可以看出， 1 可以发现 ka 满足下列关系式： 实际上，当平面上的( 划分平面的区域尽可能多，新添的第 k 个圆不能通过平面上前 圆与前面  1k  个圆共产生 2 ( k 1)  个交点，如下图： 2 2 1 2 a k 8 4 2 2   1  k  1k  )个圆把平面分成 1ka  个区域时，如果再在平面上出现第 k 个圆，为了保证 1k  个圆之间的交点．这样，第 k 个  个交点把第 k 个圆分成了 2 ( 1) k  段圆弧，而这 2 ( 1) 这 2 ( k k 1) 区域一分为二，所以也就是整个平面的区域数增加了 2 ( k  个部分．所以， 2 7 2 8 2 9 a       那么， 10      2 8 2 9    2 9 1)  段圆弧中的每一段都将所在的  1  ． a 7 a 8 a k a k 2   1  k  a 9   2 1 2 2 ... 2 7 2 8 2 9            a 1 2 2         故 10 个圆最多能将平面分成 92 部分．  1 2 ... 7 8 9  ． 92  【答案】 92 【例 4】 10 个三角形最多将平面分成几个部分？ 【考点】计数之归纳法 【难度】4 星 【题型】解答 7-6-1.计数之归纳法.题库 教师版 page 2 of 4 

【解析】设 n 个三角形最多将平面分成 na 个部分． 【解析】 2 2 3 a  ； 1n  时， 1 n  时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有 2 个交点，三条边与第一个三角形最多有 2 3 6   （个）交点．这 6 个交点将第二个三角形的周边分成了 6 段，这 6 段中的每一段都将原来的 每一个部分分成 2 个部分，从而平面也增加了 6 个部分，即 2 n  时，第三个三角形与前面两个三角形最多有 4 3 12 即： 3 …… 一般地，第 n 个三角形与前面 2 2 3 4 3       部分，故   （个）交点，从而平面也增加了12 个部分， a      ． n   个交点，从而平面也增加  1n  个三角形最多有  2 2  1 2 4         ；  2 272 3 10 3 2   ，即10 个三角形最多把平面分成 272 个部分．  2 n 3 10 2   a    ． 2 2 3 2 2 3 4 3 n   个   3 3 n  1  3 2   1 2  3 n  1     2 na  n 3  特别地，当 10 n  时， 【答案】 272 a   10 【例 5】 一个长方形把平面分成两部分，那么 3 个长方形最多把平面分成多少部分？ 【考点】计数之归纳法 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成 2 部分， 这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分． 同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分(如下图，标 有数字 9 的部分)．还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成 10 部分． 第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小 线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多 增加 3×4=12 个部分．而第三个长方形的 4 个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加 4 个部分． 所以三个长方形最多能将平面分成 10+12+4=26． 【小结】 n 个图形最多可把平面分成部分数： 直线： 1    2 圆： n 三角形： ； n  1  n 2   1 n  ；  2 3 n n     2 4 n n     1  ；  1  ． 长方形： 【答案】 26 【例 6】 在平面上画 5 个圆和 1 条直线，最多可把平面分成多少部分? 【考点】计数之归纳法 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】先考虑圆．1 个圆将平面分成 2 个部分．这时增加 1 个圆，这个圆与原有的 1 个圆最多有两个交点， 成为 2 条弧，每条弧将平面的一部分一分为二，增加了 2 个部分，所以 2 个圆最多将平面分成 4 个 部分．当有 3 个圆时，第 3 个圆与原有的 2 个产生 4 个交点而增加 4 个部分，所以 3 个圆最多将平 面分成 8 个部分． 7-6-1.计数之归纳法.题库 教师版 page 3 of 4 

同样的道理，5 个圆最多将平面分成 22 个部分． 再考虑直线．直线与每个圆最多有 2 个交点，这样与 5 个圆最多有 10 个交点．它们将直线分成 11 条线段或射线，而每条线段又将平面的一部分一分为二，2 条射线增加了一部分，因此 5 个圆和 1 条直线最多可将平面分成 32 个部分． 【答案】 32 【例 7】 在一个西瓜上切 6 刀，最多能将瓜皮切成多少片？ 【考点】计数之归纳法 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】将西瓜看做一个球体，球体上任意一个切割面都是圆形，所以球面上的切割线是封闭的圆周，考虑 【解析】 每一次切割能增加多少瓜皮片．当切1刀时，瓜皮被切成两份，当切第 2 刀时，由于切割线相交，所  以瓜皮被切成 4 分，……，切第 n 次时，新增加的切割线与原来的切割线最多有  1n  个交点．这 2 些交点将第 n 条切割线分成  1n  段，也就是说新增加的切割线使瓜皮数量增加了  1n  ，所以 2 2 在西瓜上切 6 刀，最多能将瓜皮切成1 1 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 32             片．   【答案】 32 【例 8】 在一大块面包上切 6 刀最多能将面包切成多少块．（注：面包是一个立体几何图形，切面可以是任 何方向） 【考点】计数之归纳法 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】题目相当于 6 个平面能将空间划分为多少个部分． 【解析】 通过找规律来寻找递推关系，显然的1个平面能将空间划分成 2 块， 2 个平面能将空间划分成 4 块， 3 个平面能将空间划分成 8 个平面，当增加到第四个平面时，第四个平面这能将原来空间中的 8 个部 分中的其中几个划分．如图：   个部分． 注意到第四个平面与其他三个平面相交形成 3 条直线，这三条直线将第四个平面分割成 7 个部分， 而每一部分将原来三个平面划分的 8 个空间中的 7 个划分成两份，所以 4 个平面能将空间划分成 8 7 15 同 样 的 第 五 个 平 面 与 前 四 个 平 面 分 别 相 交 成 4 条 直 线 ， 这 四 条 直 线 能 将 第 5 个 平 面 分 割 成 1 1 2 3 4 11      个部分，每一部分都划分原空间中的某一区域，所以第五个平面能使空间中的区 域增加到15 11 当增加到 6 个平面时，第六个平面共被划分成1 1 2 3 4 5 16 间中的区块数增加到 26 16 所以 6 刀能将面包切成 42 块．       个部分，所以第 6 个平面能将空  个部分．  个部分． 42 26 【答案】 42   7-6-1.计数之归纳法.题库 教师版 page 4 of 4